北京市豐臺(tái)區(qū)2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期4月期中試題B卷

/豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中練習(xí)高一數(shù)學(xué)（B卷）考試時(shí)間：120分鐘第I卷（選擇題共40分）一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最符合題意的一項(xiàng)．1．已知是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是A．B．C．2．已知向量滿足，則A．B．0C．D．73．已知向量滿足，且，則A．12B．C．4D．24．各棱長(zhǎng)均為的三棱錐的表面積為A．B．C．D．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為A．B．C．D．6．若某圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則它的體積為A．B．C．D．7．在△中，角的對(duì)邊的長(zhǎng)度分別為a，b，c，若，則等于A．B．C．或D．或8．在△中，若，則△一定是A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形9．設(shè)是非零向量，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”．他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí)．“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則A．9B．12C．15D．16第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11．復(fù)數(shù)=__________．12．已知單位向量滿足，則向量與向量的夾角的大小為_(kāi)_________．13．體積為的球的表面積是．14．在梯形中，，，為中點(diǎn)，若，則=__________．15．已知非零向量，，其中是一組不共線的向量．能使得與的方向相反的一組實(shí)數(shù)x，y的值為x=________，y=__________．三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16．（本小題共14分）復(fù)數(shù)．（I）若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（II）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（III）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．（本小題共14分）已知向量．（I）求和的值；（II）若向量與互相垂直，求的值．18．（本小題共13分）已知向量滿足：，，夾角為．（I）求；（II）求；（III）若與方向相同的單位向量為，直接寫出在上的投影向量．19．（本小題共14分）在△中，，，．

（I）求△的面積；

（II）求c及sinA的值．20．（本小題共15分）在△中，，．（I）求；（II）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．條件①：；條件②：△的周長(zhǎng)為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．21．（本小題共15分）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，引入記號(hào)表示算式，即=，稱記號(hào)為二階行列式．是上述行列式的展開(kāi)式，其計(jì)算的結(jié)果叫做行列式的值．（I）求下列行列式的值：①；②；（II）求證：向量與向量共線的充要條件是；（III）討論關(guān)于x，y的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解．（結(jié)果用二階行列式的記號(hào)表示）．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中練習(xí)高一數(shù)學(xué)（B）卷參考答案選擇題題號(hào)12345678910答案DCBCDAABAB二、填空題11．12．13．14．15．（不唯一）；1三、解答題16．解：（I）因?yàn)閺?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，所以，……………2分解得或；……………4分（II）因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)所以，……………8分所以，解得；……………9分（III）因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，所以，……………13分所以，解得m的取值范圍是．……………14分17．解：（I）……………4分；……………8分（II），……………10分因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，……………12分所以，解得．……………14分18．解：（I）……………4分（II）……………7分……………10分（III）．……………13分19．（I）在△中，，，因?yàn)?，可知，…………?分所以．……………6分（II）在△中，由余弦定理，可得，又，所以解得，……………10分由（I）可知，所以由正弦定理，可得，即，解得．……………14分解：（Ⅰ）在△中，因?yàn)?，又，所以．…………?分因?yàn)?，所以．…………?分因?yàn)?，所以．…………?分（Ⅱ）選擇條件①不符合要求，得0分；選擇條件②：因?yàn)椤髦?，，，，所以，即△為等腰三角形，其中．…………?分因?yàn)椋裕裕?2分設(shè)點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，在△中，．因?yàn)椤髦校?，所以，即邊上的中線的長(zhǎng)度為．……………15分選擇條件③：因?yàn)椤髦?，，，，所以，即△為等腰三角形，其中．…………?分因?yàn)椤鞯拿娣e為，即，所以．……………12分設(shè)點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，在△中，．因?yàn)椤髦?，，所以，即邊上的中線的長(zhǎng)度為．…15分21.解：（I）①；②.…4分（II）證明：若向量與向量共線，則：當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)，有，即，所以必要性得證．…7分反之，若，即，當(dāng)c，d不全為0時(shí)，即時(shí)，不妨設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，與共線，當(dāng)且時(shí)，，所以與共線，充分性得證.綜上，向量與向量共線的充要條件是.………………