浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每題5分，共計(jì)40分）1.如圖，四邊形中，，則必有（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)，得出四邊形是平行四邊形，由此判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確即可．【詳解】四邊形中，，則且，所以四邊形是平行四邊形；則有，故A錯(cuò)誤；由四邊形是平行四邊形，可知是中點(diǎn)，則，B正確；由圖可知，C錯(cuò)誤；由四邊形是平行四邊形，可知是中點(diǎn)，，D錯(cuò)誤．故選：B．2.已知單位向量，的夾角為，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分析求解.【詳解】由題意可知：，，，所以.故選：B.3.已知點(diǎn)是的重心，則（）A. B.C D.【正確答案】D【分析】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，點(diǎn)是的重心，則P在上，且，由此可知A，B，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D4.已知中的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】首先由余弦定理求，再根據(jù)正弦定理求值.【詳解】由余弦定理可知，即，解得：或（舍）由正弦定理可知.故選：A本題考查正余弦定理解三角形，重點(diǎn)考查兩個(gè)定理的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.5.已知向量均為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將條件等式變形，再結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，兩邊平方可得，即，所以，，又，所以與的夾角為.故選：C6.在中，若，則形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【正確答案】D【分析】利用余弦定理將化簡(jiǎn)為，從而可求解.【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，即，則為直角三角形；當(dāng)時(shí)，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.7.若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則△ABC的形狀為（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形【正確答案】B【分析】由平面的線性運(yùn)算，把給定的等式轉(zhuǎn)化為用含的邊的向量等式，再由模的意義即可求解.【詳解】在中，，所以，所以，即，即，可得，因與均為非零向量，則，即，是直角三角形.故選.8.已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，結(jié)合圖象可得，從而可得，接下來方法一，直接對(duì)進(jìn)行平方化簡(jiǎn)，由二次函數(shù)最值可解；方法二，由三點(diǎn)共線基本定理，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理可解.【詳解】和相互垂直，則，則，結(jié)合圖象，，則，因?yàn)楹愠闪?，則，即，則，法（一）：對(duì)稱軸時(shí)：，即法（二）：，因?yàn)椋韵蛄康慕K點(diǎn)共線（起點(diǎn)重合），則的面積，，所以.故選:．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，，則，因?yàn)楹愠闪?，則.二、選擇題（本題共3個(gè)小題，每題6分，共計(jì)18分）9.已知向量，則（）A.若與垂直，則 B.若，則的值為C.若，則 D.若，則與的夾角為【正確答案】BC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，模的坐標(biāo)表示，以及向量夾角的公式，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，?duì)于A中，若與垂直，可得，解得，所以A不正確；對(duì)于B中，若，可得，解得，即，則，所以B正確；對(duì)于C中，若，可得，則，所以，所以C正確；對(duì)于D中，若，可得，則，此時(shí)，所以D錯(cuò)誤故選：BC.10.若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量共線定理以及基底的概念逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，則與為共線向量，不能作為平面向量的基底；對(duì)于B，，則與為共線向量，不能作為平面向量的基底；對(duì)于C，，則與為共線向量，不能作為平面向量基底；對(duì)于D，若存在實(shí)數(shù)使得，則，無解，所以與不共線，可以作為平面的基底，故選：ABC11.在中，角所對(duì)的邊分別是，下列命題正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則此三角形有兩解C.若，則為等腰三角形D.若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，由可得，利用數(shù)量積的定義化為，從而得到，知為等腰三角形；對(duì)于B，由余弦定理可得到關(guān)于的方程，解得有兩解，從而此三角形有兩解；對(duì)于C，用正弦定理將條件化為，即，然后得到或，由此即可進(jìn)一步判斷；對(duì)于D，化簡(jiǎn)為，然后證明內(nèi)切圓半徑，從而得到.【詳解】對(duì)于A，若，則，從而，即，即，故，從而為等腰三角形，A正確；對(duì)于B，若，則，而，即，解得或，故此三角形有兩解，B正確；對(duì)于C，注意到等價(jià)于，而這又等價(jià)于，所以或，也就是為等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知條件為，且，而等價(jià)于，即，對(duì)該等式通分得到，即，即.這即為，由知該等式即為.從而條件等價(jià)于且，從而該三角形內(nèi)切圓半徑.又由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，故該三角形的內(nèi)切圓面積.驗(yàn)證知當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以該三角形的內(nèi)切圓面積的最大值是，D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出內(nèi)切圓的半徑，由此即可順利得解.三、填空題（本題共3個(gè)小題，每題5分，共計(jì)15分）12.向量在向量上的投影向量為________．【正確答案】【分析】由投影向量的坐標(biāo)計(jì)算公式代入即可求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案為.13.鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點(diǎn)、、處分別測(cè)塔頂?shù)难鼋菫?、、，且m，則文星塔高為______m.【正確答案】【分析】設(shè)建筑物的高為，用表示、、，利用結(jié)合余弦定理求出的值，即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)建筑物的高為，則，，，由余弦定理可得，，因?yàn)?，故，即，可?故答案為.14.如圖，半徑為1的扇形中，是弧上的一點(diǎn)，且滿足分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為________．【正確答案】1【分析】設(shè)，表示出即可求解.【詳解】設(shè)，由題意，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，且.故1.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到，由此即可順利得解.四、解答題（17題10分，18至22題每題12分，共計(jì)70分）15.設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．（1）若，求證：三點(diǎn)共線；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）要證明三點(diǎn)共線，即證明三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量共線即可.（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.【小問1詳解】由，得,,所以，且有公共點(diǎn)B，所以三點(diǎn)共線.【小問2詳解】由與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個(gè)非零向量，因此，解得，或，實(shí)數(shù)k的值是16.如圖所示，在平面四邊形中，，（1）求的值.（2）若為銳角，，求角.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理直接可求；（2）由正弦定理求出，再根據(jù)為銳角，確定角即可.【小問1詳解】在中，由余弦定理可得【小問2詳解】在中，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角，所以17.如圖，已知點(diǎn)是邊長為1的正三角形的中心，線段經(jīng)過點(diǎn)，并繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊于點(diǎn)，設(shè)，其中．（1）求的值；（2）求面積的最小值，并指出相應(yīng)的的值．【正確答案】（1）（2）時(shí)，取得最小值．【分析】（1）由正三角形的中心的性質(zhì)，有，又三點(diǎn)共線，所以；（2）面積表示為的函數(shù)，通過換元和基本不等式，求最小值.【小問1詳解】延長交與，由是正三角形的中心，得為的中點(diǎn)，則，由，，得，又三點(diǎn)共線，所以，即．【小問2詳解】是邊長為1的正三角形，則，．由，則，，，解得，．設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．方法點(diǎn)睛：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．求算式的限值范圍，根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.18.在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知，．（1）若的面積等于，求的周長；（2）若，求．【正確答案】（1）6；（2）.【分析】（1）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式求得，結(jié)合已知條件即可求得三角形周長；（2）根據(jù)已知條件求得，結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而解得，再求即可.【小問1詳解】由余弦定理得，，整理得：，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得；聯(lián)立方程組，即，解得（舍去）或，所以的周長為．【小問2詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，?lián)立方程組，則，解得（舍去）或，則，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，故?19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，（1）若，①求；②若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；（2）若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．【正確答案】（1）①；②（2）.【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來求解；②利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案；（2）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.【小問1詳解】①由正弦定理得，即，所以，又，所以；②由①，所以三角形的三個(gè)角都小于，則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，設(shè)，由得：，整理得，則；【小問2詳