廣東省珠海市2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期4月期中試題

/本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.并用2B鉛筆將對應(yīng)的信息點涂黑，不按要求填涂的，答卷無效.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字這鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2.在中，若，，則等于（）A. B. C. D.3.已知向量，，且，則實數(shù)的值為（）A. B.3 C.8 D.124.已知向量，，且，則的值是（）A. B. C. D.5.已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么等于（）A. B. C. D.46.已知，，為非零平面向量，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C.若，則， D.7.在中，角A，B，C所對邊分別為，，，，則值等于（）A. B. C. D.8.在等邊三角形的三邊上各取一點D，E，F(xiàn)，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題的四個選項中，至少有兩項符合題目要求.9.已知向量，，則（）A. B.c. D.與向量同向的單位向量是10.已知復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)為，則下列說法正確的是（）A.一定是實數(shù) B.一定是實數(shù)C.定是純虛數(shù) D.11.已知點是的重心，則下列說法中正確的有（）A. B.C. D.12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則為銳角三角形B.若為銳角三角形，則C.若，則為等腰三角形或直角三角形D.若，則是直角三角形三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為__________，__________.14.已知平面向量，，且，則__________.15.已知平面向量與的夾角為，若，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為__________.16.在中，，，則的最大值為__________.四、解答題17.（10分）已知復(fù)數(shù)（其中且，i為虛數(shù)單位），且為純虛數(shù).（1）求實數(shù)a的值：（2）若，求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).18.（12分）如圖，已知，.（1）求線段AB的中點M的坐標(biāo)；（2）若點P是線段AB的一個三等分點，求點P的坐標(biāo).19.（12分）如圖，斜坐標(biāo)系中，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量，且的夾角為，定義向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為有序數(shù)對.記為.在斜坐標(biāo)系中完成下列問題：（1）若，，求；（2）若，求.20.（12分）如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），若在河岸選取相距20米的C、D兩點，測得，，，，那么此時A，B兩點間的距離是多少？21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，，其中A，B分別是的兩個內(nèi)角.（1）若，求的值：（2）若，，求的面積的最大值.22.（12分）某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機器人甲，同時在處按方向釋放機器人乙，設(shè)機器人乙在處成功攔截機器人甲，兩機器人停止運動，若點M在矩形區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.已知米，為AB中點，比賽中兩機器人均勻速直線運動方式行進，記與的夾角為，與的夾角為.（1）若兩機器人運動方向的夾角為，足夠長，機器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機器人運動路程和的最大值；（2）已知機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍.（i）若，足夠長，求機器人乙能否挑戰(zhàn)成功.（ii）如何設(shè)計矩形區(qū)域的寬的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機器人乙的釋放角度使機器人乙挑戰(zhàn)成功？2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題高一數(shù)學(xué)·參考答案一二、選擇題（每題5分）題號123456答案ADABBC題號789101112答案CAADABABBCD三、主觀題（每題5分）13. 514. 15. 16.四、解答題17.（10分）解：（1），.是純虛數(shù)解得.，.（2）由（1）知，，的共軛復(fù)數(shù)為.18.（12分）解：（1）設(shè)，因為，，所以，，即；（2）設(shè)，當(dāng)時，有；當(dāng)時，有.19.（12分）解：（1）由題設(shè)，，，所以.（2）由已知，則，所以.20.（12分）解：根據(jù)正弦定理，在中，有（米），在中，有（米）.在中，由余弦定理得（米）.所以A，B兩點間的距離為米.21.（12分）解：（1）由，得，所以.因為，所以，故.（2）由得，即，因為，，所以.即.因為，，所以，即.由余弦定理得，（a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊）由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號.所以面積的最大值為.22.（12分）解：（1）如圖，在中，由余弦定理得，，所以，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故兩機器人運動路程和的最大值為6.（2）（i）在中由于機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，故，因為，可知兩機器人的運動方向平行，所以不論AD多長，機器人乙都不可能攔截到甲