黑龍江省牡丹江市2024-2025學年高一下學期第一次月考數(shù)學檢測試題（附答案）

黑龍江省牡丹江市2024-2025學年高一下學期第一次月考數(shù)學檢測試題考生注意1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)城書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若，則，模長相等，但它們的方向可以不同，故不一定成立，故得不到，若，則，故“”是“”必要不充分條件，故選：B.2已知向量，，若向量，則（）A. B. C.8 D.【正確答案】A【分析】根據(jù)平面向量垂直的充要條件及平面向量數(shù)量積的坐標表示計算即可.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.3.在三角形中，，，，則（

）A. B. C.或 D.或【正確答案】B【分析】由正弦定理求解出角，然后由內(nèi)角和定理求解角即可.【詳解】由可得：，所以，又，所以，結(jié)合內(nèi)角和定理，所以.故選：B4.已知向量，滿足，則（）A.0 B.2 C. D.【正確答案】B【分析】把兩邊同時平方，結(jié)合向量的模長可得結(jié)果.詳解】由得，，∵，∴，即.故選：B.5.已知，，則的值為（）A.3 B.5 C.4 D.6【正確答案】B【分析】應(yīng)用向量的減法運算得出，再結(jié)合數(shù)量積的坐標公式求解即可.【詳解】因為，，則，所以.故選：B.6.已知向量，則下列向量與平行的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)已知向量、求出的坐標，再依據(jù)兩向量平行的坐標關(guān)系來判斷選項中的向量是否與平行.【詳解】因為，所以．若向量滿足，則該向量與平行，檢驗易知D符合題意．故選：D．7.四邊形是正方形，延長至，使得，若點為的中點，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】因為點為的中點，所以，又因為，所以，即可求出的值.【詳解】如下圖，因為點為的中點，所以，又因為，所以，則，所以，則.故選：D.8.已知的外接圓圓心為O，且，，點D是線段BC上一動點，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意分析可知：O為的中點，，，建系，根據(jù)向量的坐標運算可得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.【詳解】因為，可知O為的中點，又因為O為的外接圓圓心，則，且，即，可知為等邊三角形，即，如圖，建立平面直角坐標系，則，設(shè)，可得，則，可知當時，取到最小值.關(guān)鍵點點睛：根據(jù)中線性質(zhì)分析可知O為的中點，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.若與都是單位向量，則B.直角坐標平面上的軸、軸都是向量C.若用有向線段表示的向量與不相等，則點與不重合D.海拔、溫度、角度都不是向量【正確答案】CD【分析】由向量的有關(guān)概念判斷可得.【詳解】選項A，由于單位向量長度相等，但是方向不確定，故A錯誤；選項B，由于只有方向，沒有大小，故軸，軸不是向量，故B錯誤；選項C，由于向量起點相同，但長度不相等，所以終點不同，C正確；選項D，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量，D正確．故選：CD10.已知向量，則下列說法正確的是（）A. B.與的夾角為C.若，則 D.存在，使得【正確答案】ACD【分析】對于A，由向量模長坐標計算公式可得答案；對于B，由向量夾角計算公式可得答案；對于C，由向量垂直坐標表示可得答案；對于D，由向量垂直定義可得答案.【詳解】對于A，由題可知，故A項正確；對于B，，故與的夾角為，故B項錯誤；對于C，若，則，故C項正確；對于D，若，則，則當時，可以使，故D正確故選：ACD11.在邊長為3的正方形中，分別是邊上的動點（含端點），且，則的取值可以是（）A.12 B.11 C.10 D.9【正確答案】ABC【分析】通過建系，設(shè)出點，通過計算得，結(jié)合利用基本不等式和三角形三邊關(guān)系定理即可求得的范圍即可判斷.【詳解】如圖，以為坐標原點，射線的方向分別為軸?軸的正方向，建立平面直角坐標系.則.設(shè)，其中，因，則則，.因為，故得，解得，當且僅當時，等號成立.又，當且僅當點或點與點重合時等號成立，故得，即，又，所以都滿足其范圍，不滿足其范圍，故ABC正確，D錯誤.故選：ABC.關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是建立直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，從而結(jié)合基本不等式即可得解.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，，則與的夾角為_______．【正確答案】【分析】根據(jù)已知及向量的夾角公式求夾角的余弦值，進而確定角的大小.【詳解】設(shè)與的夾角為，因為，，，所以，因為，所以，即與的夾角為．故13.在中，角所對的邊分別為，且，則__________．【正確答案】【分析】利用余弦定理、正弦定理角化邊求解即得.【詳解】在中，由及余弦定理，得，由正弦定理得.故14.已知，，且.若，則當時，的取值范圍為______.【正確答案】【詳解】因為，所以，又，.故可以建立直角坐標系，如圖所示：設(shè)，，則，，在線段上取點，因為，，三點共線，故存在，使得，又，取，則在以為圓心，以1為半徑的圓上..因為直角斜邊上的高為：，所以當，在，之間時，取得最小值，為；當與重合，點坐標為時，取得最大值，為.所以.故答案為.知識點點睛：在同一平面內(nèi)有四個點（與四點不共線），則存在實數(shù)，使得，且三點共線.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，且與的夾角為120°，求：（1）；（2）若向量與平行，求實數(shù)的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用平方的方法來求得正確答案.（2）根據(jù)向量平行列方程來求得.【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】由于向量與平行，所以存在實數(shù)，使得，所以，解得.16.在中，分別是角的對邊.若.（1）求的值；（2）求邊長的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理及二倍角公式計算可得；（2）利用余弦定理計算可得.【小問1詳解】在中，由正弦定理，，，可得，因為，所以，即，顯然，解得．【小問2詳解】在中，由余弦定理，得，解得或,當時，又，所以，又，，所以，則，與矛盾，所以舍去；所以．17.如圖，在中，點、滿足，，點滿足，為中點，且、、三點共線.（1）用、表示；（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用平面向量的線性運算可得出關(guān)于、的表達式，再由即可得解；（2）利用平面向量的共線定理到，進而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解.【小問1詳解】因為，則，所以，因為為的中點，故.【小問2詳解】因為、、三點共線，則，，，所以存在，使得，即，所以，又因為，且、不共線，所以，則，所以，故.18.已知，．（1）當x，y為何值時，與共線？（2）是否存在實數(shù)x，y，使得，且？若存在，求出xy的值；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1），y為任意實數(shù)（2）存在，或．【分析】（1）根據(jù)共線列方程，解方程即可；（2）根據(jù)垂直和模相等列方程，解方程即可.【小問1詳解】因為與共線，所以存在實數(shù)，使得，所以，解得，所以當，y為任意實數(shù)時，與共線．【小問2詳解】由．①由．②聯(lián)立①②解得或，所以或．所以存在實數(shù)x，y，使得，且，此時或．19.正等角中心（positiveisogonalcentre）亦稱費馬點，是三角形的巧合點之一．“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學家托里拆利給出了解答，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，（1）若，①求；②若，設(shè)點為的費馬點，求；（2）若，設(shè)點為的費馬點，，求實數(shù)的最小值．【正確答案】（1）①；②；（2）．【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得；②利用費馬點的意義，結(jié)合三角形面積公式及數(shù)量積的定義計算即得.（2）利用三角恒等變換求出角，借助費馬點，利用余弦定理、勾股定理建立關(guān)系，再利