河北省滄衡八校聯(lián)盟2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中模擬考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

河北省滄衡八校聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知是相互獨(dú)立事件，且，則（）A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.282．已知隨機(jī)變量的分布列如表-101P若，則（

）A．或 B．或 C．或 D．3．某校高三學(xué)生的?？紨?shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，按照，，，的比例將考試成績(jī)劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個(gè)等級(jí).若小張的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?，則他的等級(jí)是（

）附：，，.A．優(yōu)秀 B．良好 C．合格 D．基本合格4．某校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級(jí)隨機(jī)抽取了7名男生，測(cè)量了他們的身高和體重得下表：身高x（單位：）167173175177178180181體重y（單位：）90545964677276由表格制作成如圖所示的散點(diǎn)圖：由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，其相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過(guò)殘差分析，點(diǎn)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為.則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．5．若對(duì)恒成立，其中，則（

）A． B．0 C．1 D．26．勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.現(xiàn)提供5種顏色給如圖所示的勒洛三角形中的4個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，且相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）A．120 B．240 C．300 D．3207．若的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，且第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（）A． B．C． D．8．某樓梯有11級(jí)臺(tái)階（從下往上依次為第1級(jí)，第2級(jí)，，第11級(jí)），甲一步能上1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階，最多可以一步上3級(jí)，且每一步上幾級(jí)臺(tái)階都是隨機(jī)的，則甲上這個(gè)樓梯沒(méi)踩過(guò)第6級(jí)臺(tái)階的概率是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的上四分位數(shù)為9B．若，，且，則相互獨(dú)立C．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若其中一個(gè)散點(diǎn)坐標(biāo)為，則D．將兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)，，…，調(diào)整為，，…，，決定系數(shù)不變10．下列命題中正確的是（）A．已知服從正態(tài)分布，且，則B．已知服從正態(tài)分布，且，則常數(shù)的值為3C．已知服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為0.15，則在內(nèi)取值的概率為0.25D．已知其中，則11．從7名男生和3名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63種不同的選法B．如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法D．如果4人中必須既有男生又有女生，那么有184種不同的選法三、填空題（本大題共3小題）12．已知的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024，則含項(xiàng)的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．將字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每個(gè)格子各放一個(gè)字母，則每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率為；若共有k行字母相同，則得k分，則所得分?jǐn)?shù)的均值為．14．在某一天的幼兒園活動(dòng)中，5名小朋友每人制作了一個(gè)小禮物，每人隨機(jī)拿一個(gè)禮物，則這5名小朋友都沒(méi)有拿到自己制作的禮物的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．流感病毒是一種病毒，大致分為甲型、乙型、丙型三種，其中甲流病毒傳染性最強(qiáng)，致死率最高，危害也最大．某藥品科技研發(fā)團(tuán)隊(duì)針對(duì)甲流病毒的特點(diǎn)，研發(fā)出預(yù)防甲流藥品和治療甲流藥品，根據(jù)研發(fā)前期對(duì)動(dòng)物試驗(yàn)所獲得的相關(guān)有效數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)選取其中的100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到如下2×2列聯(lián)表：預(yù)防藥品甲流病毒合計(jì)感染未感染未使用242145使用163955合計(jì)4060100(1)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析預(yù)防藥品對(duì)預(yù)防甲流的有效性；(2)用頻率估計(jì)概率，從已經(jīng)感染的動(dòng)物中，采用隨機(jī)抽樣方式每次選出1只，用治療藥品對(duì)該動(dòng)物進(jìn)行治療，已知治療藥品的治愈數(shù)據(jù)如下：對(duì)未使用過(guò)預(yù)防藥品的動(dòng)物的治愈率為0.5，對(duì)使用過(guò)預(yù)防藥品的動(dòng)物的治愈率為0.75，若共選取3只已感染動(dòng)物，每次選取的結(jié)果相互獨(dú)立，記選取的3只已感染動(dòng)物中被治愈的動(dòng)物只數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．2024年3月22日是第三十二屆“世界水日”，3月22日-28日是第三十七屆“中國(guó)水周”.為了喚起孩子們的節(jié)約用水意識(shí)，加強(qiáng)水資源保護(hù)，某中學(xué)舉辦了關(guān)于“水資源”的問(wèn)答比賽.比賽規(guī)則如下：盒中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，盒中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球（兩盒中的球除顏色外其他都相同）.現(xiàn)隨機(jī)選擇一盒，然后從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，若抽到球的顏色相同，則回答第一類問(wèn)題，答對(duì)得2分，若抽到球的顏色不同，則回答第二類問(wèn)題，答對(duì)得3分，兩類問(wèn)題答錯(cuò)均不得分.每位同學(xué)進(jìn)行二輪比賽.(1)求甲同學(xué)在一輪比賽中回答第一類問(wèn)題的概率；(2)已知甲同學(xué)二輪比賽后得分為4分，乙同學(xué)答對(duì)第一類問(wèn)題的概率為，答對(duì)第二類問(wèn)題的概率為，求乙同學(xué)二輪比賽后得分高于甲同學(xué)的概率.17．已知在的展開(kāi)式中，第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是．(1)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)；(3)求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．18．某學(xué)校派出6名同學(xué)參加省教育廳主辦的理科知識(shí)競(jìng)賽，分為數(shù)學(xué)競(jìng)賽，物理競(jìng)賽和化學(xué)競(jìng)賽，該校每名同學(xué)只能參加其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽，且每個(gè)學(xué)科至少有一名學(xué)生參加．(1)求該校派出的6名學(xué)生總共有多少種不同的參賽方案？(2)若甲同學(xué)主攻數(shù)學(xué)方向，必須選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽，乙同學(xué)主攻物理方向，必須選擇物理競(jìng)賽，則這6名學(xué)生一共有多少種不同的參賽方案？19．某景區(qū)的索道共有三種購(gòu)票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對(duì)當(dāng)日購(gòu)票的120人征集意見(jiàn)，當(dāng)日購(gòu)買(mǎi)單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．(1)若按購(gòu)票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買(mǎi)單程上山票的概率．(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見(jiàn)時(shí)要求把購(gòu)買(mǎi)單程上山票的2人和購(gòu)買(mǎi)回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問(wèn)，若選出的2人的購(gòu)票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問(wèn)的某組被標(biāo)為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問(wèn)了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時(shí)m的值．

參考答案1．【答案】C【詳解】由可得，又是相互獨(dú)立事件，所以.故選C.2．【答案】B【詳解】由題意得，即①，，，又因?yàn)?，所以②，?lián)立①，②，解得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，解得或.故選B.3．【答案】B【詳解】由題得，，所以，，，，因?yàn)?，，所以，根?jù)比例成績(jī)大于分為優(yōu)秀，因?yàn)?，根?jù)比例成績(jī)?cè)诘街g的為良好，，根據(jù)比例成績(jī)?cè)诘街g的為合格，，根據(jù)比例成績(jī)小于分為基本合格，因?yàn)樾埖臄?shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?，則他的等級(jí)是良好.故選B.4．【答案】A【分析】根據(jù)的特點(diǎn)判斷斜率和截距；由于去掉，其它點(diǎn)的線性關(guān)系更強(qiáng)，從而可判斷相關(guān)系數(shù).【詳解】身高的平均數(shù)為，因?yàn)殡x群點(diǎn)的橫坐標(biāo)167小于平均值176，縱坐標(biāo)90相對(duì)過(guò)大，所以去掉后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，故，去掉后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，所以.故選A.5．【答案】D【詳解】，，即.故選D.6．【答案】D【詳解】先涂中間，有5種選色，再逐個(gè)涂旁邊部分，都有4種選色.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案種數(shù)為.故選D.7．【答案】C【詳解】，，，，，第6項(xiàng)的系數(shù)最大，，則.故選C.8．【答案】D【詳解】法—：記甲上到第級(jí)臺(tái)階共有種上法，則，上到第3級(jí)的方法為，每一步一級(jí)，或第一步一級(jí)第二步兩級(jí)，或第一步兩級(jí)第二步一級(jí)，或一步走三級(jí)，共四種上法，所以.當(dāng)時(shí)，學(xué)生甲上到第級(jí)臺(tái)階，可以從第級(jí)或第級(jí)或第級(jí)上去，所以，于是，其中甲踩過(guò)第6級(jí)臺(tái)階的上臺(tái)階方法數(shù)，可分兩步計(jì)算，第一步，從第1級(jí)到第6級(jí)，共有種方法；第二步，從第7級(jí)到第11級(jí)，相當(dāng)于從第1級(jí)到第5級(jí)的方法數(shù)，共有種方法；所以甲踩過(guò)第6級(jí)臺(tái)階的上臺(tái)階方法數(shù)有，則甲沒(méi)踩過(guò)第6級(jí)臺(tái)階的概率是.故選D.法二：11級(jí)樓梯，甲一步能上1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階，最多可以一步上3級(jí)，三步三級(jí)：走法為走法為.兩步三級(jí)：走法為，走法為，走法為；一步三級(jí)：走法為，走法為，走法為，走法為，走法為；零步三級(jí)：走法為，走法為，走法為，走法為，走法為，走法為；綜上，上11級(jí)臺(tái)階共有.同理，可得從第1級(jí)到第6級(jí)，共有24種方法；從第7級(jí)到第11級(jí)共有13種方法，則甲沒(méi)踩過(guò)第6級(jí)臺(tái)階的概率是.故選D.9．【答案】BD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：先把數(shù)據(jù)重新排列，得到.因?yàn)樯纤姆治粩?shù)是第百分位數(shù)，，所以數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，所以，即相互獨(dú)立，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)不一定在回歸直線上，所以散點(diǎn)不能直接代入直線方程，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由于，變成了，則，，從而，都不變，則，故選項(xiàng)D正確.故選BD.10．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，，，解得：，B正確；對(duì)于C，，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，當(dāng)時(shí)，，D正確.故選ABD.11．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的選法有種，女生的選法有種，所以共有種不同的選法.故A正確.對(duì)于B，如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，在剩下的8人中再選2人即可，有種不同的選法，故B正確.對(duì)于C，在10人中任選4人，有種不同的選法，甲乙都不在其中的選法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有種，故C正確.對(duì)于D，在10人中任選4人，有種不同的選法，只有男生的選法有種，10人中任選4人不可能全是女生，故4人中必須既有男生又有女生的選法有種，故D錯(cuò)誤.

故選.12．【答案】300【詳解】在中，令，得，解得，所以含的項(xiàng)為.13．【答案】；/0.6.【詳解】當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時(shí)，第一列a，b，c三個(gè)字母全排列，有種方法，第二列剩下的a，b，c三個(gè)字母的排列方法有種，所以共有種排列方法，六個(gè)字母在的表格中進(jìn)行排列，共有種排列方法，所以所求概率為．由題意知，分?jǐn)?shù)的可能取值為0,1,3，，，，所以所得分?jǐn)?shù)的均值為．14．【答案】【詳解】5人分配5個(gè)禮物，基本事件總數(shù)，都沒(méi)有拿到自己制作的禮物所包含兩類情況，一是5人中有2人交換了禮物，此時(shí)有種情況，另外三人都沒(méi)有拿到自己制作的禮物情況有2種，故共有種情況；二是5人都沒(méi)有交換禮物，不妨設(shè)甲同學(xué)有4種選擇，若其拿到乙的禮物；對(duì)于乙來(lái)說(shuō)有3種情況，若其拿到丙的禮物；對(duì)丙來(lái)說(shuō)有2種情況，而余下兩人只有1種情況，故共有種情況，故基本事件總數(shù)，概率.15．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）假設(shè)：使用預(yù)防藥品與對(duì)預(yù)防甲流無(wú)效果，由列聯(lián)表可知，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為使用預(yù)防藥品與對(duì)預(yù)防甲流有效果，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.（2）設(shè)事件表示使用治療藥品并且治愈，事件表示未使用過(guò)預(yù)防藥品，事件表示使用過(guò)預(yù)防藥品，由題意可得，且，則，治療藥品的治愈概率，則，所以，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列為0123.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)事件“抽到盒”，事件“抽到盒”，“隨機(jī)抽取兩個(gè)球，顏色相同”，由全概率計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）由（1）知乙同學(xué)在一輪比賽中回答第一類問(wèn)題的概率為，回答第二類問(wèn)題的概率，設(shè)在一輪比賽中乙同學(xué)得分為，分別計(jì)算為，，時(shí)的概率，乙同學(xué)二輪比賽后得分高于甲同學(xué)，即乙得分為5或6，求解即可.【詳解】（1）設(shè)事件“抽到盒”，事件“抽到盒”，則，“隨機(jī)抽取兩個(gè)球，顏色相同”，，，由全概率公式得，所以甲同學(xué)在一輪比賽中回答第一類問(wèn)題的概率為；（2）由（1）知乙同學(xué)在一輪比賽中回答第一類問(wèn)題的概率為，則回答第二類問(wèn)題的概率為，設(shè)在一輪比賽中乙同學(xué)得分為，則的可能取值為，，，則，，，設(shè)二輪比賽后乙得分為，則.所以乙同學(xué)二輪比賽后得分高于甲同學(xué)的概率為.17．【答案】(1)常數(shù)項(xiàng)為，為第項(xiàng)(2)，，，(3)【詳解】（1）依題意可得第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，所以，即，則，∴或（舍去），所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為，為第項(xiàng).（2）由（1）知，令，則，，，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故有理項(xiàng)為，，，.（3）令，解得，又，∴，∴，即展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為.18．【答案】(1)540種；(2)65種.【詳解】（1）若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，1，4時(shí)，共有種參賽方案；若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，2，3時(shí)，共有種參賽方案；若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為2，2，2時(shí)，共有種參賽方案；該校派出的6名學(xué)生總共有種不同的參賽方案．（2）若有4人選擇化學(xué)競(jìng)賽，則有1種參賽方案；若有3人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的一人有2種選法，則有種參賽方案；若有2人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的兩人各有2種選法，則有種參賽方案；若有1人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的三人各有