浙江省杭州市康橋區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附答案）

浙江省杭州市康橋區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】求出集合，利用集合的運算即可求解.【詳解】因為集合，所以或，又，所以.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足（i虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由復(fù)數(shù)除法運算結(jié)合復(fù)數(shù)模長公式計算即可求解.【詳解】由題得，所以.故選：C3.如圖，在正六邊形中，點滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可得答案.【詳解】由題設(shè)及正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知，，且，，又，所以.故選：B4.已知，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)條件可得，計算的值，結(jié)合二倍角公式可得結(jié)果.詳解】∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，故，∵，∴，∴.故選：C.5.下列說法正確的是（）A.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形C.有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D.用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺【正確答案】C【分析】利用棱柱的定義判斷ABC；利用棱臺的定義判斷D.【詳解】對于A，正六棱柱正對的兩個側(cè)面平行，但它們不是正六棱柱的底面，A錯誤；對于B，底面鄰邊不等的長方體的相鄰兩個側(cè)面不全等，B錯誤；對于C，由棱柱的定義知，C正確；對于D，當(dāng)截面與棱錐的底面不平行時，棱錐底面與截面之間的部分不是棱臺，D錯誤.故選：C6.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用正切的兩角差公式化為角正切，再利用二倍角公式也把所求的式子化為角正切，從而得解.【詳解】，.故選：C.7.中，，，是外接圓圓心，是的最大值為（）A.1 B. C.3 D.5【正確答案】C【分析】先利用正余弦定理和向量的數(shù)量積求得的代數(shù)式，進(jìn)而求得其最大值.【詳解】過點作、，垂足分別為、，如圖，因為是外接圓圓心，則、分別為、的中點，在中，，所以，即，即，，同理，則，由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最大值為.故選：C.8.已知函數(shù)的定義域均為為奇函數(shù)，且，則（）A.不為偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)已知等式關(guān)系結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對稱性即可求得函數(shù)均是周期為4的周期函數(shù)，利用周期性與對稱性計算，逐項判斷即可得答案【詳解】因為，所以，與聯(lián)立可得，即的圖象關(guān)于直線對稱，又為奇函數(shù)，則，所以，即，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，因為，所以也是周期為4的周期函數(shù)，因為，，所以，即，從而為偶函數(shù)，故A錯誤．又為奇函數(shù)，則，即，所以，故，故C錯誤．由，得，則不可能為奇函數(shù)，故B錯誤．可求，所以，故D正確．故選D．方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，，則（）A.的最大值為0 B.的最小值為4C.的最小值為9 D.的最大值為【正確答案】ABD【分析】利用基本不等式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)判斷A，利用基本不等式結(jié)合指數(shù)的運算性質(zhì)判斷B，利用基本不等式中“1”的代換判斷C，先對原式平方，再結(jié)合重要不等式與給定條件判斷D即可.【詳解】因為，，，所以由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，下面，我們開始分析各個選項，對于A，由對數(shù)的運算性質(zhì)得，則的最大值為0，故A正確，對于B，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時，則的最小值為4，故B正確，對于C，因為，所以，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時解得，得到，則的最小值不為9，故C錯誤，對于D，我們對進(jìn)行平方，得到，由重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時解得，則，故，得到，而，，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD10.下列命題中，正確的是（）A.在中，若，則B.在銳角中，不等式恒成立C.在中，若，則必是等腰直角三角形D.在中，若，，則必是等邊三角形【正確答案】ABD【分析】由正弦定理可判斷A；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；由正弦定理邊化角判斷C，利用余弦定理可判斷D.【詳解】對于A，在中，若，則，由正弦定理可得，A正確；對于B，銳角中，，則，故，B正確；對于C，在中，若，則，即得，故或，故或，即是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D，，，則，故，，結(jié)合，可知是等邊三角形，D正確，故選：ABD11.已知復(fù)數(shù)，則下列命題一定成立的有（）A.若，則 B.若，則C. D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運算，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算及性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】設(shè)，則.對于A：，若，則，所以，即，故A一定成立；對于B：，若，則①，，同理，若，則需滿足且，與①式不同，故B不一定成立；選項C：，，所以，故C一定成立；選項D：②，，與②式不同，故D不一定成立.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為________．【正確答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為．故答案為.13.在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為_________.【正確答案】【分析】根據(jù)正弦定理和圖形關(guān)系得到，然后解不等式即可.【詳解】在中，，，若有兩解，必須滿足的條件為：，即，故答案：14.已知平面向量，，與的夾角為，且（），則t的最小值是__________.【正確答案】【分析】作半徑為2的圓O，圓O上取三點，，，A在兩點的優(yōu)弧上，，這樣，，滿足與的夾角為，然后把模式平方求得，可得最小值．【詳解】如圖，不妨作圓O半徑為2，在圓O，設(shè)，，，，，設(shè)，，則，，由得，因為，所以，時等號成立．故．四、解答題：本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）若向量與共線，求實數(shù)的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)運算可知，即可求出參數(shù)值；（2）利用兩向量夾角為銳角的充要條件是且與不共線，從而可得不等式組求解即可.【小問1詳解】由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.【小問2詳解】若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實數(shù)的取值范圍為且16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若方程在區(qū)間上有兩個解，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）應(yīng)用二倍角正余弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由題設(shè)有，結(jié)合的性質(zhì)求各單調(diào)區(qū)間的值域，由方程解的個數(shù)求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，所以其最小正周期為，令，，可得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】在上有，對于在上單調(diào)遞減，對應(yīng)值域為；在上單調(diào)遞增，對應(yīng)值域為；所以方程在區(qū)間上有兩個解，只需.17.設(shè)向量，滿足，，．（1）求的值；（2）已知與的夾角的余弦值為，求的值．【正確答案】（1）；（2）6【分析】（1）利用模長關(guān)系即可得出向量，的數(shù)量積，可求得的值；（2）根據(jù)向量夾角計算公式可得，解方程即可得.【小問1詳解】由可得，所以；因此，可得.【小問2詳解】易知而所以,即，也即；又∵，解得．18.在中，角所對的邊分別為.（1）若，求的面積S；（2）若角C的平分線與的交點為，求的最小值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，把化成，根據(jù)正弦定理可得，在根據(jù)余弦定理，可得角，再結(jié)合余弦定理，表示出，可得的值，進(jìn)而利用可求面積.（2）根據(jù)，結(jié)合可得：，再結(jié)合基本不等式，可求的最小值.【小問1詳解】由，得由正弦定理得所以，因為，所以.在中，，由余弦定理，得，解得.所以.即的面積S為.【小問2詳解】因為為角C平分線，，所以.在中，，所以，由，得，所以.因為，所以由基本不等式，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最小值為.19.已知函數(shù)（為常數(shù)，），且是偶函數(shù).（1）求的值；（2）若函數(shù)，問是否存在正實數(shù)，使關(guān)于的不等式對恒成立，若存在，求出的范圍；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運算求解即可；（2）整理可得，換元令，根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0可得，且，對對數(shù)的底數(shù)分類討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析求解.【小問1詳解】由題意可知：函數(shù)的定義域為，若函數(shù)是偶函數(shù)，則，又因為，即，結(jié)合x的任意性可得，