數(shù)學(xué) 2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)16　橢圓含答案

數(shù)學(xué)2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)16橢圓熱點(diǎn)16橢圓年份202220232024角度題號(hào)角度題號(hào)角度題號(hào)新高考Ⅰ卷橢圓的定義及方程16橢圓的幾何性質(zhì)5——新高考Ⅱ卷——橢圓的幾何性質(zhì)5橢圓的定義及方程5【考向一】橢圓的定義及方程【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲線C:x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP',P'為垂足,則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為(A)A.x216+y24=1(y>0) B.x2C.y216+x24=1(y>0) D.y2【審題思維】設(shè)M(x,y)(y>0),由題意及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo),利用代入法,即可求得線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程.【題后反思】1.相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的步驟(1)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)相關(guān)的點(diǎn)P(x0,y0)在已知曲線上運(yùn)動(dòng);(2)尋求關(guān)系式x0=f(x,y),y0=g(x,y);(3)將x0,y0代入已知曲線方程;(4)整理關(guān)于x,y的關(guān)系式得M的軌跡方程.2.定義法求軌跡方程的步驟(1)判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡滿(mǎn)足某種曲線的定義;(2)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,求方程中的基本量;(3)求軌跡方程.3.參數(shù)法求軌跡方程的步驟(1)選取參數(shù)k,用k表示動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程x(3)消參數(shù)k,得M的軌跡方程;(4)由k的范圍確定x,y的范圍,確保完備性與純粹性.【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是橢圓C:x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上,則|MF1|·|MFA.13 B.12 C.9 D.6【審題思維】①由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=6②利用基本不等式求最值【題后反思】橢圓定義應(yīng)用的三種類(lèi)型及解題策略求方程通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化,明確動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓的定義,便可直接求解其軌跡方程焦點(diǎn)三角形問(wèn)題利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理,其中對(duì)|PF1|+|PF2|=2a兩邊同時(shí)平方是常用技巧求最值抓住|PF1|+|PF2|=2a,可利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定義|PF1|+|PF2|=2a轉(zhuǎn)化或變形,借助三角形性質(zhì)求最值【提醒】1.注意橢圓的定義中的常數(shù)大于|F1F2|,避免了動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段或者不存在的情況.2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,c三個(gè)量之間滿(mǎn)足a2=b2+c2,而并非c2=a2+b2.【考向二】橢圓的幾何性質(zhì)【典例1】(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=3e1A.233 B.2 C.3 D【審題思維】分別求出橢圓C1和C2的離心率,根據(jù)e2=3e1建立關(guān)于a的方程求解.【題后反思】1.橢圓中與長(zhǎng)度有關(guān)的常用結(jié)論(1)橢圓中的通徑為過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓相交所得的線段,其長(zhǎng)度為2b(2)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的最大距離為a+c,最小距離為a-c.2.求橢圓離心率(或其范圍)的兩種常用方法【提醒】(1)解關(guān)于離心率e的方程時(shí),常忽視離心率e的取值范圍而產(chǎn)生增解現(xiàn)象;(2)在求與橢圓上點(diǎn)P有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)常用到幾何性質(zhì),也是容易被忽視,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=x+m與C交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB的面積是△F2AB的2倍,則m=(A.23 B.23 C.-23 D【審題思維】①聯(lián)立方程組,通過(guò)方程思想求出m的取值范圍②將面積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離間的關(guān)系求m【題后反思】1.圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x12.求解弦長(zhǎng)的三種方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解;(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí),聯(lián)立直線與曲線的方程,消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解;(3)當(dāng)弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦點(diǎn)弦公式求解弦長(zhǎng).3.解決圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:將直線方程代入圓錐曲線的方程,消元后得到一個(gè)一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解;(2)點(diǎn)差法:設(shè)出直線l與圓錐曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2),代入圓錐曲線方程,通過(guò)作差,構(gòu)造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,從而建立弦的中點(diǎn)和直線斜率的關(guān)系.【真題再現(xiàn)】1.★★☆☆☆(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)F1,F2為橢圓C:x25+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,若·=0,則|PF1|·|PF2|=(B)A.1 B.2 C.4 D.52.★★☆☆☆(2022·全國(guó)甲卷)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,Q均在C上,且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若直線AP,AQ的斜率之積為A.32 B.22 C.12 3.★★★☆☆(2022·新高考Ⅱ卷)已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A,B兩點(diǎn),l與x軸,y軸分別交于M,N兩點(diǎn),且|MA|=|NB|,|MN|=23,則l的方程為x+2y-2【模擬精選】1.★★☆☆☆(2024·海西模擬)已知橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F2的射線分別與橢圓C和圓M:x2+y2-2x-15=0相交于點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥F1Q,垂足為H,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|A.43 B.32 C.2 D2.★★☆☆☆(2024·武漢模擬)已知橢圓x2a2+y22=1(a>2)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2.若橢圓上有一點(diǎn)P,使∠F1PF2=120°,則△PF1A.32 B.433 C.3 D3.★★★☆☆(2024·安康模擬)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M在橢圓上,且滿(mǎn)足∠F1MF2=90°,MF2延長(zhǎng)線交橢圓于另一點(diǎn)C,|MF2|=2|A.x29+y2=1 B.x25C.x29+y24=1 D.4.★★★☆☆(2024·西安三模)已知定點(diǎn)P(2,0)與橢圓x236+y29=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,若PM⊥PN,則·的最小值為(A.83 B.13 C.233 D5.★★★☆☆(2024·桂林三模)已知橢圓C:x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在x軸上方且=2,則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(A.12 B.32 C.-74 6.★★★★☆(2024·上饒模擬)如圖所示,曲線C是由半橢圓C1:x24+y23=1(y<0),半圓C2:(x-1)2+y2=1(y≥0)和半圓C3:(x+1)2+y2=1(y≥0)組成,過(guò)C1的左焦點(diǎn)F1作直線l1與曲線C僅交于A,B兩點(diǎn),過(guò)C1的右焦點(diǎn)F2作直線l2與曲線C僅交于M,N兩點(diǎn),且l1∥l2,則|AB|+|A.3 B.4 C.5 D.67.★★★☆☆(2024·菏澤模擬)已知F1,F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2的一條直線與C交于A,B兩點(diǎn),|BF2|=1,∠F1AF8.★★★★☆(2024·長(zhǎng)沙三模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,過(guò)C的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AB【創(chuàng)新演練】1.★★★★☆(2024·上海一模)橢圓具有如下的聲學(xué)性質(zhì):從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的聲波經(jīng)過(guò)橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)另外一個(gè)焦點(diǎn).有一個(gè)具有橢圓形光滑墻壁的建筑,某人站在一個(gè)焦點(diǎn)處大喊一聲,聲音向各個(gè)方向傳播后經(jīng)墻壁反射(不考慮能量損失),該人先后三次聽(tīng)到了回音,其中第一、二次的回音較弱,第三次的回音較強(qiáng);記第一、二次聽(tīng)到回音的時(shí)間間隔為x,第二、三次聽(tīng)到回音的時(shí)間間隔為y,則橢圓的離心率為(B)A.x2x+y C.y2x+y 2.★★★★☆(2024·紹興模擬)單位向量a,向量b滿(mǎn)足|a+b|=12a·b+2,若存在兩個(gè)均滿(mǎn)足此條件的向量b1,b2,使得b1+b2=λ(b2+a).設(shè)a,b1,b2在起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí),終點(diǎn)分別為A,B1,B2,則S△AA.23 B.3 C.4 D.2熱點(diǎn)17雙曲線年份202220232024角度題號(hào)角度題號(hào)角度題號(hào)新高考Ⅰ卷——求雙曲線的離心率16求雙曲線的離心率12新高考Ⅱ卷——————【考向一】雙曲線的定義及方程【典例1】(2024·天津高考)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.P是雙曲線右支上一點(diǎn),且直線PF2的斜率為2,△PFA.x22-y28=1 B.C.y24-x28=1 D.【審題思維】設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n→由雙曲線的定義得m-n=2a→由△PF1F2是面積為8的直角三角形→m2+n2=(2c)2,12mn=8→由直線PF2的斜率為2→tan∠F1F2P=mn=2,即m=2n→求出m,n的值→進(jìn)而求出a,b的值→得到雙曲線的方程【題后反思】雙曲線定義應(yīng)用的三種類(lèi)型及解題策略求方程通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化,明確動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足雙曲線的定義,便可直接求解其軌跡方程焦點(diǎn)三角形問(wèn)題解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用雙曲線的定義、正弦定理或余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運(yùn)用平方建立與|PF1|·|PF2|的關(guān)系求最值利用||PF1|-|PF2||=2a轉(zhuǎn)化或變形,借助三角形的性質(zhì)或構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”求最值【提醒】1.不能漏掉“絕對(duì)值”,否則軌跡是雙曲線的一支;2.“常數(shù)”小于|F1F2|,否則軌跡是兩條射線或不存在;3.確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸位置,否則容易漏解或錯(cuò)解.【典例2】(2023·天津高考)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.過(guò)F2作其中一條漸近線的垂線,垂足為P②.已知|PF2|=2①,直線PFA.x28-y24=1 B.C.x24-y22=1 D.【審題思維】①利用點(diǎn)到直線的距離求出|PF2|,進(jìn)而求得b的值②聯(lián)立方程組求出垂足P的坐標(biāo)③通過(guò)斜率公式建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式【題后反思】巧設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的六種方法與技巧(1)焦點(diǎn)在x軸上:設(shè)為x2a2-y2b2(2)焦點(diǎn)在y軸上:設(shè)為y2a2-x2b2(3)與雙曲線x2a2-y2b2=1共焦點(diǎn):設(shè)為x2a2-λ-y2(4)與雙曲線x2a2-y2b2=1具有相同漸近線:設(shè)為x2a(5)漸近線為y=kx:設(shè)為k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)漸近線為ax±by=0:設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).【考向二】雙曲線的幾何性質(zhì)【典例1】(2024·北京高考)已知雙曲線x24-y2=1,則過(guò)(3,0)且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為±1【審題思維】根據(jù)已知條件,設(shè)出直線方程,再與雙曲線方程聯(lián)立,再分類(lèi)討論,并結(jié)合判別式,即可求解.【題后反思】1.直線與雙曲線的相交弦設(shè)直線y=kx+m交雙曲線x2a2-y2bP1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn),則|P1P2|=(x1-x2)2+(y1同理可得|P1P2|=1+1k2|y1-y2這里|x1-x2|,|y1-y2|的求法通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,需作以下變形:|x1-x2|=(x|y1-y2|=(y2.雙曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解.在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0【典例2】(2024·新高考Ⅰ卷)設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|F1A|=13,|AB|=10,則【審題思維】由題意求出|F1A|,|F2A|→利用雙曲線的定義求出a→利用|F2A|=b2a=5求得b2→根據(jù)c2=a2+b2求得c→代入離心率公式求得結(jié)論【題后反思】求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a,b,c的值,由c2a2=a2(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.【提醒】1.雙曲線中a,b,c三個(gè)量之間滿(mǎn)足c2=a2+b2,注意不要與橢圓中a,b,c之間的關(guān)系混淆;2.雙曲線的離心率大于1,橢圓的離心率e∈(0,1).求它們的離心率,不要忽視這一前提條件,否則會(huì)產(chǎn)生增解或擴(kuò)大取值范圍的情況.【真題再現(xiàn)】1.★☆☆☆☆(2024·全國(guó)甲卷)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0,4),F2(0,-4),點(diǎn)(-6,4)在該雙曲線上,則該雙曲線的離心率為(C)A.4 B.3 C.2 D.22.★★☆☆☆(2023·全國(guó)甲卷)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,其中一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,A.15 B.55 C.2553.★★★☆☆(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn),下列四個(gè)點(diǎn)中,可為線段AB中點(diǎn)的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)4.★★★☆☆(2023·新高考Ⅰ卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,⊥,=-23,則C的離心率為

5.★★☆☆☆(2022·全國(guó)甲卷)記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫(xiě)出滿(mǎn)足條件“直線y=2x與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值2(答案不唯一,滿(mǎn)足1<【模擬精選】1.★☆☆☆☆(2024·蘭州三模)已知雙曲線C:y23m+2-x2m=1(A.y=±12x B.y=±22x C.y=±2x D.y=±2.★★☆☆☆(2024·葫蘆島模擬)已知點(diǎn)F是雙曲線x2-y29=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),點(diǎn)Q是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PQ|的最小值為(A.8 B.5 C.3 D.23.★★☆☆☆(2024·東城二模)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,A.x23-y2=1 B.x2-C.x26-y22=1 D.x24.★★★☆☆(2024·南昌三模)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.過(guò)F2作直線l與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB的周長(zhǎng)為10A.[52,5] B.[32,3] C.[12,25.★★★☆☆(2024·杭州模擬)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,直線l過(guò)點(diǎn)F2且平行于C的一條漸近線,l交C于點(diǎn)P,若·=0,則A.3 B.2 C.5