【中考真題】2025屆中考數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練7綜合與實踐問題題型（含答案）

【中考真題】2025屆中考數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練7綜合與實踐問題題型一、方程與不等式1．[2024廣西·中考真題試卷]綜合與實踐在綜合與實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．【洗衣過程】步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標(biāo)．假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都?xì)埩羲疂舛汝P(guān)系式：．其中，分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于【動手操作】請按要求完成下列任務(wù)：(1)如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？(2)如果把清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標(biāo)？(3)比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．二、函數(shù)1．[2024山西·中考真題試卷]綜合與實踐問題情境：如圖1，矩形是學(xué)校花園的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段組成的封閉圖形，點A，B在矩形的邊上．現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計方案．方案設(shè)計：如圖2，米，的垂直平分線與拋物線交于點P，與交于點O，點P是拋物線的頂點，且米．欣欣設(shè)計的方案如下：第一步：在線段上確定點C，使，用籬笆沿線段分隔出區(qū)域，種植串串紅；第二步：在線段上取點F（不與C，P重合），過點F作的平行線，交拋物線于點D，E．用籬笆沿將線段與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．方案實施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定與的長．為此，欣欣在圖2中以所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．請按照她的方法解決問題：(1)在圖2中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求6米材料恰好用完時與的長；(3)種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對該花壇進行裝飾，計劃將燈帶圍成一個矩形．她嘗試借助圖2設(shè)計矩形四個頂點的位置，其中兩個頂點在拋物線上，另外兩個頂點分別在線段上．直接寫出符合設(shè)計要求的矩形周長的最大值．2．[2024吉林·中考真題試卷]綜合與實踐某班同學(xué)分三個小組進行“板凳中的數(shù)學(xué)”的項目式學(xué)習(xí)研究，第一小組負(fù)責(zé)調(diào)查板凳的歷史及結(jié)構(gòu)特點；第二小組負(fù)責(zé)研究板凳中蘊含的數(shù)學(xué)知識：第三小組負(fù)責(zé)匯報和交流，下面是第三小組匯報的部分內(nèi)容，請你閱讀相關(guān)信息，并解答“建立模型”中的問題．【背景調(diào)查】圖①中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國傳統(tǒng)家具，其榫卯結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了古人含蓄內(nèi)斂的審美觀．榫眼的設(shè)計很有講究，木工一般用鉛筆畫出凳面的對稱軸，以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度，確定榫眼的位置，如圖②所示，板凳的結(jié)構(gòu)設(shè)計體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．【收集數(shù)據(jù)】小組收集了一些板凳并進行了測量，設(shè)以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度為，凳面的寬度為，記錄如下：以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度16.519.823.126.429.7凳面的寬度115.5132148.5165181.5【分析數(shù)據(jù)】如圖③，小組根據(jù)表中x，y的數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點．【建立模型】請你幫助小組解決下列問題：(1)觀察上述各點的分布規(guī)律，它們是否在同一條直線上？如果在同一條直線上，求出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；如果不在同一條直線上，說明理由．(2)當(dāng)?shù)拭鎸挾葹闀r，以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度是多少？三、圖形的性質(zhì)1．[2024廣東·中考真題試卷]綜合與實踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖1所示：①一張直徑為的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為的圓錐形過濾漏斗．【實踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．【實踐探索】(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明．(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留）2．[2024寧夏·中考真題試卷]綜合與實踐如圖1，在中，是的平分線，的延長線交外角的平分線于點．【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論；結(jié)論2：當(dāng)圖1中時，如圖2所示，延長交于點，過點作的垂線交于點，交的延長線于點．則與的數(shù)量關(guān)系是．【應(yīng)用結(jié)論】（1）求證：；（2）在圖2中連接，，延長交于點，補全圖形，求證：．3．[2024青?！ぶ锌颊骖}試卷]綜合與實踐順次連接任意一個四邊形四條邊的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．【探究一】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是各邊的中點．求證：中點四邊形是平行四邊形．證明：∵E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點，∴，分別是和的中位線，∴，（____①____）∴．同理可得．∴中點四邊形是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．（1）請你補全上述過程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形菱形從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【探究三】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形②________（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【歸納總結(jié)】（5）請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．四、圖形的變化1．[2024貴州·中考真題試卷]綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁的夾角為；第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）【測量數(shù)據(jù)】如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，在同一平面內(nèi)，測得，，折射角．【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)求的長；(2)求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：，，）2．[2023山東·中考真題試卷]綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，點E，C，A在同一條水平直線上．

某學(xué)習(xí)小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結(jié)果保留根號）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．3．[2024四川巴中·中考真題試卷]綜合與實踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形為梯形，，是邊上的點．經(jīng)過剪拼，四邊形為矩形．則______．(2)探究與證明：探究將任意一個四邊形剪開拼成一個平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，是四邊形邊上的點．是拼接之后形成的四邊形．①通過操作得出：與的比值為______．②證明：四邊形為平行四邊形．(3)實踐與應(yīng)用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形剪成4塊，按圖5的方式補全圖6，并簡單說明剪開和拼接過程．若不能，請說明理由．4．[2024山東濟寧·中考真題試卷]綜合與實踐某校數(shù)學(xué)課外活動小組用一張矩形紙片（如圖1，矩形中，且足夠長）進行探究活動．【動手操作】如圖2，第一步，沿點A所在直線折疊，使點D落在上的點E處，折痕為，連接，把紙片展平．第二步，把四邊形折疊，使點A與點E重合，點D與點F重合，折痕為，再把紙片展平．第三步，連接．【探究發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上操作，甲、乙兩同學(xué)分別寫出了一個結(jié)論．甲同學(xué)的結(jié)論：四邊形是正方形．乙同學(xué)的結(jié)論：．（1）請分別判斷甲、乙兩同學(xué)的結(jié)論是否正確．若正確，寫出證明過程；若不正確，請說明理由．【繼續(xù)探究】在上面操作的基礎(chǔ)上，丙同學(xué)繼續(xù)操作．如圖3，第四步，沿點G所在直線折疊，使點F落在上的點M處，折痕為，連接，把紙片展平．第五步，連接交于點N．根據(jù)以上操作，丁同學(xué)寫出了一個正確結(jié)論：．（2）請證明這個結(jié)論．5．[2024四川眉山·中考真題試卷]綜合與實踐問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心處，并繞點旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況．操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中,（1）若正方形邊長為4，當(dāng)一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為______；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為______．（2）若正方形的面積為，重疊部分的面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中與的關(guān)系為______．類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于，兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結(jié)論，請你幫他進行證明．拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中角的頂點與點重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的直角邊交于點，斜邊交于點，且時，請求出重疊部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：，，）6．[2024黑龍江齊齊哈爾·中考真題試卷]綜合與實踐：如圖1，這個圖案是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長線于點．

(1)【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)【問題解決】如圖3，連接并延長交的延長線于點，若，，求的面積；(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點，則______；(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點，使，請直接寫出線段的長度．7．[2024河南·中考真題試卷]綜合與實踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，請運用已有經(jīng)驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有________（填序號）．(2)性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形是鄰等對補四邊形，，是它的一條對角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若，，，求AC的長（用含m，n，的式子表示）．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點M，N，使四邊形是鄰等對補四邊形．當(dāng)該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出的長．8．[2024江西·中考真題試卷]綜合與實踐如圖，在中，點D是斜邊上的動點（點D與點A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當(dāng)時，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；類比遷移（2）如圖2，當(dāng)時，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點F與點C關(guān)于對稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；②當(dāng)時，請直接寫出的長度．9．[2023江蘇宿遷·中考真題試卷]在綜合實踐活動課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點分別為G、H．根據(jù)以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點G作的垂線，分別交于點P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數(shù)式表示）．10．[2024黑龍江綏化·中考真題試卷]綜合與實踐問題情境在一次綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象．紙片和滿足，．下面是創(chuàng)新小組的探究過程．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，取的中點，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點與點重合．當(dāng)旋轉(zhuǎn)紙片交邊于點,交邊于點時，設(shè)，，請你探究出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出解答過程．問題解決（2）如圖2，在（1）的條件下連接，發(fā)現(xiàn)的周長是一個定值．請你寫出這個定值，并說明理由．拓展延伸（3）如圖3，當(dāng)點在邊上運動（不包括端點,），且始終保持．請你直接寫出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值__________________（結(jié)果保留根號）．

11．[2023山東日照·中考真題試卷]綜合與實踐【問題提出】在探究“四點共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓．請應(yīng)用此結(jié)論，解決以下問題：如圖1，中，，．點是邊上的一動點（點不與，重合），將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．【初步感知】（1）求證：A，，，四點共圓；【深入探究】（2）如圖2，當(dāng)時，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；【延伸探究】（3）已知，，點是邊的中點，此時是四邊形的外接圓，求出圓心與點距離的最小值．12．[2024江蘇揚州·中考真題試卷]在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論．如圖，已知，，是的外接圓，點在上（），連接，，．【特殊化感知】（1）如圖1，若，點在延長線上，則與的數(shù)量關(guān)系為________________；【一般化探究】（2）如圖2，若，點，在同側(cè)，判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接寫出，，滿足的數(shù)量關(guān)系．（用含的式子表示）13．[2024山東泰安·中考真題試卷]綜合與實踐為了研究折紙過程中蘊含的數(shù)學(xué)知識，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒樱咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點的對應(yīng)點恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結(jié)，與相交于點．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學(xué)們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點的對應(yīng)點，點的對應(yīng)點都落在對角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結(jié)，，，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點恰好是對角線的一個“黃金分劇點”，即．請你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．五、統(tǒng)計與概率1．[2024安徽·中考真題試卷]綜合與實踐【項目背景】無核柑橘是我省西南山區(qū)特產(chǎn)，該地區(qū)某村有甲、乙兩塊成齡無核柑橘園，在柑橘收獲季節(jié)，班級同學(xué)前往該村開展綜合實踐活動，其中一個項目是：在日照、土質(zhì)、空氣濕度等外部環(huán)境基本一致的條件下，對兩塊柑橘園的優(yōu)質(zhì)柑橘情況進行調(diào)查統(tǒng)計，為柑橘園的發(fā)展規(guī)劃提供一些參考．【數(shù)據(jù)收集與整理】從兩塊柑橘園采摘的柑橘中各隨機選取200個．在技術(shù)人員指導(dǎo)下，測量每個柑橘的直徑，作為樣本數(shù)據(jù)．柑橘直徑用x（單位：）表示．將所收集的樣本數(shù)據(jù)進行如下分組：組別ABCDEx整理樣本數(shù)據(jù)，并繪制甲、乙兩園樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)直方圖，部分信息如下：任務(wù)1

：求圖1中a的值．【數(shù)據(jù)分析與運用】任務(wù)2

：A，B，C，D，E五組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別取為4，5，6，7，8，計算乙園樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)．任務(wù)3

：下列結(jié)論一定正確的是______（填正確結(jié)論的序號）．①兩園樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)均在C組；②兩園樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)均在C組；③兩園樣本數(shù)據(jù)的最大數(shù)與最小數(shù)的差相等．任務(wù)4

：結(jié)合市場情況，將C，D兩組的柑橘認(rèn)定為一級，B組的柑橘認(rèn)定為二級，其它組的柑橘認(rèn)定為三級，其中一級柑橘的品質(zhì)最優(yōu)，二級次之，三級最次．試估計哪個園的柑橘品質(zhì)更優(yōu)，并說明理由．根據(jù)所給信息，請完成以上所有任務(wù)．答案一、方程與不等式1．【正確答案】(1)只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．(2)進行兩次漂洗，能達到洗衣目標(biāo)；(3)兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)【分析】（1）把，代入，再解方程即可；（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論即可．【詳解】（1）解：把，代入得，解得．經(jīng)檢驗符合題意；∴只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．（2）解：第一次漂洗：把，代入，∴，第二次漂洗：把，代入，∴，而，∴進行兩次漂洗，能達到洗衣目標(biāo)；（3）解：由（1）（2）的計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約用水，∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)．二、函數(shù)1．【正確答案】(1)圖見解析，(2)的長為4米，的長為2米(3)矩形周長的最大值為米【分析】（1）根據(jù)題意以點O為原點建立坐標(biāo)系，根據(jù)垂直平分，得出，根據(jù)設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，將代入求出a的值即可；（2）設(shè)點E的坐標(biāo)為，可得，，，根據(jù)求出m的值即可；（3）由矩形周長，即可求解．【詳解】（1）解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，∵所在直線是的垂直平分線，且，∴．∴點B的坐標(biāo)為，∵，∴點P的坐標(biāo)為，∵點P是拋物線的頂點，∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，∵點在拋物線上，∴，解得：．∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：∵點D，E在拋物線上，∴設(shè)點E的坐標(biāo)為，∵，交y軸于點F，∴，，∴．∵在中，，∴．∴，根據(jù)題息，得，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴．∴，答：的長為4米，的長為2米．（3）解：如圖矩形燈帶為，，，點C在y軸的正半軸，點A在x軸的負(fù)半軸，∴，，設(shè)直線解析式為，將，代入，得：，解得，∴直線解析式為，同理可得，直線的表達式，設(shè)點、、、，則矩形周長，故矩形周長的最大值為米．2．【正確答案】(1)在同一條直線上，函數(shù)解析式為；(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入函數(shù)解析式，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)函數(shù)解析式為，，∵當(dāng)，，∴，解得，∴函數(shù)解析式為，經(jīng)檢驗其余點均在直線上，∴函數(shù)解析式為，這些點在同一條直線上；（2）解：把代入得，解得，∴當(dāng)?shù)拭鎸挾葹闀r，以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度為．三、圖形的性質(zhì)1．【正確答案】(1)能，見解析(2)【分析】（1）利用圓錐的底面周長＝側(cè)面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；（2）利用圓錐的底面周長＝側(cè)面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可．【詳解】（1）解：能，理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為，根據(jù)題意，得，解得，∴將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁；（2）解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為，高為，根據(jù)題意，得，解得，∴，∴圓錐的體積為．2．【正確答案】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論；結(jié)論；【應(yīng)用結(jié)論】見詳解【詳解】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】解：結(jié)論是的平分線，，是的平分線，，，，，，；結(jié)論2：由結(jié)論1知，，，，，，，，，，；【應(yīng)用結(jié)論】證明：（1）在中，，在中，，，在和中，，,；（2）證明：補全圖形如圖所示，在中，，，，，，，，，，，，又，．3．【正確答案】（1）①中位線定理（2）見詳解（3）②矩形（4）見詳解（5）補圖見詳解；③且；④正方形【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；（2）證明：∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，，∴．同理可得．∵，∴，∴中點四邊形是菱形．（3）②矩形；（4）證明∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，，∴，同理可得，∵，∴，，∴，∴中點四邊形是矩形．（5）證明：如圖4，∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，∴．同理可得．∵，∴，∴中點四邊形是菱形．∵，由（4）可知，∴菱形是正方形．

四、圖形的變化1．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出的長；（2）利用銳角三角函數(shù)求出的長，然后根據(jù)計算即可．【詳解】（1）解：在中，，∴，∴；（2）解：由題可知，∴，又∵，∴，∴．2．【正確答案】(1)；(2)①；②【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，進而可求解；②過點作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．即的長為．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，則.∴．即的長為．②如圖，過點作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．3．【正確答案】(1)；(2)①1；②見詳解；(3)見詳解【分析】（1）由“角角邊”即可證明；（2）①由操作知，將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，故，因此；②由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；（3）取為中點為，連接，過點，點分別作，，垂足為點，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形放置左上方空出，使得點C與點A重合，與重合，與重合，點N的對應(yīng)點為點，則四邊形即為所求矩形．【詳解】（1）解：如圖，∵，∴，由題意得為中點，∴’，∵，∴；（2）解：①如圖，由操作知，點E為中點，將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，∴，∴；②如圖，由題意得，是的中點，將四邊形繞點E旋轉(zhuǎn)得到四邊形，將四邊形繞點H旋轉(zhuǎn)得到四邊形，將四邊形放在左上方空出，則，，∵，，，∴，∵，∴，∴三點共線，同理三點共線，由操作得，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（3）解：如圖，

如圖，取為中點為，連接，過點，點分別作，，垂足為點，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形繞點旋轉(zhuǎn)至四邊形，將四邊形放置左上方空出，使得點C與點A重合，與重合，與重合，點N的對應(yīng)點為點，則四邊形即為所求矩形．由題意得，，，∴，∴，由操作得，，∵，∴，∴三點共線，同理三點共線，∵，∴四邊形為矩形，如圖，連接，∵為中點，∴，同理，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，由操作得，，而，∴，同理，，∵，，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，同理，∴四邊形能放置左上方空出，∴按照以上操作可以拼成一個矩形．4．【正確答案】（1）甲、乙同學(xué)的結(jié)論正確，證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）先證明四邊形為矩形，再根據(jù)即可證明四邊形為正方形，設(shè)，由折疊性質(zhì)可知：，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出，，即可得出，進而可得出結(jié)論；（2）作交于點R，利用證明，得出，再證明四邊形為菱形，得出，進而證明，再根據(jù)證明，得出，進而證明，即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）甲、乙同學(xué)的結(jié)論都正確，理由如下：四邊形是矩形，，由第一步操作根據(jù)折疊性質(zhì)可知：，四邊形為矩形，又，四邊形為正方形，故甲同學(xué)的結(jié)論正確；作于點M，四邊形為正方形，，設(shè)，由第二步操作根據(jù)折疊性質(zhì)可知：，，在中，，，在中，,，，故乙同學(xué)的結(jié)論正確；（2）作交于點R，如圖所示：為折痕,，，，四邊形為矩形，，在和中，，，又，，由折疊性質(zhì)可知：，，，，，，四邊形為菱形，，，，即，在和中，，，，，，，，，，.5．【正確答案】（1）4；4；（2）；類比探究：見解析；拓展延伸：【分析】操作發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)圖形即可判斷重疊部分即為（對角線分成的四個三角形中的一個）求出面積即可；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，證明四邊形是正方形，求解面積即可；（2）如圖，過點作于點，于點．證明，從而證明，即可求得結(jié)論；類比探究：先證明，從而證明，即可證明結(jié)論；拓展延伸：過點作于點，于點．先證明，即可證明，，從而證明，根據(jù)，即可求得，由重疊部分的面積，即可求得結(jié)果．【詳解】解：操作發(fā)現(xiàn)（1）四邊形是正方形，，當(dāng)一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，，，四邊形是正方形，，四邊形的面積是4；（2）如圖，過點作于點，于點．是正方形的中心，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，．類比探究：證明四邊形是正方形，，，，，，，，，，，拓展延伸：過點作于點，于點．同（2）可知四邊形是正方形，，，，，，，，，，，由（1）可知，，，，，重疊部分的面積．6．【正確答案】(1)；(2)10；(3)；(4)或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進而證明，即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法證明，進而證明，求得，則，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．（3）過點作于點，證明得出，證明，設(shè)，則，代入比例式，得出，進而即可求解；（4）當(dāng)在點的左側(cè)時，過點作于點，當(dāng)在點的右側(cè)時，過點作交的延長線于點，分別解直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：∵將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長線于點．

，，，，，又且，，；（2）解：，，，，，又且，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖所示，過點作于點，

∵，，∴，∴，即，即，又∵，∴，∴，設(shè)，則，，解得，，∴；（4）解：如圖所示，當(dāng)在點的左側(cè)時，過點作于點，

∵，∴，設(shè)，則，又∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，解得，，在中，，∴，∴，如圖所示，當(dāng)在點的右側(cè)時，過點作交的延長線于點，

∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，，∴，∴.綜上所述，或．7．【正確答案】(1)②④；(2)①．理由見解析；②；(3)或.【分析】（1）根據(jù)鄰等對補四邊形的定義判斷即可；（2）①延長至點E，使，連接，根據(jù)鄰等對補四邊形定義、補角的性質(zhì)可得出，證明，得出，，根據(jù)等邊對等角得出，即可得出結(jié)論；②過A作于F，根據(jù)三線合一性質(zhì)可求出，由①可得，在中，根據(jù)余弦的定義求解即可；（3）分，，，四種情況討論即可．【詳解】（1）解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對角互補，圖2和圖4中存在對角互補且鄰邊相等，故圖②和圖④中四邊形是鄰等對補四邊形；（2）解：①，理由,延長至點E，使，連接，∵四邊形是鄰等對補四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；②過A作于F，∵，∴，∵，∴，在中，，∴；（3）解：∵，，，∴，∵四邊形是鄰等對補四邊形，∴，∴，當(dāng)時，如圖，連接，過N作于H，∴，在中，在中，∴，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當(dāng)時，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；當(dāng)時，連接，過N作于H，∵，，∴，∴，即，解得，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當(dāng)時，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；綜上，的長為或．8．【正確答案】（1），（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）①y與x的函數(shù)表達式，當(dāng)時，的最小值為；②當(dāng)時，為或.【分析】（1）先證明，，，可得；再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先證明，，結(jié)合，可得；再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）①先證明四邊形為正方形，如圖，過作于，可得，，再分情況結(jié)合勾股定理可得函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得最小值；②如圖，連接，，，證明，可得在上，且為直徑，則，過作于，過作于，求解正方形面積為,結(jié)合，再解方程可得答案.【詳解】解：（1）∵，∴，，∵，∴，，∴；∴，，∴，∴，∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；理由如下：∵，∴，，∵，∴；∴，，∴，∴，∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）由（1）得：，，，∴，都為等腰直角三角形；∵點F與點C關(guān)于對稱，∴為等腰直角三角形；，∴四邊形為正方形，如圖，過作于，∵，，∴，，當(dāng)時，∴，∴，如圖，當(dāng)時，此時，同理可得：，∴y與x的函數(shù)表達式為，當(dāng)時，的最小值為；②如圖，∵，正方形，記正方形的中心為，∴，連接，，，∴，∴在上，且為直徑，∴，過作于，過作于，∴，，∴，∴，∴正方形面積為,∴，解得：，，經(jīng)檢驗都符合題意，如圖，綜上：當(dāng)時，為或.9．【正確答案】[操作判斷]45；[探究證明]（1）等腰直角三角形，理由見詳解；（2）見詳解；[深入研究]【分析】[操作判斷]根據(jù)正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)即可求解；[探究證明]（1）先證明，再證明，則，繼而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，則，因此；[深入研究]連接，先證明，則，由，設(shè)，則，而，

則，可得，，，那么，故．【詳解】[操作判斷]解：如圖，由題意得，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，即，故45；[探究證明]解：（1）如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；（2）如圖，由翻折得，，∵四邊形是正方形，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；[深入研究]解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，，∵是對角線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴,∵，∴設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．10．【正確答案】（1），見解析；（2）2，見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意證明，得出關(guān)系式，進而求得，代入比例式，即可求解；（2）方法一：勾股定理求得，將將（1）中代入得，進而根據(jù)三角形的周長公式，即可求解；方法二：證明，，過作交于點，作交于點，作交于點．證明，，得出，得出，進而根據(jù)三角形的周長公式可得的周長．方法三：過作交于點，作交于點，在上截取一點，使，連接．得出，，則，同方法二求得，進而即可求解；（3）分兩種情況討論，于的夾角；①過點作于點，作的垂直平分線交于點，連接，在中，設(shè)，由勾股定理得，，進而根據(jù)正確的定義，即可求解；②過點作于點，作的垂直平分線交于點，連接，在中，設(shè)，同①即可求解．．【詳解】操作發(fā)現(xiàn)解：（1）∵，且．∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中，，∴，∵是的中點，點與點重合，∴，∴，∴．

問題解決（2）方法一解：的周長定值為2．理由如下,∵，，，∴，，在中，∴．將（1）中代入得∴．∵，又∵，∴，∴．∵的周長，∴的周長．方法二解：的周長定值為2．理由如下,∵和是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，，，∵O為AB的中點，∴，∴，又∵，∴，，，∴過作交于點，作交于點，作交于點．∴．又∵，，∴，，∴，，∴．∵的周長．又∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵是的中點，點是的中點，同理點是的中點．∴，∴的周長．

方法三解：的周長定值為2．理由如下,過作交于點，作交于點，在上截取一點，使，連接．∵是等腰直角三角形，為的中點，∴平分，∴，∴，∴，．∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的周長．又∵，，，∴，∴．∵，，∴．∵是的中點，點是的中點，同理點是的中點．∴，∴的周長．

拓展延伸（3）或

①解：∵，，∴，過點作于點，作的垂直平分線交于點，連接，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，設(shè)，∴，由勾股定理得，，∴，∴在中，．

②解：∵，，∴，過點作于點，作的垂直平分線交于點，連接．∵，∴，∴，在中，設(shè)，∴，由勾股定理得，∴，∴在中，．∴或．

11．【正確答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，進而證明，可以得到，由，可得，即可證明A，B，D，E四點共圓；（2）如圖所示，連接，根據(jù)等邊對等角得到，由圓周角定理得到，再由，得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，即，由