《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》提升訓(xùn)練

7/7《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》提升訓(xùn)練（時間：35分鐘；分值：50分）一、選擇題（每小題5分，共25分）1.(2018河南鄭州領(lǐng)航實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末，★★☆)斜率為1，且過拋物線的焦點(diǎn)的直線被拋物線截得的弦長為（）A.8B.6C.4D.102.(2018甘肅蘭州一中期末，★★☆)已知直線的斜率為，它與拋物線相交于兩點(diǎn),為拋物線的焦點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.3.(2018湖南醴陵一中期末，★★★)如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過且依次交拋物線及圓于四點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.4.(2017陜西西北大學(xué)附中期末，★☆☆)過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，如果，那么等于（）A.8B.10C.6D.45.(2017黑龍江雙鴨山期末，★★☆)已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）A.B.C.D.二、填空題（共5分）6.(2018北京師范大學(xué)附中期中，★☆☆)已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是.三、解答題（每小題10分，共20分）7.(2018遼寧大連八中期末，★★★)已知過拋物線的焦點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且=6.（1）求該拋物線的方程；（2）過點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點(diǎn)和設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線恒過一個定點(diǎn).8.(2017江西九江一中期末，★★★)已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在上，且.（1）求的值；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于（異于）兩點(diǎn)，證明：直線與直線的斜率之積為常數(shù).

參考答案一、選擇題1.答案：A解析：由拋物線得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為斜率為，且過焦點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立消去，得.設(shè)該直線與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則.直線被拋物線截得的弦長為.2.答案：B解析：設(shè)在第一象限,如圖,分別過作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于,過作于，根據(jù)拋物線定義和，可設(shè)，則，故；當(dāng)在第四象限時，同理，可得，故選B.3.答案：B解析：由題意得的坐標(biāo)為，即為圓的圓心，準(zhǔn)線方程為.由拋物線的定義得，又，所以.同理，.=1\*GB3①直線與軸垂直時，則有，.②當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為，由消去，整理得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上，可得，故選B.4.答案：A解析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,則，又，故選A.5.答案：B解析：設(shè)，易知直線恒過點(diǎn)，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以為的中點(diǎn)，所以，由，得，則解得，故選B.二、填空題6.答案:解析：設(shè)，由消去得，所以，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為三、解答題7.答案：見解析解析：（1）易知拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為，聯(lián)立消元得，.，解得.，故拋物線的方程為..（2）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意可設(shè)直線的方程為.由得.，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，則.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意知，直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時，有，此時直線的斜率.所以，直線的方程為，整理得.于是,直線恒過定點(diǎn).當(dāng)時，直線的方程為，也過點(diǎn).綜上所述，直線恒過定點(diǎn).8.答案：見解析解析：（1）由拋物線定義知，則，解得=1\*GB3①，又點(diǎn)在上，代入，得②，由①②得.（2）證明：由（1）得，.當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸時，有，則直線的斜率，直線的斜率，所以.