函數(shù)的單調(diào)性和最值講義-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪沖刺

2.3函數(shù)的單調(diào)性和最值講義2-高三數(shù)學(xué)2025屆高三三輪沖刺高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)一、函數(shù)單調(diào)性的定義與判定方法（一）定義設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1<f（二）判定方法定義法：設(shè)x1、x2是給定區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，且x1<x2，通過計(jì)算fx1?導(dǎo)數(shù)法：若函數(shù)y=fx在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)f′x>0二、函數(shù)最值的定義與求解方法（一）定義設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的x∈I，都有fx≤M，那么就稱M是函數(shù)y=fx（二）求解方法利用單調(diào)性：先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)在定義域內(nèi)的最值。若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則最小值在定義域的左端點(diǎn)取得，最大值在定義域的右端點(diǎn)取得（若存在）；若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則最大值在定義域的左端點(diǎn)取得，最小值在定義域的右端點(diǎn)取得（若存在）。求導(dǎo)法：步驟一：求函數(shù)y=fx步驟二：令f′步驟三：根據(jù)駐點(diǎn)和函數(shù)的定義域，將定義域分成若干個(gè)區(qū)間，判斷f′步驟四：比較函數(shù)在駐點(diǎn)、定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值，得到函數(shù)的最值。三、常見函數(shù)類型單調(diào)性與最值分析（一）一次函數(shù)y=kx+b當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無最大值和最小值；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，無最大值和最小值。但在給定區(qū)間[a,b]上，當(dāng)k>0時(shí)，最小值為（二）二次函數(shù)y=ax2+對(duì)稱軸為x=?當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)開口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)?∞,?b2a單調(diào)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)?∞,?b2a單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)（三）指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無最大值和最小值；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，無最大值和最小值。但在給定區(qū)間[m,n]上，當(dāng)a>（四）對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，無最大值和最小值；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，無最大值和最小值。但在給定區(qū)間[p,q]（p>0，四、易錯(cuò)點(diǎn)提醒忽略定義域：在求解函數(shù)最值時(shí)，要特別注意函數(shù)的定義域，不能僅根據(jù)單調(diào)性就確定最值，必須考慮定義域的端點(diǎn)值。導(dǎo)數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤：在利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，避免因?qū)?shù)計(jì)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致后續(xù)分析錯(cuò)誤。駐點(diǎn)判斷錯(cuò)誤：求出函數(shù)的駐點(diǎn)后，要正確判斷駐點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，以及駐點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性。五、鞏固練習(xí)求函數(shù)y=x3已知函數(shù)