專題04-幾何壓軸題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)滿分真題模擬題分類匯編(廣州專用)(解析版)

專題04幾何壓軸題1．（2021?廣州）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，且、相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）連接，，如圖所示：，為中點(diǎn)，，，四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形．（2）作，設(shè)，如圖所示，，四邊形是菱形，，，，，在中，，，，，，，在中，，，，，即，整理得：，解得：，（舍去），．（3）點(diǎn)軌跡為線段，證明：如圖，（此圖僅作為證明軌跡用），延長(zhǎng)線段交于，作于，作于，四邊形是菱形，，，，，，，，，在中，，．，．，，在中，，，，點(diǎn)軌跡為線段．點(diǎn)軌跡是線段．如圖所示，作，四邊形為菱形，，，，，，，即，，，在中，，，，，，，在中，，，，．點(diǎn)路徑長(zhǎng)度為．2．（2019?廣州）如圖，等邊中，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），關(guān)于的軸對(duì)稱圖形為．（1）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求證：；（2）設(shè)的面積為，的面積為，記，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)．求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】（1）是等邊三角形由折疊可知：，且點(diǎn)在上；（2）存在，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，且在內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小，，，的最小值（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，關(guān)于的軸對(duì)稱圖形為，，，，，，，，3．（2021?廣州模擬）如圖，在四邊形中，，，．（1）求的度數(shù)；（2）連接，探究，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【詳解】（1）如圖1中，在四邊形中，，，，．（2）如圖2中，結(jié)論：．理由：連接．以為邊向下作等邊三角形．，，，，，，，，，，，，．（3）如圖3中，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則是等邊三角形，，，，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在為圓心的圓上，在上取一點(diǎn)，連接，，，，，，，，是等邊三角形，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑．4．（2021?天河區(qū)一模）如圖，中，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）延長(zhǎng)到，使得．求證：；（3）在（2）小題條件下，可知，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，設(shè)其半徑為（定值），若，問取何值時(shí)，的值最大？【答案】見解析；【詳解】（1）證明：如圖1，連接，交于，，關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，四邊形是菱形；（2）證明：解法一：如圖2，延長(zhǎng)到，使，連接，，，，，，同理得，，，，，，，，即；解法二：如圖3，過點(diǎn)作于，，，且，中，，在中，，，，，即；（3）解：如圖4，連接交于，作的垂直平分線交的延長(zhǎng)線于，連接，由題意得：，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，如圖5，和是等邊三角形，，當(dāng)點(diǎn)為圓心，即點(diǎn)與重合，此時(shí)，，四邊形是菱形，，，由勾股定理得：，，，，由，得，，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，故，所以，故時(shí)，的值最大．5．（2021?越秀區(qū)一模）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作直線，垂足為．點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)為何值時(shí)，取最小值？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）見解析【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，，，又，；（2）過點(diǎn)作，如圖2，，，，，，，設(shè)，，則，，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，，，，，，，，，解得，，，，，，，，又，，解得，又，，．（3）如圖3，連接，交于點(diǎn)，，，，又，，，取的中點(diǎn)，連接，，為直角三角形，，點(diǎn)在以為圓心，的圓弧上運(yùn)動(dòng)，連接，，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，又，，，，，則的最小值為，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，又，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為．6．（2021?天河區(qū)二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．連接，交于點(diǎn)，過作，垂足為．（1）求證：；（2）求證：長(zhǎng)為定值；（3）記與的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，，，，，；（2）證明：如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，在中，，，，，，，，，即，，，，設(shè)，，則，，，，，，，，所以是一個(gè)定值；（3）如圖2，，由（2）知：，，，，，，解得：，，，．7．（2021?白云區(qū)一模）不在射線上的點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正方形外一點(diǎn)在左側(cè)），且滿足，以，為鄰邊作．（1）如圖，若點(diǎn)在射線上，請(qǐng)用尺規(guī)補(bǔ)全圖形；（2）若點(diǎn)不在射線上，求的度數(shù)；（3）設(shè)與交點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）如圖1，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，連接，，，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)與點(diǎn)重合．（2）如圖2，連接，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，又，，，，四邊形是正方形，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，；（3）四邊形是平行四邊形，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的面積取最大值，點(diǎn)到的距離，當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)，的面積最大，如圖3，以為斜邊作等腰直角三角形，以為圓心，為半徑作的外接圓，延長(zhǎng)交于，過點(diǎn)作，交于，交的延長(zhǎng)線于，此時(shí)點(diǎn)到的距離最大，，，，，，，，，，，，，．8．（2021?番禺區(qū)一模）如圖，中，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)．①以為半徑的交邊于另一點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且．連接，求．②點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與、合），連接在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）①，②【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，；（2）①如圖：，，中，，，，，，，，，中，，，，，又，，，，，，；②以為頂點(diǎn)，為一邊，在外部作，過作于，過作于，連接，如圖：在中，，，，最小，即是最小，故最小，此時(shí)，與重合，與重合，長(zhǎng)度即是的最小值，而由①知：，，中，，，，的最小值為，的最小值是．9．（2021?花都區(qū)一模）如圖，在中，，，．（1）尺規(guī)作圖：作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）連接，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，均以每秒的速度分別沿、向終點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻秒，使的面積有最大值？若存在，求的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）如圖，直線即為所求作．（2）過點(diǎn)作于．垂直平分線段，，設(shè)，則，在中，，，解得，，，，，，，時(shí)，的面積最大，最大值為10．10．（2021?越秀區(qū)校級(jí)二模）已知，，，是的中點(diǎn)，是平面上的一點(diǎn)，且，連接（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，求的最大值．【答案】（1）3；（2）①，②【詳解】（1）如圖1中，連接．在中，，，，，，，在中，．（2）如圖2中，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的上．①當(dāng)時(shí)，，、都在線段的垂直平分線上，設(shè)直線交于．，，，，在中，，當(dāng)在線段上時(shí)，，，當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，．②當(dāng)時(shí)，，，此種情形不存在；③當(dāng)時(shí)，同理這種情形不存在；如圖3中（3）如圖4中，連接．由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)處，的值最大，．的最大值為．11．（2021?黃埔區(qū)二模）如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，，以，為鄰邊作正方形，連接，．（1）探究與的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）固定正方形，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將圖1中的方形逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到正方形，如圖2．①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求的值；②在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，著正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)直接寫出的最大值與最小值，不必說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①；②見解析【詳解】（1），證明：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)是正方形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，，，，在和中，，，，，，，，，故，；（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中，有兩種情況：（Ⅰ）由0增大到90過程中，當(dāng)時(shí)，，在中，，，，，，，即；（Ⅱ）由90增大到180過程中，當(dāng)時(shí)，同理可求，，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，或150．②如圖3，的最大值為，如圖4，的最小值為．理由如下：如圖3、圖4所示，連接，設(shè)直線交直線于，作正方形的外接圓，仿照（1）的證明，可證得，即在旋轉(zhuǎn)過程中，保持不變，所以．在旋轉(zhuǎn)過程中，的位置有以下兩種情況：第一種情況，當(dāng)在內(nèi)時(shí)，，如圖3所示，第二種情況：當(dāng)在外時(shí)，，如圖3所示，，．在△中，，，所以，當(dāng)最大時(shí)，最大；當(dāng)最小時(shí)，最?。辉O(shè)點(diǎn)到的距離為，則，由上式可知，當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與相切，即時(shí)，取最大值．此時(shí)，取最大值，從而取最大值或最小值．由①可知，當(dāng)時(shí)，，在（1）中，已證得，且，四邊形為正方形，，，的最大值為，的最小值為．12．（2021?從化區(qū)一模）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)和點(diǎn)重合），連接，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接，已知，，設(shè)的長(zhǎng)為．（1）線段的最小值為．（2）如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，與的交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中：①試探究是否會(huì)發(fā)生變化？若不改變，請(qǐng)求出大??；若改變，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形？【答案】（1）；（2）；（3）見解析【詳解】（1）四邊形是矩形，，，，，，，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)為斜邊上的高，，即，，故答案為：；（2）如圖：運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，，，中，，，是等邊三角形，，又，，，，是的垂直平分線，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，是等邊三角形，是中點(diǎn)，，在中，，得，，；（3）①不會(huì)發(fā)生變化，，理由如下：過作于，交于，如圖：，四邊形是矩形，，，中，，，中，，，，，，，，而，，，在中，，，；②當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過作于，交于，如圖：由①知：，，，，，，，，中，，而，是等腰三角形，分三種情況：（一，則，解得（舍去），（二，則，解得（大于6，舍去）或（此時(shí)，舍去），（三，則，解得或與重合，舍去），當(dāng)在左側(cè)時(shí)，如圖：此時(shí)，同理可得，綜上所述，是等腰三角形，或．13．（2020?武漢模擬）在中，，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖1，若，求證：平分；（2）如圖2，若，①求的值；②連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出四邊形的面積為．【答案】（1）見解析；（2）①，②【詳解】（1）證明：連接，由題意知，，，是等邊三角形，，又，，，，平分；（2）解：①連接，作等邊三角形的外接圓，，，，點(diǎn)在上，，，，在上截取，使，則為等邊三角形，，，又，，，，設(shè)，則，，過點(diǎn)作于，在中，，，，，，在中，，，；②如圖3，分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為，，設(shè)，，，則由①知，，，在與中，，即，解得，，，在中，，，為與的公共底，，，，，故答案為：．14．（2021?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上，，連接，點(diǎn)、分別為、邊上的點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)到的距離；（2）如圖2，連接，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，求的面積；（3）如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）1；（2）；（3）見解析【詳解】（1）如圖1中，過點(diǎn)作于．四邊形是正方形，，，．點(diǎn)到的距離為1．（2）如圖2中，過點(diǎn)作的垂線分別交，于點(diǎn)，．，，共線，，，．設(shè)，且，，，，，，即，，，，，．（3）如圖3中，設(shè)，．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，整理得，△，，解得或（舍棄），的最小值為，的最小值，觀察圖象可知，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，的最小值．15．（2021?越秀區(qū)模擬）如圖，四邊形為矩形，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接，．（1）若四邊形為菱形，求的長(zhǎng)；（2）若的面積為，求的面積；（3）當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形周長(zhǎng)有最小值？并求該最小值．【答案】（1）；（2）；（3）見解析【詳解】（1）四邊形為菱形，，設(shè),四邊形是矩形，,,,,；（2）四邊形為矩形，，，，的面積為，，即：，，，在中，，，，是的垂直平分線，，由（1）可知：，，，；（3）如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形為矩形，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，在中，，,，，，,，即，，延長(zhǎng)至，使，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在中，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形周長(zhǎng)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即四邊形周長(zhǎng)最小，此時(shí)，，，△，，，此時(shí)，，四邊形周長(zhǎng)最小值為，故當(dāng)時(shí)，四邊形周長(zhǎng)最小值為6．16．（2021?花都區(qū)三模）為等腰三角形，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)．（1）若，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上，，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在外，，，，連接，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在外，且，以為腰作等腰三角形，，，直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是中點(diǎn)．【答案】（1）①見解析；②；（2）見解析【詳解】證明：（1）①，，，，，，，；②如圖2，以，為邊作等邊，等邊，以，為邊作等邊，等邊，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，和都是等邊三角形，，，，，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，，和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，．（2）連接，如圖3所示：，，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)．17．（2021?越秀區(qū)校級(jí)四模）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（Ⅰ）這樣的點(diǎn)唯一嗎？（Ⅱ）點(diǎn)的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)、除外），，小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為；②面積的最大值為；（2）經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請(qǐng)你利用圖1證明．（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，已知矩形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)在直線的左側(cè)，且．①求線段長(zhǎng)的最小值；②若，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）①2，②；（2）見解析；（3）①；②【詳解】（1）解：①設(shè)為圓心，連接，，，，又，是等邊三角形，，即半徑為2，故答案為：2；②以為底邊，，當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)，的面積最大，如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，延長(zhǎng)，交圓于，以為底，則當(dāng)與重合時(shí)，的面積最大，，，，，的最大面積為，故答案為：；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在圓上，，，，，即；（3）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，且時(shí)，，，，，為定值，連接，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，連接，與圓交于，此時(shí)即為的最小值，過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，即，，，，，圓的半徑為，，即的最小值為；②，，，，中邊上的高中邊上的高，即點(diǎn)到的距離和點(diǎn)到的距離相等，點(diǎn)在的平分線上，如圖，過點(diǎn)作，垂足為，平分，，為等腰直角三角形，又，，，，．18．（2020?廣州一模）如圖①，在四邊形中，于點(diǎn)，，點(diǎn)為中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且（1）求證：平分；（2）若，連接，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、（如圖②，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【詳解】（1）證明：如圖①，，，是的中點(diǎn)，，在中，，在中，，，，是等腰直角三角形，，，，即平分；（2）解：設(shè)，四邊形是平行四邊形，，在和中，，，，在中，由，可得：，解得：（負(fù)值舍去），；（3）解：是的中點(diǎn)，在中，，，，，，即，，．19．（2020?荔灣區(qū)一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接．（1）若將沿折疊，點(diǎn)落在矩形的對(duì)角線上點(diǎn)處，試求的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，將與分別沿與折疊，點(diǎn)與點(diǎn)分別落在點(diǎn)，處，若，，三點(diǎn)恰好在同一直線上，且，試求此時(shí)的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)處時(shí)，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，將與分別沿與折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)處，請(qǐng)直接寫出到的距離．【答案】（1）或；；（2）1或3；；（3）【詳解】（1）四邊形是矩形，，，，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)落在對(duì)角線上時(shí)，如圖1所示：設(shè)，在中，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，在中，，即：，解得：，；②當(dāng)點(diǎn)落在對(duì)角線上時(shí)，如圖2所示：由翻折性質(zhì)可知：，，，，，，，，綜上所述：的長(zhǎng)為或；（2）①如圖3所示：設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)得：，，，，解得：，；②如圖4所示：設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，；綜上所述，的長(zhǎng)為1或3；（3）作于，如圖5所示：則的長(zhǎng)就是到的距離，由翻折的性質(zhì)得：，，、、共線，設(shè)，則，，在中，，即：，解得，，，，，，，到的距離為．20．（2020?越秀區(qū)一模）如圖所示，四邊形為平行四邊形，，，，且，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）求平行四邊形的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（3）求線段的長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）300；（2）；（3）【詳解】解（1）如圖1，作于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，在中，，且，，，；（2）如圖2，延長(zhǎng)至，作，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）知，，，，，在和中，，，，，，，，，，即，；（3）如圖3，延長(zhǎng)至，使，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)，交于點(diǎn)，由（2）可知，在和中．，，，，設(shè)，則，，，，，在中，，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，的值最小，的最小值為．21．（2020?番禺區(qū)一模）如圖，正方形中，，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）當(dāng)點(diǎn)在直線上方且時(shí)，求證：；（2）若，求點(diǎn)到直線的距離；（3）記，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值或最小值？若存在，求出其值，若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）或；（3）見解析【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，，，四邊形是正方形，，，．（2）解：如圖2中，由題意點(diǎn)是以為圓心，為半徑的圓和以為直徑的圓的交點(diǎn)（有兩種情形，圖中，．連接，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，交于．，，，，同法可得，四邊形是正方形，，，，，，，設(shè)，則，，在中，則有，解得，，，，，，△，，點(diǎn)到直線的距離為或．（3）解：如圖中，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．，觀察圖象可知，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，最小值．如圖中，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．，觀察圖象可知，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最大，此時(shí)點(diǎn)在線段上，最大值．22．（2020?從化區(qū)一模）如圖（1），已知正方形，是線段上一點(diǎn)，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為邊在直線的上方作正方形．（1）連接，求證：；（2）連接，求的度數(shù)；（3）如圖（2），將圖（1）中正方形改為矩形，，、為常數(shù)），是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)、，以為邊在直線的上方作矩形，使頂點(diǎn)恰好落在射線上．判斷當(dāng)點(diǎn)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小是否總保持不變？若的大小不變，請(qǐng)用含、的代數(shù)式表示的值；若的大小發(fā)生改變，請(qǐng)畫圖說明．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【詳解】（1）證明：四邊形和四邊形是正方形，，，，，，．；（2）如圖，作于，，，，，又，，，，，，，，．（3）當(dāng)點(diǎn)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小總保持不變，理由如下：如圖，作于，由已知可得，結(jié)合（1）（2）得，又在射線上，，，，，，；在中，，當(dāng)點(diǎn)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小總保持不變，．23．（2020?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在中，，，正方形的邊長(zhǎng)為2，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，連接、、．（1）請(qǐng)判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，試求線段長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）結(jié)論：．理由：在中，，，，，四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，，，，，；（2），，，當(dāng)、、三點(diǎn)在一直線上時(shí)，，，如圖1，當(dāng)在左上方時(shí)，，，，如圖2，當(dāng)在右下方時(shí)，同理，，，綜上所述，當(dāng)、、三點(diǎn)在一直線上時(shí)，的長(zhǎng)為或；（3）如圖3，延長(zhǎng)到使，連接，，則是等腰直角三角形，，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，是的中位線，，在中，，，，的最大值為．24．（2020?越秀區(qū)校級(jí)模擬）在中，，．點(diǎn)在邊上（不與，重合），連接，為中點(diǎn)．（1）若過點(diǎn)作于，連接、、，如圖1．設(shè)，則；（2）若將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得、、三點(diǎn)共線，點(diǎn)仍為中點(diǎn)，如圖2．求證：；（3）若，點(diǎn)在邊的三等分點(diǎn)處，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)始終為中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）于，為中點(diǎn)．，，．，；（2）如圖2，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為．由題意，，．、、三點(diǎn)共線，．，，．，，．．．．是中點(diǎn)，是中點(diǎn)．在中，，；（3）情況1：如圖，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接和，，，且，，．為中點(diǎn)，，，．為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，．當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)最大，此時(shí)．同理最小值為．情況2：如圖，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接和，類似于情況1，可知的最大值為．綜合情況1與情況2，可知當(dāng)點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)度取得最大值為．同理最小值為．25．（2020?越秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以為直角邊作等腰直角，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，求的值；（3）若正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)求出定值；如果不是，請(qǐng)求出面積的最小值．【答案】（1）見解析；（2）3；（3）見解析【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，四邊形是正方形，，，，，是等腰直角三角形，，，，即，又，，；（2）是等腰直角三角形，，即，由（1）知，，，，，，，設(shè)，則，，，，又，，，，，；（3）設(shè)，，，，，，且當(dāng)時(shí)，最小，在中，由勾股定理可知，，解得，，此時(shí)，取最小值．26．（2020?白云區(qū)二模）已知：在中，，．（1）若，，．①如圖1，點(diǎn)在內(nèi)，求的度數(shù)；②如圖2，點(diǎn)在外，求的度數(shù)；（2）如圖3，若，點(diǎn)在內(nèi)，且，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；①，②；（2）2【詳解】（1）①如圖1中，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．，，是等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，②如圖2中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．，，，，，的等邊三角形，，，，，，，，．（2）如圖3中，作，使得，，則，，，與的相似比為，，，，，，，，，，．27．（2020?天河區(qū)模擬）如圖1，已知正方形，是線段上一點(diǎn)，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為邊在直線的上方作正方形．（1）連接，求證：；（2）連接，求的值；（3）如圖2，將圖1中正方形改為矩形，，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，，以為邊在直線的上方作矩形，使頂點(diǎn)恰好落在射線上．當(dāng)點(diǎn)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）1；（3）見解析【詳解】（1）如圖1，正方形和正方形中，，，，，，；（2）如圖1，過點(diǎn)作于，則，，即，又，，，，又，，，在中，；（3）如圖2，過點(diǎn)作于，則，，即，同理可證，又，，，，，設(shè)，則，，，，，即的值為定值．28．（2021?鐵鋒區(qū)一模）綜合與實(shí)踐折疊中的數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)完特殊的平行四邊形之后，某學(xué)習(xí)小組針對(duì)矩形中的折疊問題進(jìn)行了研究．問題背景：在矩形中，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，射線與射線相交于點(diǎn)．猜想與證明：（1）如圖1，當(dāng)與線段交于點(diǎn)時(shí)，判斷的形狀并證明你的結(jié)論；操作與畫圖：（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出此時(shí)的折痕和折疊后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)注相應(yīng)的字母）；操作與探究：（