2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第1篇專題5立體幾何第2講大題考法-立體幾何的綜合問題學(xué)案

PAGEPAGE1第2講大題考法——立體幾何的綜合問題考向一平行、垂直的證明與空間幾何體的體積計算問題【典例】(2024·全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，eq\a\vs4\al(AB＝BC＝\f(1,2)AD)，eq\a\vs4\al(∠BAD＝∠ABC＝90°)．(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，eq\a\vs4\al(求四棱錐P-ABCD)eq\a\vs4\al(的體積)．[審題指導(dǎo)]eq\a\vs4\al(①看到AB＝BC＝\f(1,2)AD，想到取AD的中點,②看到四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，想到BC∥AD,③看到求VP-ABCD，想到體積公式，關(guān)鍵是確定高及底面積)[規(guī)范解答](1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD. 2分又BC?平面PAD?，AD?平面PAD， 3分故BC∥平面PAD.4分(2)解：如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD. 6分因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD?，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 8分因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM. 9分設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x．取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD?，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x. 10分因為△PCD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7)，解得x＝－2(舍去)或x＝2．于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3). 11分所以四棱錐P-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(22＋4,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3). 12分?處在證明線面平行問題時，易忽視線不在面內(nèi)這一條件從而失分，留意線面平行條件運用的規(guī)范化．?處易忽視通過側(cè)面PAD⊥底面ABCD可轉(zhuǎn)化為線面垂直及線線垂直，從而不能創(chuàng)設(shè)垂直關(guān)系和利用數(shù)量等量關(guān)系來確定底面邊長及高．?處易忽視如何表示△PCD的面積，即以CD為底，高如何確定，導(dǎo)致思路不通．[技法總結(jié)]位置關(guān)系的證明與求幾何體的體積綜合問題的模型[變式提升]1．(2024·天水二模)在多面體ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD.AB∥CD∥PQ，AB⊥AD，△PAD為正三角形，O為AD中點，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．(1)求證：平面POB⊥平面PAC；證明由條件可知，Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO．∴∠DAC＋∠AOB＝∠ABO＋∠AOB＝90°．∴AC⊥BO．∵PA＝PD，且O為AD中點，∴PO⊥AD．平面PAD⊥平面ABCD．∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平面PAD∩平面ABCD＝AD，,PO⊥AD，,PO?平面PAD))∴PO⊥平面ABCD．又∵AC?平面ABCD，∴AC⊥PO．又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB．∵AC?平面PAC，∴平面POB⊥平面PAC．(2)求多面體ABCDPQ的體積．解取AB中點為E，連接CE，QE．由(1)可知，PO⊥平面ABCD．又∵AB?平面ABCD，∴PO⊥AB．又∵AB⊥AD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面PAD．∴VABCDPQ＝VPAD-QEC＋VQ-CEB＝S△PAD·|AE|＋eq\f(1,3)S△CEB·|PO|＝eq\f(\r(3),4)×22×1＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)．考向二平面圖形的翻折與探究性問題【典例】如圖①，在四邊形ABCD中，AD＝CD＝2，AC＝2eq\r(2)，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)為線段AC的中點．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖②所示．(1)求證：AC⊥BD；(2)試問：在線段BC上是否存在一點E，使得eq\f(VC-DFE,VC-DBA)＝eq\f(1,4)？若存在，懇求出點E的位置；若不存在，請說明理由．(1)證明AD＝CD＝2，AC＝2eq\r(2)，從而AD2＋CD2＝AC2，故AD⊥CD，△ADC是等腰直角三角形．又F為線段AC的中點，所以DF⊥AC．連接BF(圖略)，因為△ABC是等邊三角形，所以BF⊥AC，又DF∩BF＝F，故AC⊥平面BDF．又BD?平面BDF，所以AC⊥BD．(2)解線段BC上存在點E，使得eq\f(VC-DFE,VC-DBA)＝eq\f(1,4)，且E為線段BC的中點．因為平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，且DF⊥AC，所以DF⊥平面ABC，故DF為三棱錐D-FCE和D-ABC的高，所以eq\f(VC-DFE,VC-DBA)＝eq\f(VD-FCE,VD-ABC)＝eq\f(S△FCE,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)CF·CE·sin∠ECF,\f(1,2)CA·CB·sin∠ACB)＝eq\f(CF,CA)·eq\f(CE,CB)＝eq\f(1,4)．又F為線段AC的中點，所以eq\f(CF,CA)＝eq\f(1,2)，故eq\f(CE,CB)＝eq\f(1,2)，從而E為線段BC的中點，即當(dāng)E為線段BC的中點時，eq\f(VC-DFE,VC-DBA)＝eq\f(1,4)．[技法總結(jié)]1．求解平面圖形折疊問題的關(guān)鍵和方法(1)關(guān)鍵：分清翻折前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系變更，哪些不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口．(2)方法：把平面圖形翻折后，經(jīng)過恰當(dāng)連線就能得到三棱錐、四棱錐等幾何體，從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟識的幾何體中解決．2．求解探究性問題的類型及策略問題類型求解策略對命題條件的探究(1)先猜后證，即先視察，嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探究出命題成立的條件，再證明充分性；(3)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探究出命題成立的條件對命題結(jié)論的探究(1)探究結(jié)論是什么，常從條件動身，探究出要求的結(jié)論是什么；(2)探究結(jié)論是否存在，常先假設(shè)結(jié)論存在，再在這個假設(shè)下進行推理論證，找尋與條件相符或沖突的結(jié)論，相符則存在，沖突則不存在[變式提升]2．如圖①，平面五邊形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝eq\r(7)，cos∠EDC＝eq\f(5,7).將△CDE沿CE折起，使點D到P的位置，且AP＝eq\r(3)，得到四棱錐P-ABCE，如圖②．(1)求證：AP⊥平面ABCE；(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l．證明(1)在△CDE中，∵CD＝ED＝eq\r(7)，cos∠EDC＝eq\f(5,7)，由余弦定理得CE＝2.連接AC，∵AE＝2，∠AEC＝