天津大學附屬中學2024-2025學年高二下學期4月月考數(shù)學試題（解析）

第頁，共頁2024-2025學年天大附中高二（下）數(shù)學檢測試題一、單選題：本題共12小題，共60分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列求導運算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的計算逐一判斷即可.【詳解】，，，，故選：C2.如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（）.A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】由導數(shù)的幾何意義可得的值，再由導數(shù)的概念即可得正確答案．【詳解】因為函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，切點的橫坐標為，由導數(shù)的幾何意義可得，所以，故選：D.3.已知，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導，并令代入可求得.將的值代入可得導函數(shù)，即可求得的值.【詳解】函數(shù)，則，令代入上式可得，則，所以，則，故選：A.【點睛】本題考查了導數(shù)的定義與運算法則，在求導過程中注意為常數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的解后可得函數(shù)的減區(qū)間.【詳解】，令，則，故函數(shù)的減區(qū)間為，故選：B.5.從中選取三個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，其中偶數(shù)有A.個 B.個 C.個 D.個【答案】B【解析】【分析】分0末位與2或4在末位兩種情況討論，利用分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理以及排列、組合知識，即可得出結(jié)論.【詳解】0在末位組成三位偶數(shù)有個；0不在末位時，2或4在末位，組成三位偶數(shù)有個，

從中選取三個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，其中偶數(shù)有個，故選B.【點睛】本題考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理以及排列、組合知識，屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.6.已如的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則展開式各項的二項式系數(shù)之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的單調(diào)性可得，即可由二項式系數(shù)和公式求解.【詳解】的展開式中第6項的二項式系數(shù)為，由于只有最大，所以，故二項式系數(shù)之和為，故選：B7.若函數(shù)在處取得極值1，則（）A.-4 B.-3 C.-2 D.2【答案】D【解析】【分析】通過對函數(shù)求導，得出和的參數(shù)值，即可求出的值.【詳解】由題意，，在中，，在處取得極值1，∴，解得：，經(jīng)經(jīng)驗滿足題意，∴，故選：D.8.已知函數(shù),若在時總成立，則實數(shù)k的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，令，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，根據(jù)表示的幾何意義，得到的取值范圍.【詳解】，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增令，則函數(shù)與函數(shù)在的圖像如下圖所示，則函數(shù)在處的切線的斜率為因為表示一次函數(shù)斜率，要使得在時總成立則故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)不等式的恒成立來求參數(shù)范圍，屬于中檔題.9.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析可得原題意等價于在上恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)分析運算.【詳解】由題意可得：，令，可得，原題意等價于在上恒成立，因為開口向下，對稱軸，可得在上單調(diào)遞減，當時，取到最大值，所以的取值范圍是.故選：A.10.若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解最小值問題，求導，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出最值.【詳解】因為，恒成立，所以在上恒成立，令，，則，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，當時，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，所以.故選：A11.已知定義域為的函數(shù)的導函數(shù)為，且，若，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定不等式構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再解不等式作答.【詳解】令，，因為，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，所以的解集為.故選：C12.已知函數(shù)的定義域為，且對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由題意，原問題等價于，令，則，進而可得在上為減函數(shù)，則在上恒成立，即從而即可求解.【詳解】解：設(shè)，因為對，當時都有恒成立，等價于，即，令，則，所以在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，且，所以，所以，解得，故選：A.二、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分.13.若的展開式中二項式系數(shù)之和為256，則展開式中常數(shù)項是__________．【答案】28【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的系數(shù)和公式可得的值，然后再利用展開式通項公式求得常數(shù)項.【詳解】解：因為的展開式中二項式系數(shù)之和為256，所以，故，即該二項式為設(shè)其展開式的通項為，則，當時，即，此時該項為故答案為：28.14.有3名男生、4名女生，全體排成一排，女生必須站在一起.則不同的排列方法總數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】先利用捆綁法將4名女生看成一個整體，再將女生整體和3名男生一起排列.【詳解】先把4名女生看成一個整體，4名女生內(nèi)部全排列有種排法，再把這個整體與另外3名男生排列，有種排法，則不同的坐法有種坐法.故答案為：15.有4名男生、4名女生，全體排成一排，男生互不相鄰，求不同的排列方法總數(shù).__________.【答案】【解析】【分析】先排女生，再將男生插入到空位中可得.【詳解】先將女生排成一排，有種，再將男生插入到5個空位中，有種，由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的排列方法總數(shù)為種.故答案為：16.第十三屆冬殘奧會于2022年3月4日至3月13日在北京舉行．現(xiàn)從4名男生，2名女生中選3人分別擔任冬季兩項、單板滑雪、輪椅冰壺志愿者，且至多有1名女生被選中，不同的選擇方案的種數(shù)為______．【答案】96【解析】【分析】分有一名女生的選法和沒有女生的選法兩種情況求解.【詳解】解：有一名女生的選法有種，沒有女生的選法有種，所以至多有1名女生被選中，不同的選擇方案的種數(shù)為，故答案為：9617.現(xiàn)有3名男生，3名女生和2名老師站成一排照相，2名老師分別站兩端，且3名女生互不相鄰，則不同的站法為______．【答案】288【解析】【分析】利用分步計數(shù)原理結(jié)合特殊元素優(yōu)先安排的方法可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分3步進行：第一步，2名老師分別站兩端，有種站法；第二步，先安排3名男生，有種站法，男生排好后，有4個空位可選；第三步，將3名女生安排在4個空位中的3個，有種站法，所以不同的站法有．故答案為：28818.已知函數(shù)直線l為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程____________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點為，求得的導數(shù)，可得切線的斜率，再由兩點的斜率公式，解方程可得切點和切線的方程.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為，的導數(shù)為，可得切線的斜率為，由切線經(jīng)過原點，可得，解得，，則切線的方程為.故答案為：.19.當時，函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍___________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)有兩個極值點轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，等價于與有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】有兩個極值點，所以有兩個不同的實數(shù)根，即有兩個不同的實數(shù)根，等價于與有兩個不同的交點，設(shè)，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以當；所以與要有兩個不同的交點，只需故答案為：【點睛】方法點睛：含參方程有根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，數(shù)形結(jié)合，是常用的方法.本題考查了運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于一般題目.20.已知函數(shù)，，若對任意的，存在唯一的，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先求，的值域，結(jié)合函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為在，的值域內(nèi)任取m，則直線與函數(shù)，的圖象只有一個交點，然后可得.【詳解】，解得或，解得所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，在上的最小值為0，又，所以在上的最大值為.因為，由圖可知，要使有唯一解，則因為對任意的，存在唯一的，使得，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：三、解答題本題共3小題，共50分.21.已知在的展開式中，第5項為常數(shù)項.（1）求的值；（2）求展開式的所有項的系數(shù)之和；（3）求展開式中所有的有理項.【答案】（1）（2）（3），，【解析】【分析】（1）結(jié)合二項式展開式中第項為常數(shù)列式求得.（2）利用賦值法求得展開式中所有項的系數(shù)之和.（3）結(jié)合二項式展開式的通項公式，求得展開式中所有有理項即可.【小問1詳解】已知在展開式中第5項為常數(shù)項，故為常數(shù)，所以，所以．【小問2詳解】令，可得展開式中所有項的系數(shù)之和為．【小問3詳解】因為展開式的通項公式為，故當，4，7，10，13，16時，展開式為有理項，分別為，，.22.已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處切線的方程；（2）其中試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】（1）（2）當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，此時函數(shù)極大值為，極小值為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)極大值為，極小值為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間，也無極值.【解析】【分析】（1）利用導數(shù)幾何意義求出切線的斜率，即可求解；（2）對函數(shù)求導，令解得或，然后討論和的大小，根據(jù)和的解集，即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求得極值.【小問1詳解】當時，，，，曲線在點處切線的斜率，所以切線方程為，即，所以曲線在點處切線的方程為.【小問2詳解】函數(shù)定義域為，求導得，因為，令，即，解得或，當，即時，令得或，令得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，此時函數(shù)極大值為，極小值為；當，即時，令得或，令得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，此時函數(shù)極大值為，極小值為；當，即時，在恒有，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間，也無極值.綜上可得：當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，此時函數(shù)極大值為，極小值為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)極大值為，極小值為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間，也無極值.23已知函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程;（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若對于任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見詳解；（3）.【解析】【分析】（1）利用導數(shù)求切線斜率，然后求出切點縱坐標，由點斜式可得切線方程；（2）求導，分和討論即可得解；（3）參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)