四川省達(dá)州市萬(wàn)源市萬(wàn)源中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.猜想數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】A項(xiàng)，令，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由于數(shù)列的前幾項(xiàng)可以變形為，被開方數(shù)構(gòu)成了以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，故可知其通項(xiàng)公式是，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，令，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，令，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選B.考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式點(diǎn)評(píng)：解決關(guān)鍵是對(duì)于已知中各個(gè)項(xiàng)的變換規(guī)律，那么可知數(shù)字構(gòu)成了等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題．2.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部是（）A.1 B.3 C.-1 D.-3【答案】C【解析】【分析】先求出，即可得出復(fù)數(shù)，進(jìn)而求出實(shí)部.【詳解】因?yàn)?，則，所以的實(shí)部是.故選：C.3.在等比數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】在等比數(shù)列中，若，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，故.故選：B.4.若是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.5.若斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用點(diǎn)差法列方程組，結(jié)合條件推得，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，并考慮點(diǎn)在橢圓內(nèi)即得.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得：（*），設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，因直線的斜率為1，即，分別代入上式（*），整理得：.將選項(xiàng)逐一代入檢驗(yàn)知，A，D滿足，但是，點(diǎn)在橢圓外，不合要求.故選：A.6.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得成等差數(shù)列，計(jì)算即可求得的值.【詳解】由是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則成等差數(shù)列，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，所?故選：A.7.函數(shù)的大致圖象是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，及x=0時(shí)，y=0，即可求解．【詳解】函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為，令y′=0，得x=，時(shí)，y′＜0，時(shí)，y′＞0，時(shí)，y′＜0．∴函數(shù)在（﹣），（）遞減，在（）遞增．且x=0時(shí)，y=0，排除B，x=-1時(shí)，y=0，x=-2時(shí)，y>0排除C，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象問(wèn)題，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題，8.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由條件可得出是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，然后即可比較出的大小【詳解】設(shè)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以是偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增因?yàn)椋?，即故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，構(gòu)造出合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓錐曲線：，若三個(gè)數(shù)1，，7成等差數(shù)列，則的離心率為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先求得，根據(jù)的不同值，分橢圓和雙曲線，求離心率.【詳解】由三個(gè)數(shù)1，，7成等差數(shù)列，得，解得．若，則圓錐曲線：即為橢圓：，可得離心率為；若，則圓錐曲線：即為雙曲線：，可得離心率為.故選：BC．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題容易因忽略的正負(fù)性或誤將的值當(dāng)作是的值而致錯(cuò)．10設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，直線不是的切線D.對(duì)，點(diǎn)是的對(duì)稱中心【答案】BD【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求出切線方程，即可判斷A，B，C，對(duì)于D，利用函數(shù)平移即可判斷．【詳解】,對(duì)于A：，時(shí)，，單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：，解得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，所以直線是的切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，由右移一個(gè)單位，上移個(gè)單位，又為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，又，所以對(duì)，點(diǎn)是的對(duì)稱中心，故D正確，故選：BD．11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、，則下列描述正確的有（）A.直線與圓相交 B.的最小值為C.存在點(diǎn)，使得 D.直線過(guò)定點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】利用圓心到直線的距離及點(diǎn)圓的位置關(guān)系可判定A，B；由切線長(zhǎng)定理結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性確定的最大值即可判定C，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系及公共弦方程可得直線方程判定D.【詳解】圓的圓心，半徑，連接，對(duì)于A，點(diǎn)到直線的距離，直線l與圓C相離，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)在圓上，則，B正確；對(duì)于C，由切線長(zhǎng)定理知，，而，又是銳角，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此的最大值為，C正確；對(duì)于D，設(shè)，則以PC為直徑的圓的方程為即，與已知圓的方程相減可得直線的方程為，即，由可得，即直線AB過(guò)定點(diǎn)，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用點(diǎn)與圓可處理直線與圓上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，根據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系處理相切及切點(diǎn)弦問(wèn)題即可.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在處有極大值，則______.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由求得值，然后對(duì)所得結(jié)果加以檢驗(yàn)即可．【詳解】由已知，可得，令，解得或，由可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不是極大值點(diǎn)，舍去；由可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．綜上．故答案為：．13.若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：14.若，則______．【答案】【解析】【分析】計(jì)算出的值，即可得出所求代數(shù)式的值,【詳解】對(duì)于函數(shù)，對(duì)任意的，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，，因此?故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最大值為，求的值．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?）當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為，因此．16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的定義，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列前n項(xiàng)和．【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，所以，即．【小問(wèn)2詳解】由題意可知：，則，則，可得，兩式相減可得，所以．17.已知拋物線C：的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)，求直線的斜率.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，即得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用雙曲線的定義求出，進(jìn)而，即可解答；（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，當(dāng)時(shí)，直線與漸近線平行，與與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)符合題意，當(dāng)時(shí)，利用判別式法列方程求解，即可解答.小問(wèn)1詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線：，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，則，而，故，故雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】顯然直線的斜率存在，否則直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立則，故，若，解得，此時(shí)直線與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)；若，則，解得.綜上所述，直線的斜率為或.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，是邊長(zhǎng)為6的正三角形，，分別是線段和上的點(diǎn)，.（1）試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）F為三等分點(diǎn)，且；證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意證得，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）由線面角的定義結(jié)合題意可求出，設(shè)中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】取為三等分點(diǎn)，且，過(guò)作，則，所以為平行四邊形，所以，又，，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由題意平面底面，平面底面，，平面，所以，所以直線與平面所成角的平面角為，在中，由，得.設(shè)中點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)為，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，可得，易求平面法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，其中．（1）證明：為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，求．【答案】（1）證明見解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）令可得出的值，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，變形得出，結(jié)合等差數(shù)列的定