四川省成都高新實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

四川省成都高新實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則（）A．8 B．32 C．16 D．642．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．19 B．51 C．69 D．873．若在等差數(shù)列中，．則的公差為（

）A．1 B．2 C．3 D．64．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．5 D．156．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，則下列不正確的是（）A． B．C． D．8．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，在雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得成等比數(shù)列，則雙曲線離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，是其公比，則下列說法一定正確的是（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說法中正確的是（）A．若，數(shù)列的前10項(xiàng)和或前11項(xiàng)和最大，則等差數(shù)列的公差B．若，，則使成立的最大的n為4039C．若，則D．若，則11．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若記此數(shù)列為，有，，前n項(xiàng)和為，則下列對“斐波那契數(shù)列”的描述正確的是（

）A． B．該數(shù)列的前2024項(xiàng)中能被3整除的有507項(xiàng)C．是偶數(shù) D．三、填空題（本大題共3小題）12．若數(shù)列是等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)13．若等比數(shù)列共有項(xiàng)，其公比為2，其奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和少100，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和為．14．已知等比數(shù)列的公比，存在，滿足，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和17．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)已知．①求直線與平面所成角的正弦值；②求點(diǎn)到平面的距離．18．在數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)求的通項(xiàng)公式.(3)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和為4．記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)．①若點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與直線垂直，求的周長；②若，求面積的取值范圍．

參考答案1．【答案】D【詳解】由可得為常數(shù)，所以數(shù)列是以，公比為2的等比數(shù)列；因此.故選D.2．【答案】C【詳解】.故選C.3．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?解得,所以等差數(shù)列為正數(shù)等差數(shù)列，所以故選B.4．【答案】A【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，則.故選A5．【答案】D【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，又，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以，故，當(dāng)時(shí)，，所以，故，綜上，，故選D.6．【答案】D【詳解】由，，則，，，所以數(shù)列的最小正周期為，由，則.故選D.7．【答案】C【詳解】由可得，且，因此可得，故選項(xiàng)A、B正確.因?yàn)?，可得，所以，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，，選項(xiàng)D正確.故選C.8．【答案】B【詳解】如圖，不妨設(shè)，由題意，，則，即①，又，即②，由①，②可知，可看成關(guān)于的方程的兩根，則，故得，（*）.在中，因，運(yùn)用余弦定理，由可得：，化簡得：，將（*）代入整理得：，化簡得：，即，由圖可得，則有，即得：，也即，分解因式得：，即，因，解得.故選B.9．【答案】BD【詳解】，為遞減數(shù)列，則或.故BD正確.故選BD.10．【答案】BC【詳解】若，數(shù)列的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最大，則，即，故A錯(cuò)誤；由，得，即，整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，，不符題意，所以，由，得，由，得，所以n的最大值為4039，故B正確；解得．又，故C正確；因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即10，30，成等差數(shù)列，所以，解得，故D錯(cuò)誤．故選BC.11．【答案】AD【詳解】對A選項(xiàng)：因?yàn)?，即，所以，又，所?故A正確；對B：因?yàn)椤办巢瞧鯏?shù)列”的前若干項(xiàng)依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它們除以3所得的余數(shù)為：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以發(fā)現(xiàn)余數(shù)是以1,1,2,0,2,2,1,0為周期的，在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)能被3整除的數(shù).又，所以該數(shù)列的前2024項(xiàng)中能被3整除的有個(gè).故B錯(cuò)誤；對C：因?yàn)榫鶠槠鏀?shù)，且奇數(shù)奇數(shù)為偶數(shù)，所以為偶數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)偶數(shù)為奇數(shù)，所以為奇數(shù)；…所以“斐波那契數(shù)列”中的項(xiàng)是“奇，奇，偶”規(guī)律出現(xiàn)的，又，所以為奇數(shù)，故C錯(cuò)誤；對D：因?yàn)椤驗(yàn)?，所?故D正確.故選AD.12．【答案】【詳解】∵，且為等比數(shù)列，由等比數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，可得：，即．13．【答案】300【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，，由題意可得：，即，解得，故數(shù)列的所有項(xiàng)之和是.14．【答案】【詳解】在等比數(shù)列中，由，得，即，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)，而，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.15．【答案】(1);(2).【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，由，得，所以，所以．（2）由（1）知，所以.【思路導(dǎo)引】若通項(xiàng)公式是分式型，分子是常數(shù)，分母是相鄰兩項(xiàng)的積，則可以考慮用裂項(xiàng)相消法求和.16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.（2）由題知，所以，，兩式相減得所以17．【答案】(1)證明見解析；(2)；.【詳解】（1）連接，連，如圖，正方形中，N為的中點(diǎn)，而為棱的中點(diǎn)，則，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)榈酌娴酌妫?，正方形?，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，平?所以，為棱的中點(diǎn)．所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，則，所以.設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，所以，令，得，即，設(shè)直線與平面所成角為所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；②點(diǎn)到平面的距離.18．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）在數(shù)列中，由，得，則，而，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.（2）由（1）得，則，即，所以的通項(xiàng)公式是.（3）由（2）得，則，所以.19．【答案】(1)(2)①8；②【詳解】（1）由題意知，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以和為焦點(diǎn)的橢圓，故可設(shè)橢圓的方程為，則，所以，所以曲線