湖南省邵陽市邵東市創(chuàng)新高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2025年上學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)的實部為，虛部為b，則=（）A.7 B.5 C. D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實部和虛部的定義求出的值，進而求解即可.【詳解】由題意，，則.故選：C.2.已知向量，則實數(shù)的取值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】因為，所以，解得.故選：C.3.在中，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)由余弦定理，可得，代入數(shù)據(jù)即得.【詳解】由余弦定理，得，.故選：D.4.在中，""是為鈍角三角形的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和充分條件、必要條件的定義即可求解.【詳解】由，可得，所以為鈍角，是鈍角三角形，所以由可以得出為鈍角三角形，若為鈍角三角形，不一定為鈍角，所以也得不出，所以在中，""是為鈍角三角形的充分不必要條件，故選：A.5.如圖，在長方體中，AB＝AD＝2，，則四棱錐的體積為（）A.3 B.4 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)長方體的特殊線面關(guān)系，結(jié)合棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】在長方體中，底面ABCD，則四棱錐的體積為.故選：B6.底面積為，側(cè)面積為的圓錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由底面積可求底面半徑，根據(jù)側(cè)面積可求母線，由圓錐的軸截面可求圓錐的高，代入體積公式即可求解.【詳解】因為底面積為，所以底面半徑，因側(cè)面積為，設(shè)母線為，所以，所以，設(shè)圓錐的高為，所以，所以圓錐的體積為.故選：.7.如圖所示的正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法畫直觀圖的性質(zhì)，即平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段的長度減半，結(jié)合圖形求得原圖形的各邊長，可得周長．【詳解】直觀圖正方形的邊長為，，原圖形平行四邊形，其中，高，，原圖形的周長.故選：B.【點睛】本題考查斜二測直觀圖的相關(guān)計算，熟練掌握斜二測畫法的特征是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知向量，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量模的坐標形式可求的最大值，注意利用二倍角的正弦公式來計算.【詳解】，故，又，當且僅當即等號成立，故的最大值為，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)向量，，則（）A. B.C. D.與的夾角為【答案】CD【解析】【分析】求出可判斷A；求出的坐標，利用向量共線的坐標運算可判斷B；由向量垂直的坐標運算可判斷C；利用向量夾角公式計算可判斷D.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，故C正確；對于D，，因為，所以與的夾角為，故D正確.故選：CD.10.如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是圓柱的一條母線，已知，，，則下列說法正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為 B.圓柱的側(cè)面積為C.圓柱的表面積為 D.圓柱的表面積為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)，，由，求得底面半徑，再根據(jù)母線，利用圓柱的側(cè)面積公式和表面積公式求解.【詳解】因為，，所以，即，又因為，所以圓柱的側(cè)面積是，圓柱的表面積是，故選：BC11.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中正確的是（）A.若是虛數(shù)，則不是實數(shù)B.若，且，則C.一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實部等于零D.復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在實軸上方【答案】AD【解析】【分析】由虛數(shù)的概念可判斷ABC，由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)虛數(shù)的定義，A正確；對于B，虛數(shù)不能比較大小，B錯誤；對于C，一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實部等于零且虛部不等于0，C錯誤；對于D，對應(yīng)點的坐標為，因為，所以點在軸上方，D正確．故選：AD．12.在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是鈍角三角形C.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍D.若，則外接圓半徑為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等變換知識逐項判斷即可.【詳解】對A，因為在中，所以，解得，所以根據(jù)正弦定理知，故A正確；對B，易知角C為最大角，則，，所以角C為銳角，故是銳角三角形，故B錯誤；易角A為最小角，則，所以，即，又，所以，所以，故C正確；設(shè)外接圓的半徑為R，則由正弦定理得，解得，故D正確；故選：ACD.第Ⅱ卷（填空題和解答題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)的模等于，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式可求解的值.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)，所以，解得，.故答案為：.14.已知三棱錐的棱長都是2，則該三棱錐的體積為___．【答案】【解析】【分析】設(shè)為正的中心，連接結(jié)合正弦定理得到底面外接圓半徑和三棱錐的高，結(jié)合題設(shè)數(shù)據(jù)以及棱錐體積公式即可求解.【詳解】設(shè)為正的中心，連接，則由題意可得為三棱錐的高，為正外接圓圓心的半徑，所以，所以該三棱錐的體積為.故答案：15.中，角的對邊分別為，已知，，，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】在中，，，，由正弦定理，得到.故答案為：.16.如圖所示，在中，是BN上的一點，若，則實數(shù)m的值為___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用共線向量的推論列式計算作答.【詳解】在中，，即，又，即，因此，而點B，P，N共線，于是，解得.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)（，是虛數(shù)單位）.（Ⅰ）若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（Ⅱ）設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先化簡復(fù)數(shù)成代數(shù)形式，再令實部等于零、虛部不為零即可；（Ⅱ）先寫復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)對應(yīng)點的位置列關(guān)系計算即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)（Ⅰ）因為是純虛數(shù)，所以且，故；（Ⅱ）因為是的共軛復(fù)數(shù)，所以，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第二象限，且，.【點睛】本題考差了復(fù)數(shù)中純虛數(shù)的定義和共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.18.已知與的夾角為，．（1）已知∥，求實數(shù)k的取值范圍；（2）已知⊥，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量共線的基本定理計算可得；（2）先由定義求出向量的數(shù)量積，再利用數(shù)量積的運算律和垂直的條件計算可得.【小問1詳解】∵∥，∴，則．，且.【小問2詳解】由題意得．∵⊥，，則，，即，．19.在中，（1）求；（2）若的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)應(yīng)用三角恒等變換,正弦定理化簡已知等式,結(jié)合,可得的值,即得的值;(2)由題意利用三角形面積公式可求的值,進而可求的值,由余弦定理可求的值,即可求解的周長的值.【小問1詳解】由,及正弦定理得，即得，又因為中,，所以,又因為,所以即．又，故．【小問2詳解】由題意，，故，即，故，由余弦定理，解得.故三角形的周長為20.平面內(nèi)給定三個向量.（1）求；（2）求滿足的實數(shù)m和n；（3）若，求實數(shù)k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量加法的坐標運算得到，再求模長即可；（2）先寫的坐標，再根據(jù)使對應(yīng)橫縱坐標相等列方程組，解方程組即得結(jié)果；（3）利用向量垂直則數(shù)量積為零，再利用數(shù)量積的坐標運算列關(guān)系求出參數(shù)即可.【詳解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【點睛】結(jié)論點睛：若，則等價于；等價于.21.已知在正方體中，截下一個四棱錐，，E為棱中點.（1）求四棱錐的表面積；（2）求四棱錐體積與剩余部分的體積之比；（3）若點F是AB上的中點，求三棱錐的體積.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）四棱錐的表面由正方形ABCD和四個直角三角形所圍成，求出各面積相加即可（2）設(shè)剩余部分的體積為，正方體體積，則（3）由等體積法，用算即可.【小問1詳解】四棱錐的表面由正方形ABCD和四個直角三角形所圍成，，，，則與全等，與全等，因為，，，所以【小問2詳解】設(shè)剩余部分的體積為，因為EC為四棱柱的高，且所以又正方體體積，【小問3詳解】，其中平面ABCD，故22.“但有一枝堪比玉，何須九畹始征蘭”，盛開的白玉蘭是上海的春天最亮麗的風(fēng)景線，除白玉蘭外，上海還種植木蘭科的其他栽培種，如黃玉蘭和紫玉蘭等．某種植園準備將如圖扇形空地AOB分成三部分，分別種植白玉蘭、黃玉蘭和紫玉蘭；已知扇形的半徑為70米，圓心角為，動點P在扇形的弧上，點Q在OB上，且．（1）求扇形空地AOB的周長和面積；（2）當米時，求PQ的長；（3）綜合考慮到成本和美觀原因，要使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大．設(shè)，求面積的最大值．【答案】（1）周長為米，面積為平方米（2）米（3）平方米【解析】【分析】（1