數(shù)列不等式-裂項放縮技巧

PAGE第10頁，共10頁數(shù)列不等式－裂項放縮技巧班級__________座號_____姓名__________分數(shù)__________一、解答題1．已知數(shù)列的前項和和通項滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）設函數(shù)，，求.2．已知正項數(shù)列的前n項和滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設是數(shù)列的前n項的和，求證：3．設數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設記證明：Sn＜1.4．在數(shù)列{}中，，并且對任意都有成立，令．（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列{}的前n項和為，證明：5．數(shù)列的前項和為，且是和的等差中項，等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：.6．已知數(shù)列滿足，且對任意非負整數(shù)均有：.（1）求；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項；（3）令，求證：.7．正項數(shù)列的前n項和為，且。（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求證：。8．在公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設，證明：.9．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S7=49，a4和a8的等差中項為2.（1）求an及Sn；（2）證明：當n≥2時，有．10．已知數(shù)列滿足．（1）求及通項公式；（2）求證：．11．已知是單調遞增的等差數(shù)列，首項，前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項（1）求和的通項公式.（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：．12．設正項數(shù)列的前項和，且滿足.（Ⅰ）計算的值，猜想的通項公式，并證明你的結論；（Ⅱ）設是數(shù)列的前項和，證明：.

數(shù)列不等式－裂項放縮技巧（參考答案）一、解答題1．（Ⅰ）當時，∴，3分由得∴數(shù)列是首項、公比為的等比數(shù)列，∴5分（Ⅱ）證法1：由得7分，∴∴9分〔證法2：由（Ⅰ）知，∴7分，∴8分即9分（Ⅲ）＝10分＝12分∵∴＝14分2．3．（1）由題意，當時，兩式相減，得所以，當時，………………4分當n＝1時，也滿足上式，所求通項公式……6分（2）……………………8分………10分＜1.……………………12分4．（Ⅰ）當n=1時，,當時，由得所以4分所以數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為5分（Ⅱ）7分11分可知Tn是關于變量n的增函數(shù)，當n趨近無窮大時，的值趨近于0，當n=1時Tn取最小值，故有14分5．（1）∵是和的等差中項，∴當時，，∴當時，，∴，即3分∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，5分設的公差為，，，∴∴6分（2）7分∴9分∵,∴10分∴數(shù)列是一個遞增數(shù)列∴.綜上所述，12分6．（1）令得，1分令，得，∴3分（2）令，得：∴，又，∴數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.∴∴∴9分（3）∴∴13分7．（Ⅰ）由知，當時，，解得；當時，，（3分）整理得，又為正項數(shù)列，故（），因此數(shù)列是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，。（6分）（Ⅱ）由于=（8分）因此=。（12分）8．（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d．由已知得，注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1．所以an＝n＋1．4分（2）由（1）可知，，因為，所以數(shù)列{bn}單調遞增．8分．9分又，因此．12分9．（1）解法一：設等差數(shù)列的公差為，所以有，2分解得，4分所以6分解法二：1分2分3分4分所以6分（2）證明：方法一：由（Ⅰ）知，①當時，原不等式亦成立7分②當時，，9分＝＝＝2分12分方法二：由（Ⅰ）知，當時，8分＝＝＝2分12分10．（1）解：n=1時，有，解得=31分時，由得，兩式相減得，解得，5分滿足=3，故7分（2）10分所以14分11．（1）設公差為，公比為，則,，是單調遞增的等差數(shù)列，.則,,（2）∵，∴.12．（?。┊攏=1時，顯然成立.（ⅱ）假設當n=k時，1’則當n=k+1時，結合，解得2’于是對于一切的自然數(shù)，都有