專題06 線段與角的等量代換模型（解析版）

專題06線段與角的等量代換模型等量代換是數(shù)學變形的最常見方式之一,它以處理問題步驟簡捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運用它來解決中學代數(shù)和幾何的有關問題（本專題主要涉及線段與角度的代換）,還可以避免繁雜運算,具有計算量小的獨特優(yōu)點,因此有著廣泛的應用。模型1.

線段與角度的等量代換模型【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學幾何中常用的一種推理證明方法，應用于角度或線段相等關系的推導。1）線段的等量代換條件：如圖，已知：EG=HF；結論：EH=GF.2）角度的等量代換（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結論：∠1=∠2.條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代換我們還可以推導三個重要的性質：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補角相等；③對頂角相等；例1．（2023·河北石家莊·七年級?？计谥校┤鐖D，AB＝CD，那么AC與BD的大小關系是（

）A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能確定【答案】B【分析】由題意可知AB=CD，根據(jù)等式的基本性質，兩邊都減去BC，等式仍然成立．【詳解】根據(jù)題意和圖示可知AB=CD，而BC為AB和CD共有線段，故AC=BD，故選：B．【點睛】注意根據(jù)等式的性質進行變形，讀懂題意是解題的關鍵．例2．（2023·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點C是AB的中點，點D是BC的中點，現(xiàn)給出下列等式：①CD=AC-DB，②CD=AB，③CD=AD-BC，④BD=2AD-AB．其中正確的等式編號是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段中點的性質，可得CD=BD=BC=AB，再根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】∵點C是AB的中點，∴AC=CB．∴CD=CB-BD=AC-DB，故①正確；∵點D是BC中點，點C是AB中點，∴CD=CB，BC=AB，∴CD=AB，故②正確；∵點C是AB的中點，AC=CB．∴CD=AD-AC=AD-BC，故③正確；∵AD=AC+CD，AB=2AC，BD=CD，∴2AD-AB=2AC+2CD-AB=2CD=2BD，故④錯誤．故正確的有①②③．故選B.【點睛】此題考查的是兩點間的距離的計算，掌握線段中點的概念和性質、靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．例3．（2023.湖南省婁底市七年級期末）如圖，點，分別是線段上兩點（，），用圓規(guī)在線段上截取，，若點與點恰好重合，，則為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，，再由即可得到答案．【詳解】解：，，點E與點F恰好重合，∴，，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了與線段中點有關的計算，解題的關鍵在于能夠根據(jù)題意得到，．例4．（2023·湖北隨州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，D、E順次為線段AB上的兩點，AB＝19，BE－DE＝5，C是AD的中點，則AE－AC的值為．【答案】7【分析】由AB=19，得到BE=19?AE，由BE?DE=5，得到DE=14?AE，再根據(jù)線段的和差及中點的定義即可得到結論．【詳解】解：∵AB=19，設AE=m，∴BE=AB?AE=19?m，∵BE?DE=5，∴19?m?DE=5，∴DE=14?m，∴AD=AB?BE?DE=19?(19?m)?(14?m)=19?19+m?14+m=2m?14，∵C為AD中點，∴AC=AD=×(2m?14)=m?7，∴AE?AC=m-(m-7)=7，故答案為：7．【點睛】此題考查了線段的和差問題，熟練掌握線段中點的定義和線段的和差關系是解本題的關鍵．例5．（2023秋·重慶七年級課時練習）如圖所示，點A、O、E在一條直線上，，那么下列各式中錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)角的和與差進行比較，，即；利用，選項D正確，再減去共同角，可得，由此得到正確選項．【詳解】∵∴即，所以A正確；∵∴，所以D正確；∴即，所以B正確．故選C．【點睛】考查角的和與差的知識點，學生要掌握等量代換的方法找到相等的角，熟悉了解角的和與差是解題的關鍵．例6．（2023春·天津南開·七年?？计谥校┤鐖D所示，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的度數(shù)，然后根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，求出的度數(shù)．例7．（2023浙江省紹興市七年級期末）如圖，若，則的理由是（）A．同角的余角相等B．同角的補角相等C．對頂角相等D．角平分線的定義【答案】A【分析】根據(jù)同角的余角相等，即可求解．【詳解】解：∵∴∴(同角的余角相等)，故選：A．【點睛】本題考查了余角的性質，角平分線的定義、對頂角相等，掌握同角的余角相等是解題的關鍵．例8．（2023春·浙江·七年級專題練習）試說明“若，，，則”是真命題．以下是排亂的推理過程：①因為（已知）；②因為，（已知）；③所以，（等式的性質）；④所以（等量代換）；⑤所以（等量代換）．正確的順序是(

)A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④【答案】C【分析】寫出正確的推理過程，進行排序即可．【詳解】證明：因為，（已知），所以，（等式的性質）；因為（已知），所以（等量代換）．所以（等量代換）．∴排序順序為：②→③→①→⑤→④．故選C．【點睛】本題考查推理過程．熟練掌握推理過程，是解題的關鍵．例9．（2023·云南昆明·七年級?？计谀┤鐖D，和都是直角．下列結論：①；②；③若平分，則平分；④的平分線和的平分線是同一條射線．其中正確的是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)角的計算和角平分線性質，對四個結論逐一進行計算即可．【詳解】解：①∵，∴，，∴；故①正確．②∵，故②正確；③∵，平分，∴，則，∴平分；故③正確．④∵，（已證）；∴的平分線與的平分線是同一條射線．故④正確．故選：A．【點睛】此題主要考查學生對角的計算，角平分線的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎題．例10．（2023.廣東省佛山市七年級期末）已知：（1）如圖1，嗎？請說明理由．（2）如圖2，直線平分，直線平分嗎？請說明理由．（3）若，，求的大?。敬鸢浮浚?），見解析；（2）直線平分，見解析；（3）150°或110°【分析】（1）根據(jù)角的和差關系可得結論；（2）根據(jù)角平分線的定義求解即可；（3）分在內部和外部兩種情況進行求解即可．【詳解】解：（1）．理由如下：即（2）直線平分．理由如下：，又直線平分即直線平分．（3），，①當在內部時，如圖所示：②當在外部時，如圖所示：綜上所述，的度數(shù)為150°或110°．【點睛】本題考查了解度的計算，角平分線的定義，正確識別圖形是解題的關鍵．例11．（2023.山東七年級期末）如圖，已知，平分，平分．(1)求的度數(shù)；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)

【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義結合圖形，可得，進而即可求解；（2）根據(jù)題意可得，進而根據(jù)角平分線的定義即可求解；（3）同（2）的方法，即可求解．【詳解】（1）解：，平分，平分，；（2），，平分，；（3），，平分，，．【點睛】本題考查了幾何圖形的角度計算，角平分線的定義，數(shù)形結合，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．例12．（2023浙江七年級期末）如圖，．(1)已知過直線上點有，條射線，，求的度數(shù)；(2)若直線與直線相交于點，求圖中各銳角的度數(shù)．【答案】(1)(2)圖中各銳角的度數(shù)為【分析】（1）根據(jù)得出，根據(jù)圖形可得，，，即可求解；（2）根據(jù)，得出，進而即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，．∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．∴圖中各銳角的度數(shù)為．【點睛】本題考查了垂線、對頂角、鄰補角，解決本題的關鍵是掌握垂線、對頂角、鄰補角定義．課后專項訓練1．（2023·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上有C，D兩點，其中D是BC的中點，則下列結論一定正確的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB【答案】D【分析】根據(jù)線段的中線性質求解即可；【詳解】∵D是BC的中點，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了線段中線的性質應用，準確分析是解題的關鍵．2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）點C、D在線段AB上，若點C是線段AD的中點，2BD>AD，則下列結論正確的是(

).A．CD<AD－BDB．AB>2BD C．BD>AD D．BC>AD【答案】D【分析】根據(jù)點C是線段AD的中點，可得AD=2AC=2CD，再根據(jù)2BD>AD，可得BD>AC=CD，再根據(jù)線段的和差，逐一進行判即可．【詳解】∵點C是線段AD的中點，∴AD=2AC=2CD，∵2BD>AD，∴BD>AC=CD，A.CD=AD-AC>AD－BD，該選項錯誤；B.由A得AD－BDCD，則ADBD+CD=BC,則AB=AD+BDBC+BD2BD，該選項錯誤；C.由B得AB2BD，則BD+AD2BD,則ADBD,該選項錯誤；D.由A得AD－BDCD，則ADBD+CD=BC,該選項正確故選D．【點睛】本題考查的是兩點間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關系是解答此題的關鍵．3．（2023.河南鶴壁七年級期末）如圖所示，B、C是線段AB上任意兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若，，則線段AD的長是（

）A．15 B．17 C．19 D．20【答案】D【分析】由M是AB的中點，N是CD的中點，可得先求解從而可得答案.【詳解】解：M是AB的中點，N是CD的中點，故選D【點睛】本題考查的是線段的中點的含義，線段的和差運算，熟練的利用線段的和差關系建立簡單方程是解本題的關鍵.4．（2023秋·湖南常德·七年級校聯(lián)考期末）已知，點C在直線AB上，ACa，BCb，且a≠b，點M是線段AB的中點，則線段MC的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于點B的位置以及a、b的大小沒有確定，故應分四種情況進行討論，即可得到答案．【詳解】由于點B的位置不能確定，故應分四種情況討論：①當a＞b且點C在線段AB上時，如圖1．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵點M是AB的中點，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．②當a＞b且點C在線段AB的延長線上時，如圖2．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵點M是AB的中點，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．③當a＜b且點C在線段AB上時，如圖3．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵點M是AB的中點，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．④當a＜b且點C在線段AB的方向延長線上時，如圖4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．∵點M是AB的中點，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．綜上所述：MC的長為或（a＞b）或（a＜b），即MC的長為或．故選D．【點睛】本題考查了中點的定義，線段之間的和差關系，兩點間的距離，掌握線段間的和差關系與分類討論的數(shù)學思想是解題的關鍵．5．（2023.湖南省婁底市七年級期末）如圖所示，已知，，則∠AOD的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)∠AOC和∠BOC的度數(shù)得出∠AOB的度數(shù)，從而得出答案．【詳解】解：∵∠AOC=80°，∠BOC=30°，∴∠AOB=80°－30°=50°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+80°=130°，故選A【點睛】本題主要考查的是角度的和差計算，屬于基礎題型，理解各角之間的關系是解題的關鍵．個角互為補角．6．（2023秋·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，已知∠AOB=162°，∠AOC=∠BOD=90°，則∠COD的度數(shù)是（）A．72° B．36° C．18° D．9°【答案】C【詳解】∵∠AOB=162°，∠AOC=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=72°，∴∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-72°=18°，故選C.7．（2023春·浙江衢州·九年級?？茧A段練習）如圖，點在直線上，，若，則的大?。?/p>

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可求出的度數(shù)，根據(jù)點在直線上，即，即可求解．【詳解】解：，若，∴，∵點在直線上，即，∴，故選：．【點睛】本題主要考查余角、補角的計算，掌握垂直的性質，平面的度數(shù)及計算方法是解題的關鍵．8．（2023秋·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，、為內的兩條射線，平分，，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)，，求出，再根據(jù)角平分線的定義求出即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵平分，∴，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了角平分線的有關計算，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的定義，根據(jù)題意求出．9．（2023春·云南昭通·七年級?？计谀⒁桓比前宸謩e按圖中位置擺放，下列說法正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角的余角相等解題即可．【詳解】如圖，∵，∴，故選A．

【點睛】本題考查余角的性質，掌握同角或等角的余角相等是解題的關鍵．10．（2023秋·福建廈門·七年級?？计谀┫铝型评碚_的是（

）A． B．C．， D．與互余，與互余與互余【答案】C【分析】根據(jù)題意逐項推理判斷即可．【詳解】解：A、當，，時，，但，，故A選項錯誤；B、當，，時，，但，，故B選項錯誤；C、∵，又∵，由等式的基本性質可知，，∴，故C選項正確；D、與互余，與互余∴，，∴，故D選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查同角的余角相等，及等式的基本性質，熟練的運用等式的基本性質將等式變形是解決問題的關鍵．11．（2023秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，下列說法中錯誤的是（

）A．與相等B．與互余C．與互余D．與互余【答案】D【分析】根據(jù)三角形內角和定理和余角的定義逐一判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，∴與相等，與互余，與互余，與相等，∴只有D選項說法錯誤，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，余角的定義，靈活運用所學知識是解題的關鍵．12．（2023·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點；第二次操作：分別取線段和的中點；第三次操作：分別取線段和的中點；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，分別為的中點，求出的長度，再由的長度求出的長度，找到的規(guī)律即可求出的值.【詳解】解：∵，分別為的中點，∴，∵分別為的中點，∴，根據(jù)規(guī)律得到，∴，故選A.【點睛】本題是對線段規(guī)律性問題的考查，準確根據(jù)題意找出規(guī)律是解決本題的關鍵，相對較難.13．（2023春·四川成都·七年級?？计谥校┮阎膬蛇吇ハ啻怪?，且，則的度數(shù)為．【答案】70°或【分析】若的兩邊互相垂直，則，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示：若的兩邊互相垂直，則∵時，；時，；故答案為：70°或．【點睛】本題考查了垂直的定義．分類討論畫出滿足題意的圖形是解題關鍵．14．（2023秋·山東青島·七年級?？计谀┤鐖D（射線在內部），與都是直角，則下列說法正確的是．（填序號）①若，則;②圖中共有5個角;③;

④與的和不變;⑤時，平分．【答案】①③④⑤【分析】①先根據(jù)余角的定義求出，再根據(jù)角的和差關系即可判定；②根據(jù)角的定義數(shù)出圖中的角即可判定；③根據(jù)同角的余角相等即可求解；④根據(jù)角的和差關系即可判定；⑤先根據(jù)余角的定義求出°即可判定．【詳解】解：∵與都是直角，∴若，則，則，故①正確；圖中，，，，，共6個角，故②錯誤；∵，∴，故③正確；∵，∴與的和不變，故④正確；∵，∴，∵，∴，即平分，故⑤正確．說法正確的是①③④⑤．故答案為：①③④⑤．【點睛】本題考查了余角性質，以及角的計算，屬基礎題，準確識圖是解題的關鍵．15．（2023春·上海長寧·七年級校聯(lián)考期末）如圖，，比大，與互余，則．

【答案】【分析】設，表示出，根據(jù)與互余，，得出關于的等式，求解即可．【詳解】解：設，比大，，與互余，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了互余的定義，一元一次方程，解題的關鍵是利用互余建立一元一次方程求解．16．（2023春·浙江七年級期中）如圖所示，與都是直角，那么，這個結論可以概括為．【答案】同角的余角相等【分析】根據(jù)互余的知識點計算即可；【詳解】∵與都是直角，∴，∴，理由：同角的余角相等．故答案是：同角的余角相等．【點睛】本題主要考查了同角的余角的相等知識點，準確分析是解題的關鍵．17．（2023春·浙江七年級期中）如圖所示，，，則．【答案】68【分析】直接根據(jù)角的和差關系進行求解即可．【詳解】解：∵，，又，，∴．故答案為68．【點睛】本題主要考查互余角，關鍵是根據(jù)“同角的余角相等”可得角的等量關系，然后求解即可．18．（2023秋·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C，D在線段AB上，且，點E是線段AB的中點．若，則CE的長為．【答案】2【分析】根據(jù)線段中點可得，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解求出AB的長；再求出AE的長，最后．【詳解】解：∵，點E是線段AB的中點，∴，∴，則．故答案為：2．【點睛】本題考查了線段的和差，兩點間的距離，主要利用線段中點的性質，比較簡單，準確識圖是解題的關鍵．19．（2023·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期末）如圖，AB=24，點C為AB的中點，點D在線段AC上，且AD：DC=1：2，則DB的長度為．【答案】20【分析】根據(jù)線段中點的定義可得BC=AB，再求出AD，然后根據(jù)DB=AB-AD代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【詳解】∵AB=24，點C為AB的中點，∴AC=BC=AB=×24=12，∵AD：CD=1：2，∴AD=×12=4，∴DB=AB-AD=24-4=20．故答案為20．【點睛】本題考查了兩點間的距離，主要利用了線段中點的定義，以及數(shù)形轉化的思想．20．（2023.浙江七年級期末）如圖，C，D是線段AB上的兩點，且，已知圖中所有線段的長度之和為81，則的長為．

【答案】9【分析】根據(jù)，可得，，圖中所有的線段有：，，，，，，再根據(jù)所有線段的長度之和為81，列出等式求出，問題隨之即可作答．【詳解】∵，∴，，結合圖形可知，共有線段6條：，，，，，，∵圖中所有線段的長度之和為81，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴，故答案為：9．【點睛】本題主要考查了線段的和差等數(shù)量關系的計算，找出圖中所有的線段為，，，，，，是解答本題的關鍵．21．（2023.浙江七年級期末）如圖，點C是線段AB的中點，點D，E分別在線段AB上，且＝，＝2，則的值為．【答案】【分析】由線段中點的定義可得AC=BC=AB，根據(jù)線段的和差關系及＝，＝2，可得出CD、CE與AB的關系，進而可得答案.【詳解】∵點C是線段AB的中點，∴AC=BC=AB，∵＝，＝2，BD=AB-AD，AE=AB-BE，∴AD=AB，BE=AB，∵CD=AC-AD，CE=BC-BE，∴CD=AB-AB=AB，CE=AB-AB=AB，∴==，故答案為【點睛】本題主要考查中點的定義及線段之間的和差關系，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數(shù)量關系是解題關鍵．22．（2023.浙江省臺州市七年級期末）如圖，是線段上的一點，是中點，已知圖中所有線段長度之和為23．（1）設線段的長為，則線段．（用含的代數(shù)式表示）．（2）若線段，的長度都是正整數(shù)，則線段的長為．【答案】3【分析】（1）由中點的定義可得，，，，由題意可得，等量代換即可；（2）由（1）的可知，根據(jù)正整數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：（1）設線段的長為，，，，，，即，；（2）線段，的長度都是正整數(shù)，，，可能為1，2，3，當時，是小數(shù)，不符合題意，舍去，當時，，符合題意，當時，是小數(shù)，不符合題意，舍去，故答案為：，3．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，正整數(shù)的概念，線段的和差，一元一次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．23．（2023·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D所示，點C是線段的中點，點D在線段上，且．若，求線段的長．請將下面的解題過程補充完整：解：∵點C是線段的中點，（已知）．∴______．（理由：___________）∵（已知）∴______．∵點D在線段上，，（已知）∴______．∴______∴______-______=______．【答案】2；線段中點定義；18；；6；；；3【分析】由點C是線段的中點，得到，進而求出的長，根據(jù)，推出，求出的長，進而求出．【詳解】解：∵點C是線段的中點，（已知）∴．（線段中點定義）∵，（已知）∴．∵點D在線段上，，（已知）∴，∴，∴．【點睛】本題考查線段的中點以及線段的和差關系，解題的關鍵是根據(jù)點D在線段上，，推出．24．（2023秋·廣西百色·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，C是的中點，D是線段上一點，且．(1)求線段的長度；(2)請用尺規(guī)在線段上作點E，使，并求線段的長度（保留痕跡，不寫作法）．【答案】(1)12cm(2)圖見解析，BE=4cm【分析】(1)首先根據(jù)C是AB中點，可求得AC=BC=10，設CD＝x，則AD＝4x，可得4x＋x＝5x＝10，可求得x=2，據(jù)此即可求得；(2)以點D為圓心，以AD長為半徑畫弧，交BC于點E，點E即為所求的點；首先可求得AD=DE=8，再由BE=BD-DE即可求得．【詳解】（1）解：AB＝20，C是AB中點，AC＝BC＝AB＝10，設CD＝x，AD：DC＝4：1，AD＝4x，AC＝AD＋CD＝4x＋x＝5x＝10，解得，x＝2．BD＝BC＋CD＝10＋2＝12（cm）．（2）解：以點D為圓心，以AD長為半徑畫弧，交BC于點E，點E即為所求的點，如圖．AD＝4x＝4×2＝8，DE＝AD＝8．BE=BD-DE=12－8=4（cm）．【點睛】本題考查了線段的和差，線段中點的性質，結合題意和圖形求得相關線段的和差是解決本題的關鍵．25．（2023·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）已知點在數(shù)軸上，點為線段的中點．

(1)如圖，點在線段上，點之間的距離為．若點是數(shù)軸的原點，點表示的數(shù)為3，當時，求點表示的數(shù)；若，且，求的值；(2)若點表示的數(shù)分別為，其中，且兩點關于原點對稱，判斷點為哪條線段的中點，并說明理由．【答案】(1)；12(2)點是線段的中點【分析】（1）由點是數(shù)軸的原點，點表示的數(shù)為3得到，由點為線段的中點得到，由得到，從而即可求出點表示的數(shù)；由點為線段的中點得到，由，從而表示出，再由得到，求出的長，從而得出，最后由進行計算即可；（2）由兩點關于原點對稱可得，從而可得出點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，由點為線段的中點可求出點表示的數(shù)，畫出圖形，再分別表示出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：點是數(shù)軸的原點，點表示的數(shù)為3，，點為線段的中點，，，點之間的距離為，且，，，點在點的左側，點表示的數(shù)為；點為線段的中點，，，，，，，，，；（2）解：點表示的數(shù)分別為，其中，且兩點關于原點對稱，，，點表示的數(shù)為：，點表示的數(shù)為：，點為線段的中點，點表示的數(shù)為：，畫出圖形如圖所示：

，，，，，點是線段的中點．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間的距離、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、線段的中點的有關計算、線段的和與差，準確進行計算，采用數(shù)形結合的思想解題，是解此題的關鍵．26．（2023秋·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期末）幾何計算：如圖，已知，，平分，求的度數(shù)．

解：因為，所以__________°，所以__________＋_________，＝__________°＋__________°，＝__________°，因為平分，所以__________＝__________°．【答案】，，，，，，，【分析】先求出的度數(shù)，再求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出即可．【詳解】解：因為,所以.所以.因為平分，所以.故答案為：，，，，，，，【點睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差倍分，掌握各角度之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．27．（2023春·江西上饒·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，相交于點，平分，已知：．求和的度數(shù)．【答案】，【分析】根據(jù)鄰補角得出，根據(jù)題意得出，進而得出，根據(jù)平分，得出即可求解．【詳解】解∵，相交于點且，∴，∴，∴，∴，∵，且平分，∴．【點睛】本題考查了鄰補角，角平分線的定義，數(shù)形結合是解題的關鍵．29．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，，OD平分，，垂足為O．求的度數(shù)．（按要求填空）解：∵OD平分（已知），∴（______）．∵（______），∴______°（等量代換）．又∵（已知），∴（______）．∴______＝______°．【答案】角平分線的定義；已知；70，垂直的定義；；20【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠AOD的度數(shù)，由垂直的定義可得∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)求解即可．【詳解】∵OD平分（已知），∴（角平分線的定義）．∵（已知），∴70°（等量代換）．又∵（已知），∴（垂直的定義）．∴＝20°．故答案為：角平分線的定義；已知；70，垂直的定義；；20【點睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算，掌握角平分線的定義，垂線的定義是解題的關鍵．30．（2023·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點О，OE平分，，．求和的度數(shù)．【答案】∠AOC=40°，∠DOE=70°【分析】設∠DOE=x，表示出∠AOE，∠BOF，根據(jù)對頂角相等得到方程，求出x，根據(jù)平角的定義得到∠AOC．【詳解】解：設∠DOE=x，∵OE平分，∴∠AOE=∠DOE=x，=，∵∠AOD=∠BOC，∠FOC=90°，∴2x=+90°，解得：x=70°，∴∠DOE=70°，∴∠AOC=180°-70°×2=40°．【點睛】本題考查了角平分線的定義，對頂角相等，平角的定義，一元一次方程，解題的關鍵是用x表示出相應的角，列出方程．31．（2023春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考期中）已知：如圖，在中，，點、分別在、上，、相交于點．有以下三個選項：①，②平分，③．從中選兩個作為條件，另一個作為結論，構成一個正確的命題，并加以證明．

條件______，結論______．（填序號）證明：【答案】見解析【分析】若①②為條件，③為結論，可利用垂直定義和直角三角形的兩個銳角互余可證明，，再利用角平分線的定義和等角的余角相等得到，進而可證得結論；若①③為條件，②為結論，同理證明即可；若②③為條件，①為結論，證明即可．【詳解】解：方法一：條件①②，結論③．證明：∵∴在中，∴在中，∴∵平分∴∴∵∴方法二：條件①③，結論②．證明：∵∴在中，∴在中，∴∵，，∴，∴∴平分．方法三條件②③，結論①．證明：∵平分∴在中，∴∴∵，∴∴，即，∴．【點睛】本題考查垂直定義、直角三角形兩個銳角互余、等角的余角相等、角平分線的定義，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．32．（2023秋·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，O為直線AB上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）請你數(shù)一數(shù)，圖中有多少小于平角的角？（2）求∠BOD的度數(shù)；（3）試判斷∠BOE和∠COE有怎樣的數(shù)量關系，說說你的理由．