2021年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（初賽）一試（A2卷）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

12021年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(初賽)暨2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(A2卷)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.1.若等比數(shù)列{a?}滿足a?-a?=3,a?-a?=2,則{a,}的公比為·答案：解：設(shè){an}的公比為q,則a?(1-q)=a?-a?=3,a?(1-q2)=a?-a?=2,故,所以2.函數(shù)f(x)=2sin2x-tan2x的最大值為·答案：3-2√2.當(dāng)(例如取時，f(x)取到最大值3-2√2.3.若圓錐的高為5,側(cè)面積為30π,則該圓錐的體積為·答案：解：設(shè)該圓錐的底面半徑為r,母線長為1.由條件知πrl=30π.注意到1=√于是該圓錐的體積4.在邊長為1的正六邊形的六個頂點中隨機取出三個頂點，則這三點中有兩答案：1.解：我們證明“所取出的三個頂點中有兩點的距離為√3”是必然事件.將邊長為1的正六邊形記為A?A?A?A?A?A?.若取出的三個頂點中存在兩個相鄰頂點，不妨設(shè)為A,A,注意到A?A?=A?A?=A?A?=A?A?=√3,故第三個點必與A,A?中某點的距離為√3;若取出的三個頂點中任意兩點不相鄰，則只可能是A?,A?,A?,或是A?,A?,A?,此時顯然有兩點的距離為√3.從而所求概率為1.數(shù)單位),則zg?+Z10的值為·答案：-5+5i.2又z?=3+2i,故Zg?=zi??=z?i=-2+3i.進而數(shù)x,均有f(x)+f(x+1)=1.記a=log?3,則表達式f(a)+f(2a)+f(3a)的答案：解：根據(jù)條件可知，當(dāng)n為奇數(shù)時，f(x+n)=1-f(x);f(x+n)=f(x).注意到a=log?3∈(1,2),2a=log?9∈(3,4),3a=log?27∈(4,5),f(a)+f(2a)+f(3a)=1-f(a-1)+1-f(7.設(shè)集合S={1,2,3,…,10},S的子集A滿足A∩{1,2,3}≠x,AU{4,5,這樣的子集A的個數(shù)為答案：888.解：先求使A∩{1,2,3}≠成立的S的子集A的取法數(shù)N?.在1,2,3中至少一個元素的方式有23-1=7種，而對4,5,…,10中每個數(shù)各有兩種選擇(取或不取),因此N?=7×2?=896.均被取出，而對4,5,6中每個數(shù)各有兩種選擇(取或不取),因此N?=23=8.從而滿足條件的子集A的個數(shù)為N?-N?=896-8=888.為圓心的單位圓.過原點O作一條直線1,使得1與T?,T?各有兩個交點，將T,T?共分成四段圓弧，且這四段圓弧中有兩段等長.所有滿足條件的直線l的斜率之和為答案：若1過T?或T?,則1平分T?的周長或平分T?的周長，由此可產(chǎn)生兩段等弧.此時1的可能的斜率為,或若1不過T,也不過T?,則I,I?均被1分成不等長的兩段弧，又T?,T?是等3圓，所以T被分成的兩段弧分別等于T?被分成的兩段弧.這意味著1平行于TT?或經(jīng)過TT?的中點M(6,6).此時1的可能的斜率為,或k?=koM=1.與T,T?各有兩個交點，符合題意.故所有滿足條件的直線1的斜率之和為二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.9.(本題滿分16分)已知△ABC滿足AB=1,AC=2,cosB+sinC=1,求BC邊的長.解：記a=BC,b=AC,c=AB,于是b=2,c=1.化簡得5sin2C-2sinC=0.又sinC≠10.(本題滿分20分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓設(shè)A為T的一個長軸端點，B為T的一個短軸端點，F(xiàn)為T的一個焦點.已(1)證明：焦點F在AO的延長線上； (2)求I的離心率的取值范圍. 注意到O是PQ的中點，故(1)假如焦點F為(c,0),則FA·FB=(a-c,0)·(-c,b)=c2-ac<0,此時4與條件不符.因此F為(-c,0),F在AO的延長線上.(2)由F(-c,0)可知，F(xiàn)A·FB=(a+c,0)(c,b)=c2+ac,結(jié)合①得FP·FQ+FA·FB=(c2-r2)+(c2+ac)=2c2+ac-r2.于是2c2+ac-r2=a2+b2,即r2=2c2+ac-a2-b2=3c2+ac-2a2.注意到r∈[b,a],故3c2+ac-2a2=r2∈[a2-c2,a2]11.(本題滿分20分)設(shè)a,b為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx.若存在三最小值.解：對滿足條件的函數(shù)f(x)及實數(shù)x?,x?,x?,設(shè)f(x?)=f(x?)=f(x?)=c,則x,x?,x?為三次方程x3+ax2+bx-c=0的三個實根，由韋達定理知即另一方面，當(dāng)a=√3,b=0時，實數(shù)滿5注：不等式1的另一證法如下：由于f(x)為三次函數(shù)，其x3項的系數(shù)為1,且f(x?)=f(x?)=f(x?),可設(shè)f(x)=(x-x?)(x-x?)(x-x?)+f(x?).又由