安徽省懷寧縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含答案）

安徽省懷寧縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．已知集合，，如果有且只有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知，，則（

）A． B． C． D．4．已知平面向量是兩個單位向量，在上的投影向量為，則（

）A．1 B． C． D．5．已知的半徑為，直線恒過點，且成等差數(shù)列，過點作的切線，則點到切點的距離為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．正四棱臺上底面邊長為1，下底面邊長為2，若一個球的球心到正四棱臺各個面的距離均等于該球的半徑，則正四棱臺與該球的體積之比為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的表達式為，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)圖像的一條對稱軸是，則（

）A．的最小正周期為B．C．函數(shù)圖像的一個對稱中心為D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則10．封閉曲線是平面內(nèi)與兩個定點和的距離之積為2的點的軌跡，是上一點，為坐標原點，則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于坐標原點對稱B．位于直線和直線所圍成的矩形框內(nèi)（含邊界）C．的周長的最小值為D．11．已知直棱柱的所有棱長均為，，動點滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．若直線與直線所成角為定值，則點軌跡為圓的一部分C．當時，三棱錐的外接球的體積為D．記點到直線的距離為，當時，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有2個極值點，則的取值范圍是．13．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，以為圓心的圓經(jīng)過原點，且與拋物線的準線相切，則該拋物線的焦點到其準線的距離為．14．如圖，一點從正方形的頂點處出發(fā)在各頂點間移動，每次移動要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移動一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移動一步．設(shè)移動（）步后回到點的概率為，到達點的概率為，=．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.(13分）在中，已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且的面積為，點D是線段上靠近點B的一個三等分點，．(1)若，求c；(2)若，求的值．16．(15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點在棱上，且直線與所成的角為．(1)證明：點為棱的中點；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．(15分）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)的取值范圍.18．(17分）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸.(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，求面積的最大值.19．(17分）深圳是一個沿海城市，擁有大梅沙等多樣的海濱景點，每年夏天都有大量游客來游玩.為了合理配置旅游資源，文旅部門對來大梅沙游玩的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中的人選擇只游覽海濱棧道，另外的人選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩.每位游客若選擇只游覽海濱棧道，則記1分；若選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩，則記2分.假設(shè)游客之間的旅游選擇意愿相互獨立，視頻率為概率.(1)從游客中隨機抽取2人，記這2人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從游客中隨機抽取個人，記這個人的合計得分恰為分的概率為，求；(3)從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無限增加，是否趨近于某個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由.答案題號12345678910答案CDBBABBBADABD題號11答案ACD1．C2．D.3．B，，4．在上的投影向量為，則，因為是單位向量，即，所以，則.5．A因為成等差數(shù)列，所以，代入方程可得，令，解得，故直線恒過點，即圓心，故，設(shè)切點為，則，故．6．B由雙曲線可知漸近線方程為，因為，所以，在中，，，可得.即，則又因為點在漸近線上，所以，解得，可得.7．B如圖作出正四棱臺的軸截面圖，可知這個等腰梯形的內(nèi)切圓就是內(nèi)切球的最大圓，根據(jù)，設(shè)球的半徑為，則由直角三角形中的勾股定理得：，利用等面積法：，可得：，解得：，再由棱臺體積公式得：，由球的體積公式得：，所以正四棱臺與球的體積之比是：8．B，時，，當時，，遞減，時，，遞增，時，，時，，是極小值，時，，在上是增函數(shù)，時，，時，，且，作出函數(shù)的大致圖象，如圖，

由圖象知時，無實解，時，有一解，時，有兩解，時，有三解，方程有四解，則方程有兩解且，記，則，解得，故選：B．9．AD，則有，，解得，，因為，所以，所以，則的最小正周期為，故A正確；，故B錯誤；圖像的一個對稱中心為，故C錯誤；，當時，，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，故D正確．故選：AD10．ABD】依題意，知，因為，，，所以，兩邊平方，得，即，也即（*）．對于A，因為是上一點，所以，令，則點也滿足，而點與關(guān)于坐標原點對稱，故A正確；對于B，由（*），得，即，整理，得，即，因為，所以，即.設(shè)，又，所以，所以，即，解得，所以位于直線和直線所圍成的矩形框內(nèi)（含邊界），故B正確；對于C，因為，所以，當且僅當時取等號，此時的周長為，即的周長的最小值為，故C錯誤；對于D，由（*），得，由選項C，知，所以.因為，所以，故D正確．故選：ABD．11．ACD對于選項A：因為，所以點M在平面內(nèi)，因為底面為菱形，所以,又因為直棱柱，所以,又因為平面,平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于選項C，當時，點M在體對角線交點處，故點M在與底面垂直且到底面距離為1，因為,所以的外接圓半徑為，設(shè)外接球半徑為，球心到平面的距離為h，則,即，兩式聯(lián)立得，故外接球體積為，故C正確；對于選項D，當時，則三點共線，即點M在線段上，如圖建立空間直角坐標系，,,則，故,則,又得，,故，當且僅當時，，故D正確；對于選項B，，，，，由（1）可知，平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，設(shè)，由于是直線與平面內(nèi)所有直線中所成角的最小值，所以，，由，化簡可得，且，易知點為平面內(nèi)的一點，當時，則，此時，點的軌跡為平面內(nèi)的一條線段；當時，則，此時，點的軌跡為平面內(nèi)的一條線段；當時，化簡可得或，此時，點的軌跡為平面內(nèi)的兩條線段，故B錯12．函數(shù)，因為，，所以，由于函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個極值點，則由函數(shù)圖象性質(zhì)可知，解得.13．，則為等腰三角形，易知拋物線的焦點為，故，即點，因為點在拋物線上，則，解得（負值舍去），所以拋物線的方程為，所以該拋物線的焦點到其準線的距離為.

14．依題意，，又，，所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.15．（1）由題可得：，故又，即，，即在中，根據(jù)余弦定理得即，即，（2），，即又，①又②，由①②得：16．（1）以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系．不妨設(shè)，則．設(shè)，則，可得，由題意可得，整理可得，解得，所以點為棱的中點．（2）由（1）可得：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得．，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．（1）當時，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當時，，由，得，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；當時，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數(shù)無極值，不合題意，所以的取值范圍為.18．（1）依題意，右焦點，則左焦點，而，軸，則，于是，解得，，所以橢圓的方程為.（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，由消去并整理得，，解得，設(shè)，則則面積，令，則，且，，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為.19．（1）依題意，隨機變量的可能取值為，則，，所以的分布列如下表所示：234數(shù)學(xué)期望為.（2）由這人的合計得分為分，得其中只有1人既游覽海濱棧