四川省涼山彝族自治州會(huì)東縣南山實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

四川省涼山彝族自治州會(huì)東縣南山實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（

）A．3 B．6C．3或 D．6或3．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A．3 B． C．6 D．4．已知，則（

）A．2 B．3 C．4 D．55．曲線在點(diǎn)處的切線方程為(

)A． B．C． D．6．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，則（

）A．110 B．55 C．50 D．457．若函數(shù)在區(qū)間(,)內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．[－5,1) B．(－5,1)C．[－2,1) D．(－2,1)8．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的值可能為（

）A． B． C． D．e二、多選題（本大題共3小題）9．已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則D．若和都為遞增數(shù)列，則10．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（

）

A．在上單調(diào)遞減 B．有極小值C．有2個(gè)極值點(diǎn) D．在處取得最大值11．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．的極大值點(diǎn)是B．函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)C．存在實(shí)數(shù)，使得成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知構(gòu)成各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，且則.13．已知函數(shù)，則的極小值為14．若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為何值時(shí)，取得最大值并求其最大值．16．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)求的前n項(xiàng)和.17．設(shè)函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；(3)求在區(qū)間上的最大值與最小值．18．已知.(1)求函數(shù)的最小值；(2)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；19．設(shè)函數(shù)．(1)若在點(diǎn)處的切線斜率為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，求證：在時(shí)，．

參考答案1．【答案】D【詳解】由，則，公差.故選D.2．【答案】B【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為q，則，所以，，所以．故選B．3．【答案】A【詳解】因?yàn)?，又函?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，所以，故選A.4．【答案】C【詳解】，所以.故選C.5．【答案】A【詳解】求導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選A.6．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出，再利用前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，，于是得，所以.故選B.7．【答案】C【詳解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，令，解得或，若函數(shù)在(,)內(nèi)存在最小值，則，得．故選C.8．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，故上式成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，令，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，故，即，綜上，所以ABD錯(cuò)誤，C正確.故選C.9．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，A錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定B正確；由，求得，C正確；根據(jù)題意，求得任意的，結(jié)合的正負(fù)不確定，D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A中，由，，可得，所以，又由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以，又因?yàn)?，則，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得公差，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得，所以對(duì)任意的，但的正負(fù)不確定，所以D錯(cuò)誤．故選BC.10．【答案】AB【詳解】由的圖象可知或時(shí)，，則單調(diào)遞減，故A正確；又或時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，故B正確；由的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，2，4時(shí)，有極值，所以有3個(gè)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，在處不能取得最大值，故D錯(cuò)誤．故選AB．11．【答案】BD【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，函數(shù)，則，由于，即在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)中，由，可得當(dāng)x且趨于無窮大時(shí)，無限接近于0，也無限趨于0，故不存在實(shí)數(shù)，使得成立，即不存在實(shí)數(shù)，使得成立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，由得要證，只要證，即證，由于，故令，則，故在上單調(diào)遞增，則，即成立，故成立，所以D正確．故選BD．12．【答案】4【詳解】因?yàn)闃?gòu)成各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，所以，又，所以，解得或（舍去）.13．【答案】【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，由題知，令，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極小值，極小值為.14．【答案】【詳解】方程化為，令則問題轉(zhuǎn)化為的圖像與直線有2個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)最小值為，且當(dāng)正向無限趨近于時(shí)，的取值無限趨近于正無窮大；當(dāng)無限趨近于正無窮大時(shí)，的取值無限趨近于正無窮大；

故方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根時(shí)，.15．【答案】（1）；（2）n=4時(shí)取得最大值.【分析】（1）利用公式，進(jìn)行求解；（2）對(duì)進(jìn)行配方，然后結(jié)合由，可以求出的最大值以及此時(shí)的值.【詳解】（1）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，顯然成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），由，則時(shí)，取得最大值28，所以當(dāng)為4時(shí)，取得最大值，最大值28．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了已知求，以及二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)的取值范圍求最大值是解題的關(guān)鍵.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋?，，所以，故?shù)列是以首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，即，所以.所以，①，②由①－②，得，所以.故的前項(xiàng)和為.17．【答案】(1)；(2)極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；(3)，.【詳解】（1）由題意得：，則，又，在處的切線方程為，即；（2）令，解得：或，則變化情況如下表：極小值極大值的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；（3）由（2）知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，，，，.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，的定義域是，，..所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.（2）因?yàn)榇嬖?，使成立，即能成立，即能成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以.19．【答案】(1)(2)答案見解析(3)