拓展資料：復(fù)習(xí)圓錐曲線需要重溫“七個(gè)問(wèn)題”

PAGE1/5復(fù)習(xí)圓錐曲線需要重溫“七個(gè)問(wèn)題”圓錐曲線是高考考查平面解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容.由于圓錐曲線問(wèn)題中概念多、內(nèi)容廣、運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)，因此同學(xué)們?cè)诮鈭A錐曲線問(wèn)題時(shí)常常出現(xiàn)概念性、理解性、運(yùn)算性、方法性上的錯(cuò)誤，有的錯(cuò)誤還不易察覺(jué).復(fù)習(xí)階段，重溫以下七個(gè)問(wèn)題，能幫助我們少犯錯(cuò)誤.問(wèn)題1：直線的斜率一定存在嗎例1在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)．求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題.錯(cuò)解：設(shè)直線的方程為,與拋物線＝2聯(lián)立,消去得,令,則而所以故原命題是真命題.點(diǎn)評(píng)：由于直線的斜率可以表示直線的傾斜程度,同時(shí)又是直線傾斜角的正切,因此引進(jìn)直線的斜率作用很大,但也帶來(lái)了一些負(fù)面影響.直線的傾斜角永遠(yuǎn)存在,但直線的斜率卻有存在與不存在之分,在直線問(wèn)題中我們常常在此處出現(xiàn)錯(cuò)誤.這里的錯(cuò)解中誤認(rèn)為過(guò)點(diǎn)T（3，0）的直線的斜率存在，其實(shí)直線的斜率有存在與不存在兩種情形,不少同學(xué)因忽視分類討論導(dǎo)致證明不全面.正確的解法可以是：(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與拋物線＝2相交于，于是(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，就是上述證明.綜合(1)、(2)可知,“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題.問(wèn)題2：軌跡上有瑕點(diǎn)嗎例2在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.錯(cuò)解：根據(jù)題意，橢圓半焦距長(zhǎng)為，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，半短軸長(zhǎng)，即橢圓的方程為設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為,點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，）,由于,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）.故點(diǎn)M的軌跡方程為.點(diǎn)評(píng)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何研究的兩大基本問(wèn)題之一,也是高考考查解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容和主要題型.在這種問(wèn)題中，要切實(shí)理解和掌握軌跡的純粹性（軌跡上沒(méi)有不符合條件的點(diǎn)）和完備性（凡是符合條件的點(diǎn)都在軌跡上），即軌跡上既沒(méi)有多余的點(diǎn)（瑕點(diǎn)）也沒(méi)有遺漏的點(diǎn).解題中往往以忽視軌跡的純粹性致錯(cuò)居多.這里第一步求橢圓方程時(shí)，因沒(méi)有考慮橢圓在第一象限的部分為曲線C，導(dǎo)致角的取值范圍擴(kuò)大，出現(xiàn)了許多瑕點(diǎn)P.由于這一步忽視了軌跡的純粹性，直接導(dǎo)致了點(diǎn)M的軌跡上也出現(xiàn)了許多瑕點(diǎn).正確的解法是：應(yīng)該添上則故點(diǎn)M的軌跡方程為問(wèn)題3：對(duì)字母分類討論了嗎例3已知雙曲線的漸近線方程為,兩條準(zhǔn)線的距離為，求雙曲線的方程.錯(cuò)解:設(shè)曲線方程為,即.于是=,∴c=.而,∴，∴k=144.故所求的雙曲線方程為.點(diǎn)評(píng):這里默認(rèn)k＞0,而忽視k＜0的情形.當(dāng)k＜0時(shí),方程為,c2=-，c=.進(jìn)一步求得k=-.因此本題漏掉另一個(gè)解-=1.在處理帶有字母的圓錐曲線的方程時(shí),要特別注意對(duì)長(zhǎng)軸、短軸、實(shí)軸、虛軸、焦距、準(zhǔn)線等問(wèn)題的分類討論，做到周密思考，否則極易出錯(cuò).問(wèn)題4：理解圓錐曲線的統(tǒng)一定義嗎例4已知橢圓的準(zhǔn)線是直線,對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)為F(2,0),離心率為,求橢圓的方程.錯(cuò)解:∵,,∴,故橢圓方程為.點(diǎn)評(píng):這種錯(cuò)誤源于圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式在同學(xué)們頭腦中產(chǎn)生的定勢(shì)思維.復(fù)習(xí)中要注意圓錐曲線的統(tǒng)一定義,借助圖形理解非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程在坐標(biāo)系中的位置,克服思維定勢(shì).這里,由統(tǒng)一定義得到,化簡(jiǎn)整理后便得到橢圓的方程為問(wèn)題5：直線與圓錐曲線有公共點(diǎn)嗎例5已知雙曲線過(guò)點(diǎn)A(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于兩點(diǎn)P1,P2,且A為線段P1P2的中點(diǎn)？錯(cuò)解:設(shè)P1,P2的坐標(biāo)分別為,則.兩式整體相減得，.而所以,顯然∴于是直線l的方程為即點(diǎn)評(píng):初看起來(lái),似乎沒(méi)有錯(cuò)誤.其實(shí)用“點(diǎn)差法”并不能保證直線l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)P1,P2。將代入得，其根的判別式即直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn),因此不存在滿足條件的直線l.“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”是平面解析幾何的核心內(nèi)容,也是高考考查平面解析幾何問(wèn)題經(jīng)久不衰的重點(diǎn).對(duì)此，要特別注意直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)的問(wèn)題,牢記對(duì)判別式符號(hào)的判斷.問(wèn)題6：知道角參數(shù)θ的幾何意義嗎 x=4cosθ例6P是橢圓 (θ為參數(shù))上一點(diǎn),且∠XOP=,求點(diǎn)P的坐標(biāo).y=2sinθ錯(cuò)解:將θ用代替,代入?yún)?shù)方程之中,得x=2,y=3.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,3).yOxP點(diǎn)評(píng):從橢圓參數(shù)方程的形成過(guò)程可知,它的角參數(shù)θ與圓的參數(shù)方程中的角參數(shù)θ有本質(zhì)區(qū)別,切忌將兩者混為一談.這里的不是角參數(shù)θ的值.正確的解法應(yīng)該是:橢圓的普通方程是.如下圖,設(shè)|OP|=r,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(rcos,rsin),代入橢圓方程中得,,yOxP∴rcos=,rsin=.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).問(wèn)題7：能靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法嗎例7動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+6=0的距離小2,求點(diǎn)的軌跡方程.錯(cuò)解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則=|x+6|-2(*)當(dāng)x≥-6時(shí),方程(*)變?yōu)?x+4,兩邊平方化簡(jiǎn)整理得,y2=16x;當(dāng)x＜-6時(shí),方程(*)變?yōu)?-x-8,∴y2=24(x+2).故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是y2=16x和y2=24(x+2).點(diǎn)評(píng):顯然,當(dāng)x＜-6時(shí),y2=24(x+2)不可能成立.其實(shí)只要畫(huà)出相