函數(shù)的單調(diào)性和最值講義-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪沖刺_第1頁
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2.3函數(shù)的單調(diào)性和最值講義2-高三數(shù)學(xué)2025屆高三三輪沖刺高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)一、函數(shù)單調(diào)性的定義與判定方法(一)定義設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有fx1<f(二)判定方法定義法:設(shè)x1、x2是給定區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值,且x1<x2,通過計(jì)算fx1?導(dǎo)數(shù)法:若函數(shù)y=fx在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),當(dāng)f′x>0二、函數(shù)最值的定義與求解方法(一)定義設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:對(duì)于任意的x∈I,都有fx≤M,那么就稱M是函數(shù)y=fx(二)求解方法利用單調(diào)性:先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)在定義域內(nèi)的最值。若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則最小值在定義域的左端點(diǎn)取得,最大值在定義域的右端點(diǎn)取得(若存在);若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,則最大值在定義域的左端點(diǎn)取得,最小值在定義域的右端點(diǎn)取得(若存在)。求導(dǎo)法:步驟一:求函數(shù)y=fx步驟二:令f′步驟三:根據(jù)駐點(diǎn)和函數(shù)的定義域,將定義域分成若干個(gè)區(qū)間,判斷f′步驟四:比較函數(shù)在駐點(diǎn)、定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值,得到函數(shù)的最值。三、常見函數(shù)類型單調(diào)性與最值分析(一)一次函數(shù)y=kx+b當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)在R上單調(diào)遞增,無最大值和最小值;當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)在R上單調(diào)遞減,無最大值和最小值。但在給定區(qū)間[a,b]上,當(dāng)k>0時(shí),最小值為(二)二次函數(shù)y=ax2+對(duì)稱軸為x=?當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)開口向上,在對(duì)稱軸左側(cè)?∞,?b2a單調(diào)遞減,在對(duì)稱軸右側(cè)當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)開口向下,在對(duì)稱軸左側(cè)?∞,?b2a單調(diào)遞增,在對(duì)稱軸右側(cè)(三)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)在R上單調(diào)遞增,無最大值和最小值;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)在R上單調(diào)遞減,無最大值和最小值。但在給定區(qū)間[m,n]上,當(dāng)a>(四)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增,無最大值和最小值;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減,無最大值和最小值。但在給定區(qū)間[p,q](p>0,四、易錯(cuò)點(diǎn)提醒忽略定義域:在求解函數(shù)最值時(shí),要特別注意函數(shù)的定義域,不能僅根據(jù)單調(diào)性就確定最值,必須考慮定義域的端點(diǎn)值。導(dǎo)數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤:在利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值時(shí),要準(zhǔn)確計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),避免因?qū)?shù)計(jì)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致后續(xù)分析錯(cuò)誤。駐點(diǎn)判斷錯(cuò)誤:求出函數(shù)的駐點(diǎn)后,要正確判斷駐點(diǎn)是否在定義域內(nèi),以及駐點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性。五、鞏固練習(xí)求函數(shù)y=x3已知函數(shù)

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