福建省莆田市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷1（含答案）

福建省莆田市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知直線的一個(gè)方向向量，且直線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，則（）A．0 B．1 C． D．32．在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．3．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則“在內(nèi)恒小于零”是“在內(nèi)為減函數(shù)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．－1 B．－2 C．－3 D．05．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C． D．6．在三棱錐中，底面ABC，，，，則點(diǎn)C到平面PAB的距離是A． B． C． D．7．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，點(diǎn)M在棱CC1上，且MD1⊥MA，則當(dāng)△MAD1的面積最小時(shí)，棱CC1的長為（）A． B． C．2 D．

8．已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)，則函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（

）A． B． C． D．10．在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則（

）A． B．四點(diǎn)共面C．平面 D．平面11．已知單位向量，，兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題是真命題的為（

）A．已知，，則B．已知，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量的夾角取得最小值C．已知，，則D．已知，，，則三棱錐的表面積三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則______13.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為______14．如圖，在三棱錐中，已知，，設(shè)，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知向量，，若向量同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①；②；③與垂直.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）若向量與向量共線，求向量與夾角的余弦值.16．如圖，在平行六面體中，，，（1）求的長；（2）求證：直線平面．17．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；（2）若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方.18．某學(xué)校高二年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某“著名品牌”系列進(jìn)行市場銷售量調(diào)研，通過對(duì)該品牌的系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價(jià)格（元/千克）近似滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價(jià)格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.19．如圖，矩形中，，，E為的中點(diǎn)，將沿翻折，得到四棱錐.（1）證明：；（2）在①直線與平面所成角為，②若交于O，的面積為，③到平面的距離為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題：已知______，求銳二面角的余弦值.數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.D2.C2.3.A34.C4.5.D5.6.B6.7.A7.8.C8.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.AC10.AC1011.BC11三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.214.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．(1)或；(2)【詳解】（1）設(shè)，則由題可知解得或所以或.（2）因?yàn)橄蛄颗c向量共線，所以.又，，所以，，所以，且，，所以與夾角的余弦值為.16．（1）；（2）證明見解析【分析】（1）首先設(shè)，，，得到，再平方即可得到答案。（2）首先根據(jù)題意得到，，計(jì)算，，從而得到，，再利用線面垂直的判定即可證明?！驹斀狻浚?）設(shè)，，，則。因?yàn)椋?，，所以，所以，所以?）由（1）知：，，所以，，即，，又，所以平面。17．(1)在處取得極小值為.(2)證明見解析.【詳解】分析：（1）代入?yún)?shù)值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的根，進(jìn)而得到函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）設(shè)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，證得函數(shù)的最小值大于0即可.詳解：（1）由于函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，令得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，則是的極小值點(diǎn)，所以在處取得極小值為；（2）證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，∴在區(qū)間上，恒成立，即恒成立.因此，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方.18．（1）；（2）當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤最大.【詳解】分析：（1）根據(jù)題意已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設(shè)該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，然后根據(jù)利潤計(jì)算式得出具體表達(dá)式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.（2）設(shè)該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，則，，令，得或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即時(shí)函數(shù)取得最大值.所以當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤最大.19．（1）證明見解析，（2）【分析】（1）設(shè)交于，則可得，而，則有，于是得，得，進(jìn)而得平面，所以有；（2）由已知條件可得平面，若選條件①，則有，由正弦定理可得，從而得，可得；若選條件②，③，直接可得，以為原點(diǎn)，以為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，然后利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：設(shè)交于，因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?所以,所以，因?yàn)?平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，?）由（1）知，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所?因?yàn)?平面,平面,所以平面，若選條件①，因?yàn)槠矫?，所以直線與平面所成角為，在中，由正弦