2024-2025學年安徽省六安二中河西校區(qū)高二（下）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年安徽省六安二中河西校區(qū)高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知Cn+1n?1=28，那么n=A.5 B.6 C.7 D.82.函數(shù)f(x)=x?2ln(2x)的單調遞減區(qū)間為(

)A.(?∞,1) B.(0,1) C.(0,2) D.(2,+∞)3.國家提出“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，各地紛紛響應.某縣有7個自然村，其中有4個自然村根據(jù)自身特點推出鄉(xiāng)村旅游，被評為“旅游示范村”.現(xiàn)要從該縣7個自然村里選出3個作宣傳，則恰有2個村是“旅游示范村”的概率為(

)A.1235 B.1835 C.474.函數(shù)f(x)=14x2?cosx，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則A. B.

C. D.5.將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球，要使得恰有2個小球與所在盒子編號相同，則有(????)種不同的放球方法．A.60 B.40 C.30 D.206.已知函數(shù)y=x3?3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c=A.?2或2 B.?9或3 C.?1或1 D.?3或17.我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的數(shù)表列出了一些正整數(shù)在三角形中的一種幾何排列，俗稱“楊輝三角形”，若將這些數(shù)字依次排列構成數(shù)列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，……，則此數(shù)列的第2025項為(

)A.C637B.C638

C.8.已知函數(shù)f(x)=cos2x，則(

)A.f(3)<f(1) B.f′(e)<f(e)

C.f(e)+f(ln3)<0 D.f(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知(1?2x)5=aA.a3=80 B.a4≥|ai10.已知隨機變量X～N(4,2)，若P(X>6)=a，P(4<X<6)=b，則(

)A.a+b=12 B.P(X<2)=a C.E(2X+1)=4 11.現(xiàn)有編號分別為Ai(i=1,2,3)的三個盒子，其中A1盒中共20個小球，其中紅球6個，A2盒中共20個小球，其中紅球5個，A3盒中共30個小球，其中紅球6個.現(xiàn)從所有球中隨機抽取一個，記事件A：“該球為紅球”，事件B：“該球出自編號為A.P(A|B1)=310

B.P(A)=935

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.以平行六面體的頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)是______；13.若M是曲線f(x)=2x2?lnx上任意一點，則點M到直線y=3x?614.川劇變臉是運用在川劇藝術中塑造人物的一種特技，是揭示劇中人物內心思想感情的一種浪漫主義手法，王老師獲得了川劇演出的7張連號的票，王老師自己留下了2張連號的票，其余的票贈送給4位朋友，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票連號，那么共有______種不同的分法.(用數(shù)字作答)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(其中常數(shù)a，b∈R)，g(x)=f(x)?f′(x)是奇函數(shù)，

(1)求f(x)的表達式；

(2)16.(本小題15分)設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為23(Ⅰ)用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(Ⅱ)設M為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex?kcosx，其中k為常數(shù)．

(1)當k=1時，討論函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調性；

(2)若?x∈(0,π2)18.(本小題17分)

高性能計算芯片是一切人工智能的基礎.國內某企業(yè)已快速啟動AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進行產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測和人工檢測.智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包括安全檢測、蓄能檢測、性能檢測等三項指標，且智能檢測三項指標達標的概率分別為4950，4849，4748，人工檢測僅對智能檢測達標(即三項指標均達標)的產(chǎn)品進行抽樣檢測，且僅設置一個綜合指標.人工檢測綜合指標不達標的概率為p(0<p<1)．

(1)求每個AI芯片智能檢測不達標的概率；

(2)人工檢測抽檢50個AI芯片，記恰有1個不達標的概率為f(p)，當p=p0時，f(p)取得最大值，求p0；

(3)若AI芯片的合格率不超過93%，則需對生產(chǎn)工序進行改良.以(2)中確定的19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=?alnx+ex?a(a∈R)．

(1)當a=1時，討論f(x)極值點的個數(shù)；

(2)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)的情況．參考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.D

6.A

7.B

8.D

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.58

13.1014.480

15.解：(1)∵f(x)=x3+ax2+bx(其中常數(shù)a，b∈R)，

∴f′(x)=3x2+2ax+b，

∴g(x)=f(x)?f′(x)=x3+ax2+bx?3x2?2ax?b，

∵g(x)=f(x)?f′(x)是奇函數(shù)，

∴a?3=0，b=0，

∴f(x)=x3+3x2，

(2)∵f′(x)=3x2+6x，x∈[1,3]

∴g(x)=x3?6x，

∴g′(x)=3x16.解：(I)甲上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為23，

故X～B(3,23)，

從而P(X=k)=C3k(2X0123P1248E(X)=3×23=2；

(II)設乙同學上學期間的三天中7：30到校的天數(shù)為Y，則Y～B(3,23)，

且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}，

由題意知{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥，

且{X=3}與{Y=1}，{X=2}與{Y=0}相互獨立，

由(I)知，P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})

=P({X=3,Y=1})+P({X=2,Y=0})17.解：(1)k=1時，f(x)=ex?cosx，f′(x)=ex+sinx，

因為x∈(0,+∞)，有ex>1，?1≤sinx≤1，所以f′(x)=ex+sinx>0，

于是函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增．

(2)f(x)>1，即ex?kcosx?1>0．

因為x∈(0,π2)，所以cosx>0，于是k<ex?1cosx．

令g(x)=ex?1cosx，則g′(x)=(sinx+cosx)ex?sinxcos2x．

當x∈(0,π2)時，ex>1，0<sinx<1，x+π4∈(π4,3π4)，sin(x+π4)∈(22,1],

則有(sinx+cosx)ex?sinx=2sin(x+π4)ex?sinx>ex?sinx>0，

于是g′(x)>0，所以g(x)在(0,π2)上是增函數(shù)，g(x)>g(0)=0，所以k≤0．

即實數(shù)k19.解：(1)當a=1時，f(x)=?lnx+ex?1,f′(x)=ex?1x(x>0)．

記g(x)=ex?1x(x>0)，則g′(x)=ex+1x2>0，

∴f′(x)在(0,+∞)上單調遞增，

又f′(12)=e?2<0,f′(1)=e?1>0，

∴f′(x)在(12,1)上存在零點x0，且是唯一零點．

當x∈(0,x0)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

當x∈(x0,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．

∴x0是f(x)=?lnx+ex?1的極小值點，且是唯一極值點．

(2)①當x=1e時，f