8.3.1.2 棱柱、棱錐、棱臺的體積 導(dǎo)學(xué)案-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

8.3.1.2《棱柱、棱錐、棱臺的體積》導(dǎo)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標邏輯推理素養(yǎng)：自主推導(dǎo)棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力，能清晰闡述公式推導(dǎo)的思路和依據(jù)。數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)：熟練掌握棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，準確運用公式進行體積計算，提高運算的準確性和速度，解決多面體體積相關(guān)的實際問題。直觀想象素養(yǎng)：借助模型、圖形和GeoGebra課件等工具，直觀理解體積公式的推導(dǎo)過程，提升空間想象能力，構(gòu)建多面體空間結(jié)構(gòu)與體積計算的關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)：學(xué)會將實際生活中的物體（如建筑物、容器等）抽象為棱柱、棱錐、棱臺等數(shù)學(xué)模型，運用體積公式求解其體積，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提升數(shù)學(xué)建模能力。二、學(xué)習(xí)重難點重點：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式及其應(yīng)用，理解體積公式之間的關(guān)系。難點：棱柱、棱錐、棱臺體積公式的推導(dǎo)過程，尤其是棱臺體積公式的推導(dǎo)，以及在實際問題中靈活運用體積公式和等體積法解決問題。三、知識鏈接回顧正方體、長方體的體積公式：正方體體積（為棱長），長方體體積（分別為長、寬、高）。思考平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程（通過割補法轉(zhuǎn)化為矩形），為理解體積公式推導(dǎo)做鋪墊。四、學(xué)習(xí)過程預(yù)習(xí)檢測：思考并回答棱柱、棱錐、棱臺的體積公式。若回答不準確或不完整，及時回顧預(yù)習(xí)內(nèi)容，明確公式的形式和各參數(shù)含義。合作探究：棱柱的體積：回顧正方體、長方體體積公式，思考一般棱柱體積公式的推導(dǎo)方法。理解祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。借助GeoGebra課件或PPT展示不同棱柱在平行平面間的截面情況，推導(dǎo)得出棱柱體積公式棱柱（為底面積，為高）。計算底面積為，高為的棱柱體積，鞏固對公式的理解。棱錐的體積：觀察GeoGebra課件或PPT展示的底面積和高均相等的兩個三棱錐，思考它們體積的關(guān)系，得出底面積和高均相等的兩個三棱錐體積相等的結(jié)論。理解如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么棱柱的體積是棱錐體積的3倍。推導(dǎo)得出棱錐體積公式棱錐（為底面積，為高）。計算底面積為，高為的棱錐體積，加深對公式的記憶。棱臺的體積：明確棱臺是由棱錐截成的，思考如何利用兩個棱錐的體積差推導(dǎo)棱臺體積公式。觀察PPT展示的棱臺由棱錐截得的圖形，設(shè)棱臺的下底面面積為，高為，上底面面積為，棱錐的高為。利用三角形相似的知識，嘗試推導(dǎo)棱臺體積公式棱臺。計算上底面面積為，下底面面積為，高為的棱臺體積，熟悉公式的應(yīng)用。思考體積公式間的關(guān)系：觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，小組討論它們之間的關(guān)系。從棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，分析當棱臺上底面面積等于下底面面積時，棱臺變成棱柱，體積公式的變化；當棱臺上底面面積為時，棱臺變成棱錐，體積公式的變化。小組代表分享討論結(jié)果，總結(jié)規(guī)律。自我檢測：完成以下題目：三棱錐底面是邊長為的正三角形，高為，求三棱錐的體積。若棱臺的上、下底面面積分別為，，高為，則該棱臺的體積為多少？學(xué)以致用：例題講解：閱讀課本例3：一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是，公共面是邊長為的正方形，求這個漏斗的容積。分析漏斗的容積就是長方體與四棱錐的體積和。計算長方體體積：長方體。計算四棱錐體積：先求底面積，棱錐。得出漏斗容積：。思考在計算組合體體積時，需要注意哪些問題？閱讀課本例4：一個正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，求這個正三棱錐的體積。分析先找到正三棱錐的高，設(shè)為正三角形的中心，連接，。在正三角形中，計算。在中，根據(jù)勾股定理計算。計算底面三角形面積。根據(jù)體積公式計算。思考在計算正三棱錐體積時，關(guān)鍵步驟有哪些？變式練習(xí)：如圖，正方體的棱長為，為線段上的一點，求三棱錐的體積。思考等體積法在求三棱錐體積時的關(guān)鍵是什么？如何選擇合適的頂點和底面？課堂小結(jié)：回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括棱柱、棱錐、棱臺的體積公式、推導(dǎo)過程、公式之間的關(guān)系，以及利用公式求組合體體積和等體積法的應(yīng)用。梳理各知識點之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識體系，明確本節(jié)課的核心內(nèi)容和學(xué)習(xí)要點。布置作業(yè)：必做題：完成人教版數(shù)學(xué)必修二P116練習(xí)；完成對應(yīng)小本課時作業(yè)中的基礎(chǔ)和綜合部分，鞏固棱柱、棱錐、棱臺體積的計算方法。選做題：思考在實際生活中，還有哪些物體可以用棱柱、棱錐、棱臺的體積公式來計算體積，并舉例說明；預(yù)習(xí)圓柱、圓錐、圓臺體積的相關(guān)內(nèi)容，對比它們與棱柱、棱錐、棱臺