遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁，共頁濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高一4月份考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（40分）1.若將鐘表調(diào)慢5min，則分針轉(zhuǎn)動(dòng)角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分針轉(zhuǎn)一圈60min共求解即可.【詳解】分針轉(zhuǎn)一圈60min共，將鐘表的分針調(diào)慢5min，為逆時(shí)針，則分針逆時(shí)針轉(zhuǎn)過．故選：B．2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求出.【詳解】,故選：3.已知，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可先對(duì)兩邊平方求出的值，判斷的范圍，再求出的值，最后聯(lián)立方程求解與的值，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】已知，兩邊平方可得，因?yàn)椋?，移?xiàng)可得.因?yàn)椋?，所以，，則.，將代入可得：因?yàn)?，，所以，故D選項(xiàng)正確.聯(lián)立，將兩式相加可得：，則.將代入可得：，移項(xiàng)可得.所以，故B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)?，且，則.所以A選項(xiàng)正確.故選：C.4.不等式解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由不等式，化簡(jiǎn)得，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得.故選：C.5.已知函數(shù)在區(qū)間上恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值花圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，結(jié)合條件可得，求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰好有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖求出函數(shù)，再利用函數(shù)圖象變換求出即可.【詳解】觀察函數(shù)圖象，函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，又，則，，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，因此，所以.故選：C7.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則和的值為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由是偶函數(shù)可得的值，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可得函數(shù)關(guān)系，得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可確定答案.【詳解】由是偶函數(shù)，得，故，所以對(duì)任意都成立，且，所以，因?yàn)椋裕傻膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，令得，所以，因?yàn)?，所以，又，得，，解得，?dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上不是單調(diào)函數(shù)．綜上可得，或．故選：C．8.函數(shù)的周期，設(shè)且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得，由及正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心得，再由，要使得更小，則盡可能靠近，從而得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinωx+π3,(ω>0)的周期，所以令，得，所以的對(duì)稱中心為，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，因?yàn)?，要使得盡可能小，則與要盡可能靠近，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，但實(shí)際上均不為，所以x1?x故選：B.二、多選題（18分）9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義計(jì)算可得A錯(cuò)誤，將代入計(jì)算可判斷BD正確，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出C正確.【詳解】對(duì)于A，由三角函數(shù)定義可知，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知，所以，即B正確；對(duì)于C，化簡(jiǎn)，即C正確；對(duì)于D，將代入可得：原式，可得D正確.故選：BCD10.如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設(shè)計(jì)安裝的過山車軌道．建立平面直角坐標(biāo)系如圖（2），h（單位：m）表示在時(shí)間t（單位：s）時(shí)．過山車（看作質(zhì)點(diǎn)）離地平面的高度．軌道最高點(diǎn)P距離地平面．最低點(diǎn)Q距離地平面．入口處M距離地平面．當(dāng)時(shí)，過山車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，過山車到達(dá)最低點(diǎn)Q．設(shè)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為12 B.C.時(shí)，過山車距離地平面是 D.一個(gè)周期內(nèi)過山車距離地平面高于的時(shí)間是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意抽象出函數(shù)的最值，列式求，根據(jù)周期求，最后根據(jù)求，再根據(jù)函數(shù)的解析式判斷CD.【詳解】由題意可知，周期滿足，得，故A正確；所以，得，又，解得，，所以，又，即，得，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；所以.則，故C正確；對(duì)于D，由，得，即，則，，解得，，所以一個(gè)周期內(nèi)過山車距離底面高于20m的時(shí)間是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.對(duì)于函數(shù)．下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)B.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍為C.若函數(shù)在時(shí)取得最小值，在時(shí)取得最大值，且，則D.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象，若為偶函數(shù)，則的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算零點(diǎn)，然后判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；B選項(xiàng)，利用整體代入法求的單調(diào)遞增區(qū)間，然后列不等式即可；C選項(xiàng)，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到，然后利用誘導(dǎo)公式計(jì)算；D選項(xiàng)，根據(jù)圖象平移得到，然后根據(jù)偶函數(shù)列方程，解得即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，即，則或，，整理得或，，所以在上有和兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)；令，，整理得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，無解，所以，故B正確；由得，則，，，所以，故C正確；由題意得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以或，即，，，整理得，，又，所以的最小值為2，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：B選項(xiàng)的解題關(guān)鍵在于根據(jù)的解析式得到遞增區(qū)間，然后讓在增區(qū)間里即可.三、填空題（15分）12.把，，，由小到大排列為________________．【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)線即可比較大小.【詳解】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中,以為圓心作單位圓，分別作出已知角，則，，，．而，∴，∴．故答案為：13.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域是_______【答案】【解析】【分析】本題可根據(jù)二次根式有意義的條件以及正切函數(shù)的定義域來確定函數(shù)的定義域.二次根式中被開方數(shù)須大于等于，同時(shí)正切函數(shù)分母不能為.【詳解】要使函數(shù)有意義，則根號(hào)下的，且有意義，即的分母.因，所以（）.那么等價(jià)于.由可得.由可得.因?yàn)?，?綜合以上條件，取交集可得或.故答案為：.14.已知扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，若其周長(zhǎng)為6，當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角為，則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式結(jié)合均值不等式得到，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】根據(jù)題意：，故，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立..故答案為：.四、解答題（77分）15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，射線繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．（1）求的值（2）求的達(dá)式，并求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）由條件結(jié)合三角函數(shù)定義求解即可；（2）由（1）可求得，再由三角函數(shù)定義求，代入，結(jié)合誘導(dǎo)公式求結(jié)論；（3）由條件結(jié)合（2）可得，結(jié)合同角關(guān)系可求.【小問1詳解】因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則.【小問2詳解】由（1）知，，又銳角，所以，因?yàn)樯渚€繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)，所以，可得．【小問3詳解】若，，則，所以．16.（1）求值（2）已知，且，求值【答案】（1）分類討論，答案見解析；(2).【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求值即得.（2）根據(jù)給定條件，確定范圍，再利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系求值.【詳解】（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.（2）由，得，而，則，所以.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若時(shí)，的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)對(duì)稱中心求解即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則求解即可；（3）整體法，求出，即可求出的最小值.【小問1詳解】令，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；【小問2詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以令，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問3詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以.18.（1）已知，若求的值（2）已知函數(shù)，求的最小值及此時(shí)相應(yīng)的值【答案】（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，取得最小值.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合弦化切，化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)，再利用基本不等式求最值.【詳解】（1）由題意，，若，則.所以.（2）由題意，令，因?yàn)?，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)，，即或所以，當(dāng)或時(shí)，取得最小值.19.設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)在R上的最大值；（2）若不等式在上恒成立，求a的取值范圍；（3）若方程在上有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性知，原函數(shù)變?yōu)橐詾樽宰兞康拈_口向下的二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系分別求解即可；（2）利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為上恒成立列不等式求解即可；（3）利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)求的范圍，將所有滿足條件的不等式列出來，求解出的范圍即可．【小問1詳解】，令，，則變?yōu)?，?/p>