10.4 三元一次方程組的解法 教學設計2024-2025學年人教版數(shù)學七年級下冊

10.4三元一次方程組的解法教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容

本節(jié)課主要研究三元一次方程組的概念及其解法，內(nèi)容包括：通過實際問題引入三元一次方程組的定義，運用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組，掌握將"三元"轉(zhuǎn)化為"二元"的解題策略，并應用三元一次方程組解決實際生活問題。2.內(nèi)容解析

三元一次方程組是二元一次方程組知識的延伸與拓展，通過類比二元一次方程組的解法，引導學生經(jīng)歷"三元→二元→一元"的消元過程。本課重點在于建立消元思想，發(fā)展學生代數(shù)運算能力和數(shù)學建模能力，為后續(xù)學習多元高次方程組奠定基礎。二、目標和目標解析1.目標

(1)能根據(jù)實際問題建立三元一次方程組模型

(2)掌握代入消元和加減消元的綜合運用方法

(3)能解決含比例關系、代數(shù)式求值等典型應用問題2.目標解析

通過足球聯(lián)賽積分、化學實驗配比等實際案例，培養(yǎng)學生從多變量問題中抽象數(shù)學模型的意識。在消元過程中，通過觀察方程組結(jié)構(gòu)選擇最優(yōu)解法，提升代數(shù)變形和邏輯推理能力。通過拓展應用題訓練，發(fā)展學生運用數(shù)學知識解決復雜問題的綜合素養(yǎng)。三、教學問題診斷分析消元策略選擇困難：學生難以根據(jù)方程特征快速確定主消元變量代數(shù)變形易錯：在多次代換過程中容易出現(xiàn)符號錯誤或計算失誤應用建模薄弱：對含三個未知量的實際問題難以建立完整的方程系統(tǒng)四、教學過程設計（一）情景引入問題1某次校運會班級積分統(tǒng)計：總獲獎數(shù)：金銀銅牌共20枚金牌比銀牌多3枚銅牌數(shù)是銀牌的2倍少1枚

如何求出各類獎牌數(shù)量？問題2實驗室配制三種濃度消毒液：總用量500ml高濃度用量是中濃度的2倍低濃度比中濃度少50ml

需要建立怎樣的數(shù)學模型？問題3觀察下列方程組特征：

x

與二元方程組相比有何異同？設計意圖：通過階梯式問題鏈激活學生已有知識，體會建立三元方程組的必要性，對應目標(1)（二）合作探究1探究1解方程組：

x驗證：(①+③)得2x(①+②)得3x聯(lián)立求解得：

x追問：哪些方程組合并可以快速消元？若先消去z，應如何組合方程？比較代入法與加減法的效率差異（三）鞏固練習1解方程組：

2x

答案：

通過消z得：

3x

解得：

x已知：

a

求a,b,c的值。

解析：三式相加得a（四）合作探究2探究2化學實驗配比問題：

三種溶液含酒精比例為2:3:5，混合后總酒精量120ml，且第二種比第一種多15ml，第三種是前兩種之和，求各溶液用量。研究3建立方程組：

x

證明：由比例設x=2k解得：

x設計意圖：培養(yǎng)多角度建模能力，強化比例關系處理技巧，對應目標(3)（五）典例分析例1解方程組：

3x解析：(2)×3+(3)消y得11x聯(lián)立(1)解得：

x代入(2)得：

y設計意圖：示范加減消元的綜合運用，突破多重消元難點，對應目標(2)（六）鞏固練習解方程組：

x

答案：

x超市購物問題：

蘋果、香蕉、橙子單價之和18元，蘋果比香蕉貴3元，橙子是香蕉的2倍，求各水果單價。

建模：

a

解：

a幾何應用：

三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，最大角是最小角的3倍，求各角度數(shù)。

解：設角為α?dα

解得：

α

即角度為30°,60°,90°設計意圖：通過多領域應用強化建模思想，對應目標(3)（七）歸納總結(jié)知識模塊核心方法注意事項概念理解識別含三個未知數(shù)的一次方程檢驗方程組的完整性解法策略優(yōu)先消去系數(shù)簡單的變量保持方程變形等價性應用建模挖掘題目中的等量關系合理設定未知數(shù)（八）感受中考(2023·北京)解方程組：

2a

答案：

a(2022·廣州)已知：

x

則x+y+z=

x(2024·上海)實驗室配制三種濃度酸溶液，總用量200ml，A種是B種的2倍，C種比B種多40ml，列方程組正確的是（）

答案：

A(2023·重慶)某三位數(shù)，各位數(shù)之和為16，十位數(shù)字比個位大2，百位是十位的2倍，該數(shù)為______

解：設個位為x，得方程：

2（九）小結(jié)梳理知識維度與已學知識的聯(lián)系后續(xù)發(fā)展方程概念二元→三元的維度擴展多元高次方程組消元思想消元法的一致性矩陣初等變換建模應用單變量→多變量問題線性規(guī)劃基礎（十）布置作