四川省涼山彝族自治州會東縣南山實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

會東南山高二數(shù)學(xué)期中考試一、單選題（每題5分）1.已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)即可得.【詳解】由，則，公差.故選：D.2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（）A.3 B.6C.3或 D.6或【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為q，則，所以，，所以．故選：B．3.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A.3 B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，又函?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，所以，故選：A.4.已知，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】，所以.故選：C.5.曲線在點(diǎn)處切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】求導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故選：A.6.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，則（）A.110 B.55 C.50 D.45【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)計算出，再利用前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)計算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，，于是得，所以.故選：B7.若函數(shù)在區(qū)間(,)內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.[－5,1) B.(－5,1)C.[－2,1) D.(－2,1)【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的極值點(diǎn)，要使函數(shù)在區(qū)(,)內(nèi)存在最小值，只需極小值點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，且在端點(diǎn)處的函數(shù)值不能超過極小值．【詳解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，令，解得或，若函數(shù)在(,)內(nèi)存在最小值，則，得．故選：C8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的值可能為（）A. B. C. D.e【答案】C【解析】【分析】由題意可得在上恒成立，當(dāng)時，上式恒成立，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用可求得，從而可求出取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ噬鲜匠闪ⅲ瑵M足題意；當(dāng)時，則在上恒成立，令，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，故，即，綜上，所以ABD錯誤，C正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后分情況討論，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.二、多選題（每題6分，選全滿分，沒選全得部分分）9.已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若和都為遞增數(shù)列，則【答案】BC【解析】【分析】若的公差為，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】若的公差為，則：A：由題設(shè)，故，則，錯；B：，對；C：由，即，而，即，對；D：由題設(shè)，又是遞增數(shù)列，則，所以，即對，，而的符號無法確定，錯.故選：BC10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.有極小值C.有2個極值點(diǎn) D.在處取得最大值【答案】AB【解析】【分析】結(jié)合圖象，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系逐一分析判斷即可.【詳解】由的圖象可知或時，，則單調(diào)遞減，故A正確；又或時，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有極小值，故B正確；由的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，2，4時，有極值，所以有3個極值點(diǎn)，故C錯誤；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以，在處不能取得最大值，故D錯誤．故選：AB．11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.的極大值點(diǎn)是B.函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)C.存在實(shí)數(shù)，使得成立D.對任意兩個正實(shí)數(shù)，且，若，則【答案】BD【解析】【分析】對于A，直接求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系直接判斷即可；對于B，求導(dǎo)得單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解；對于C，當(dāng)x且趨于無窮大時，無限接近于0，也無限趨于0，從而也趨于0，由此即可判斷；對于D，通過分析得知只需證明，進(jìn)一步通過換元并構(gòu)造函數(shù)即可得證.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值，所以A錯誤；B選項(xiàng)中，函數(shù)，則，由于，即在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)中，由，可得當(dāng)x且趨于無窮大時，無限接近于0，也無限趨于0，故不存在實(shí)數(shù)，使得成立，即不存在實(shí)數(shù)，使得成立，C錯誤；D選項(xiàng)中，由得要證，只要證，即證，由于，故令，則，故在上單調(diào)遞增，則，即成立，故成立，所以D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是適當(dāng)轉(zhuǎn)換問題為證明在上恒成立，由此即可順利得解.三、填空題（每題5分）12.已知構(gòu)成各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，且則________.【答案】4【解析】【分析】利用等比中項(xiàng)，得到，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闃?gòu)成各項(xiàng)為正等比數(shù)列，所以，又，所以，解得或（舍去），故答案為：.13.已知函數(shù)，則的極小值為______【答案】【解析】【分析】對求導(dǎo)，得到，再利用極值的定義及求極值的步驟，即可求解.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，由題知，令，得到，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在處取得極小值，極小值為，故答案為：.14.若方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與直線有2個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】方程化為，令則問題轉(zhuǎn)化為圖像與直線有2個交點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)最小值為，且當(dāng)正向無限趨近于時，的取值無限趨近于正無窮大；當(dāng)無限趨近于正無窮大時，的取值無限趨近于正無窮大；故方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根時，.故答案為：四、解答題15.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．【答案】（1）；（2）n=4時取得最大值.【解析】【分析】（1）利用公式，進(jìn)行求解；（2）對進(jìn)行配方，然后結(jié)合由，可以求出的最大值以及此時的值.【詳解】（1）由題意可知：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，顯然成立，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），由，則時，取得最大值28，∴當(dāng)為4時，取得最大值，最大值28．【點(diǎn)睛】本題考查了已知求，以及二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)的取值范圍求最大值是解題的關(guān)鍵.16.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)求的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系化簡可得，從而可得結(jié)論；（2）由（1）可知，，則，利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，，所以，故?shù)列是以首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知，，即，所以.所以，①，②由①－②，得，所以故的前項(xiàng)和為.17.設(shè)函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；（3）求在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）；（2）極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；（3），.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可確定單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可確定所求極值點(diǎn)；（3）由（2）可得在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得最值.【小問1詳解】由題意得：，則，又，在處的切線方程為，即；【小問2詳解】令，解得：或，則變化情況如下表：極小值極大值的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；【小問3詳解】由（2）知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，，，，.18.已知.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)即可求得的最小值；（2）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.【小問1詳解】依題意，的定義域是，，..所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，取得最小值.【小問2詳解】因存在，使成立，即能成立，即能成立，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，所以.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：有解問題：（1）有解；有解．（2）有解；有解．（3）有解；有解．（4），，．19.設(shè)函數(shù)．（1）若在點(diǎn)處的切線斜率為，求a的值；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，求證：在時，．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）通過計算，可求解；（2）由（1）