新教材人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊全冊書各章節(jié)課時練習題及章末綜合測驗含答案解析

人教B選擇性必修第一冊全冊練習題

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第一章空間向量與立體幾何.....................................................-2-

1.1空間向量及其運算.......................................................-2-

1.1.1空間向量及其運算.................................................-2-

1.1.2空間向量基本定理.................................................-9-

1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系.................................-17-

1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用...........................................-25-

1.2.1空間中的點、直線與空間向量.....................................-25-

1.2.2空間中的平面與空間向量.........................................-32-

1.2.3直線與平面的夾角................................................-44-

1.2.4二面角..........................................................-53-

1.2.5空間中的距離....................................................-70-

第一章綜合測驗.............................................................-81-

第二章平面解析幾何.............................................................-95-

2.1坐標法................................................................-95-

2.2直線及其方程.........................................................-102-

2.2.1直線的傾斜角與斜率.............................................-102-

2.2.2直線的方程....................................................-108-

2.2.3兩條直線的位置關(guān)系.............................................-119-

2.2.4點到直線的距離.................................................-126-

2.3圓及其方程...........................................................-133-

2.3.1圓的標準方程..................................................-133-

2.3.2圓的一般方程...................................................-140-

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系.............................................-146-

2.3.4圓與圓的位置關(guān)系...............................................-154-

2.4曲線與方程............................................................-162-

2.5橢圓及其方程.........................................................-168-

2.5.1橢圓的標準方程.................................................-168-

2.5.2橢圓的幾何性質(zhì).................................................-176-

2.6雙曲線及其方程.......................................................-186-

2.6.1雙曲線的標準方程..............................................-186-

2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì)..............................................-194-

2.7拋物線及其方程.......................................................-202-

2.7.1拋物線的標準方程..............................................-202-

2.7.2拋物線的幾何性質(zhì)..............................................-209-

第二章綜合訓練............................................................-217-

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運算

1.1.1空間向量及其運算

1.下列命題中為真命題的是（）

A.向量荏與瓦^勺長度相等

B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓

C.空間向量就是空間中的一條有向線段

D.不相等的兩個空間向量的模必不相等

宣A

2.下列向量的運算結(jié)果為零向量的是（）

A.FC+ABB.PM+~MN+~MP

C.MP+GM+PQ+QGD.近+CA+AB+CD

答案|C

3.已知ei?為單位向量，且ei_Le2,若a=2ei+3e2,b=Aei-4e2,a_Lb：則實數(shù)k的值為

（）

A.-6B.6

C.3D.-3

解析|由題意可得a-b=O,ei-e2=0,|ei|=|eaI=1,

所以（2ei+3e2＞（"i-4e2）=0,所以2&-12=0,

所以左二6.故選B.

4.已知空間四邊形ABC。的每條邊和對角線的長都等于a點七下分別是BCAD的

中點，則族?存的值為（）

AdB.-a2

2

C.-a2D.—cr

44

答案

AE?AF=^(AB+AC)^AD

三(AB-AD+AC-AD)

1(11)1o

二一\ax〃x-+axax」="?-.

4224

5.(多選)己知四邊形ABCD為矩形,R4_L平面ABCD連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列

各組向量中，數(shù)量積一定為零的是()

A.定與前B.萬X與麗

C.而與荏D.可與方

答案BCD

解析無?BD=(PA+AB+BC)(BA+AD)

=PA?函+而?而+近屈+方?通+荏?而+近，

AD=-(AB)2+(BC)2^O.

因為PA_L平面ABCD,所以PA_LC￡),

^PA-CD=0,

又因為4O_LAB,AD_LPA,所以AD_L平面P4B,所以AD1PB,所以萬彳?而=0,同

理麗,荏=0,因此B,C,D中的數(shù)量積均為0.故選B,C,D.

6.設(shè)ei⑼是平面內(nèi)不共線的向量,已知荏=2ei+ke2cs=e)+3e2,CD=2e1e,若A,B,D

三點共線，則k=.

疆-8

7.化簡：i(a+2b-3c)+5(|a-|b+|c)-3(a-2b+c)=.

答案，+務(wù)白

----"oLo

8.如圖，平行六面體A8CD-A'8'。'。'中,AB=A0=1,/U'=2,/A4Q=N8A4=N

D4A'=60°,則AC的長為.

DL

附c

答案"T

回相|不|2=|屈+BC+CC\2=AB2+BC2+CC2+2AB-BC+2BC-CC+2AB-CC

=l2+l2+22+2xlxlxcos60°+2X1X2XCOS600+2X1X2XCOS60°二11,則

|4C|=V11.

9.在四面體ABCD中,E,F分別為棱AC.BD的中點，求證:荏+CB+AD+CD=4EF.

怔明左邊二(而+AD)+(CB+CD)

.?一??一一.“??'?????—??...—

=2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右邊，得證.

10.

如圖，在正方體A8CD-A閏GG中,E,尸分別是GOiQQ的中點，正方體的棱長為1.

⑴求〈馥，而〉的余弦值；

(2)求證:西1EF.

(1)^?=而+而=而+：踞,而=西+率=近+癖=磯-逆.

因為而?AD=0jW?AA^=0jW?祈二0,

所以在?布二(彳否一［而).(而+工甌)

1221

_1

2"

又麗二|國考所以COSV國方＞=|.

(2)|證明兩=麗+西=AD-AB+~AAl，~EF=~EDl+D^F=-^(AB+麗)，

所以西?后？=0,所以西J_麗.

11.已知空間向量a=a,l,f),b=G2〃),則|a?b|的最小值為()

A.V2B.V3C.2D.4

奉C

|解析|Ta=?,l/),b=?-2』』)，

Za-b=(2,l-r,M),?')|a-b|=J22+(1-t)2+(M)2=J2(t-1)2+4,

.:當t=l時,|a?b|取最小值為2.故選C.

12.設(shè)平面上有四個互異的點AB,C,。,己知(而+DC-2DA)(AB-而)=0,則“BC

是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.鈍角三角形D.銳角三角形

解桐因為麗+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+前，所以(荏+AC\(AB-

元)二|前F-I而F=0,所以|同|二|瑟即AABC是等腰三角形.

13.如圖，已知PA_L平面ABCyZABC=[20°,PA=A8=8C=6,則PC等于()

A.6V2B.6C.12D.144

^]c

|解桐因為正=瓦？+通+近,所以近2=瓦52+而2+BC2^1PA?AH+2R4-

BC-^2AB-FC=36+36+36+2X36XCOS60°=144,所以PC=\2.

14.給出下列幾個命題：

①方向相反的兩個向量是相反向量；

②^|a|=|b|,則a=b或a=-b;

颯于任意向量a,b,必有|a+b國a|+|b|.

其中所有真命題的序號為.

答案③

朝對于①長度相等且方向粕反的兩個向量是相反向量，故＜5湍誤;對于②若

|a|=|b|,則a與b的長度相等,但方向沒有任何聯(lián)系，故不正確;只有③正確.

15.等邊三角形A8C中,P在線段AB上，且而二入屈，若而AB=PA-麗,則實數(shù)2的

值為.

宣1告

底胡設(shè)|話|二加＞0),

由題知,04＜1.如圖,

CP=^AC+AP

二-前十2福

故而?AB=(XAB-AC\AB

=X\AB\2-\AB\\AC|COSA號,2

可?麗二("而)?(l-2港

=2(A-1)|AS|2=2(2-1>2,

貝U?22-V=Aa-l)^2,

16.如圖，平面a_L平面AAC_LA8,80_LA8,且48=4/06,80=8,用血，正,就表示

CD=，而|=.

答案荏-AC+BD2>/29

解析|:?而=CA+AB+BD=AB-AC+BD,

.,.CD2=(AB-AC+BD)1

=AB2+AC2+BD2-2AB?AC+2AB-'BD-2AC?麗=16+36+64=116,,：

|CD|=2V29.

17.己知43。。/30是平行六面體44的中點為瓦點廠為。。上一點，且

2

DT=-D'C.

3

⑴化簡義府+方+|福

(2)設(shè)點M是底面ABCD的中心，點N是側(cè)面8CC5對角線上的5分點(靠近C).

設(shè)而』通+須+“7,試求吶的值.

網(wǎng)(1)由AV的中點為￡得:彳不=就，

又配=初，。戶二|。'。'，

因此三荏=2前二萬不.從而工府+正+三荏=互不+和+麗=麗.

3323

(2)MN=MB+BN=+:80=；(04+AB)+：(BC+CC)=^-AD+

通)+[(而+而后荏+(而+]而，因此a=1^=i?=|.

18.如圖，在三棱柱ABCNBQ中,MN分別是4B,BC上的點，且

BM=2AiM,GN=281N.設(shè)荏=a,4C=b,Z57=c.

(1)試用a,b,c表示向量而；

(2)若N84C=90°,N8AA產(chǎn)NCA4i=60°,A8=AC=A4i=l,求MN的長.

g(iW=++

二1西+而+］跖=1(c-a)+a4(b-a)

=-1a+,-1b,+,-1c.

333

(2)因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2a-c=l+l+l+0+2x1x1x1+2x1x1xg=5,所

以|a+b+c|=V5,

所以硒gla+b+c*,即MN4.

19.

如圖所示，己知線段A3在平面a內(nèi)，線段AC_La,線段3D_L48,且A3=7,AC=3D=24,

線段BD與a所成的角為30°,求CD的長.

網(wǎng)由AC_La,可知AC.LAB,

過點。作￡＞Qi_La,

Di為垂足，連接55,

則NO6￡)i為6。與a所成的角，即ND6DL30°，所以/6DOI-60°，因為AC_L

a,OQiJ_a，所以AC〃OOi,所以而＞=60°，所以vN，前＞=120°.又而=

CA+AB+BD,

所以|而F=(褊+AB+'BD)2=\CA\2+\AB\2+\BD\2+2CA?AB-^-2CA?~BD+2AB?

BD.

因為8。J_A8,AC_LA8,

所以而?AB=OjC-AB=O.

故而F二函2+|福2+|麗2+2方.BD

=242+72+242+2X24X24XCOS120°=625,

所以|而|二25,即CO的長是25.

20.如圖所示,在矩形45CD中工平面43CZ）（點P位于平面A5CD的

上方），則邊BC上是否存在點Q,使所1QD?

解假設(shè)存在點。（點Q在邊BC上），使同1而，

連接AQ,因為尸AJ_平面ABCD,所以PA_LQD.

又所=PA+AQ,

所以所QD=PAQD+AQ-QD=0.

又遍?調(diào)=0,所以亞?誦:0,所以前1QD.

即點Q在以邊4。為直徑的圓上，圓的半徑為今

又A8=l,所以當］=1,即a=2時，該圓與邊8C相切，存在1個點Q滿足題意;

當即a>2時，該圓與邊相交，存在2個點Q滿足題意；

當］<1,即a<2時，該圓與邊相離，不存在點Q滿足題意.

綜上所述，當心2時,存在點Q,使麗J.而；

當0<〃<2時，不存在點Q,便可1QD.

1.1.2空間向量基本定理

1.如圖所示,在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中"為AC與的交點.若

百瓦二a，石E=b,石了=c,則下列向量中與瓦前相等的向量是（）

A.-1a+|b+cB.|a+|b+c

C.1a-1b+cD.-1a-1b+c

前A

解析瓦羽=B^B+'BM=A^A-^^（BA+BC）

?、

=c+I-,（-a+b）=--ia+-itb+c.

2.對于空間一點。和不共線的三點A,B,C,且有6而=65+2而+3沅，則（）

A.O,A方，。四點共面

B.PK,8,C四點共面

C.0,P,8,C四點共面

D.O,P/,B,C五點共面

^]B

解析|由69=成+2赤+3元，得亦一a=2（而一赤）+3（OC-OP）,^

AP=2PB+3PC,

,:標，麗,無共面.又三個向量的基線有同一公共點P,,：PAB,C四點共面.

3.（多選）已知點M在平面ABC內(nèi),并且對空間任意一點O^OM=xOA+遂,

則x的值不可能為（）

A.lB.OC.3D.-

3

答案|ABC

1^1VOM=xOA+：赤+：沃，且M,A,B,C四點共面，,：%+；+；=l,Zx=i

4.已知向量a,b,且荏=a+2b,而=-5a+6b,而=7a-2b,則一定共線的三點是()

A.A,B,DB.A,民C

C.B,C,DD.ACO

函A

|解析|因為而=AB+BC+而=3a+6b=3(a+2b)=3而，故同||AB,又標與方有公

共點4,所以4,B,。三點共線.

5.下列說法錯誤的是()

A.設(shè)a,b是兩個空間向量，則a,b一定共面

B.設(shè)a,b是兩個空間向量，則ab=ba

C.設(shè)a,b,c是三個空間向量，則a,b,c一定不共面

D.設(shè)a,b,c是三個空間向量，則a(b+c)=ab+ac

答案|c

解析|A.設(shè)a,b是兩個空間向量，則a,b一定共面，正確，因為向量可以平移；

B.設(shè)a,b是兩個空間向量陽a-b=ba正確，因為向量的數(shù)量積滿足交換律；

C.設(shè)a,b,c是三個空間向量，則a,b,c可能共面，可能不共面，故C錯誤；

D.設(shè)a,b,c是三個空間向量，則a?(b+c尸a?b+a?c,正確，因為向量的數(shù)量積滿足分

配律.故選C.

6.設(shè)ei,e2是空間兩個不共線的向量，已知而=ei+皿,近=5ei+4e2,反=62口,且

A,B,D三點共線，實數(shù)k=.

量］

解析：?彳方=~AB+^+CD=7ei+(A:+6)e2,

且存與而共線，故近

即7ei+(Z+6)e2=xei+He2,

故(7-x)ei+(2+6-欣龍2=0,又ei?不共線，

,4絲：2n解得」=f故k的值為1.

{k+6-kx=0,{k=1,

7.在以下三個命題中，所有真命題的序號為

①三個非零向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a,bx共面；

②若兩個非零向量a,b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a,b共線；

③若a,b是兩個不共線的向量，而c=2a+〃ba,"￡R且〃#0),則{a,b,c}構(gòu)成空間的一

個基底.

磔9

解析c與a,b共面，不能構(gòu)成基底.

8.已知平行六面體。48。-。459；且65=2,而=1),布二(:.

(1)用a,b,c表示向量於；

(2)設(shè)G,”分別是側(cè)面B夕CC刃。ZBC的中心，用a,b,c表示麗.

敏1)正=AC+CC=OC-OA+9=b+c?a.

(2)57?=G0+OH=^OG+OH

=-1(OB+oc)+1(OB'+oa)

=-1(a+b+c+b)+1(a+b+c+c)=1(c-b).

9.已知三個向量a,b,c不共面，并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,i?二?7a+l8b+22c,向量p,q,r

是否共面？

解假設(shè)存在實數(shù)人必使p=/lq+4i?，則

a+b-c=(22-7//)a+(-3z+18〃)b+(-5A+22〃)c.

:、,b,c不共面,

5

-

(2A-7M=1,h3

1

-3A+18〃=1,解得《-

-5A+22〃=-1,3

即存在實數(shù);1=累告使p4q+〃r,

.：p,q,r共面.

10.如圖所示,四邊形ABCD和A3E「都是平行四邊形，且不共面,M,N分別是AC.BF

的中點.判斷荏與而是否共線？

C

網(wǎng)：?M,N分別是AC,BF的中點，而四邊形ABCDMEF都是平行四邊形,

,:麗=加+而+而氣3+都+：麗?

又而=~MC+CE+EB~BN=--CA+CE-AF--~FB

22y

.'.-CA+萬+-~FB=--CA+CE-AF--~FB

2222y

/.CE=CA+2AF+FB=2（MA+AF+而）=2而，

/.CE||而，即屈與麗共線.

11.如圖，梯形ABCD中〃Ca4B=2CD,點。為空間內(nèi)任意一

點,DX=a,而=b,3?=c,向量而三ta+yb+zc,則乂y,z分別是（）

A.1,-1,2B.-ppl

答案|C

ft?=OC+CD=OC^-BA=OC+-（OA-OB）=-OA--OB+0C=

---------22'22

扣《b+c,因此尸1=-1=1.故選C.

12.在平行六面體ABCD-EFGH^P^AG=xAB-2yBC+3zDHMx+y+z等于（）

答案D

解析|由于刀=同+玩+德=而+近+而，對照已知式子可得

x=l,-2y=l,3z=l,故x=l,y=-=,z三，從而x+y+z=-.

236

13.（多選）在正方體ABCD-A^BiQDi中,P,M為空間任意兩點，如果有麗=

西+7瓦5+6麗-4不百，那么對點M判斷錯誤的是()

A.在平面BA。內(nèi)B.在平面BAiD內(nèi)

C.在平面BA\D\內(nèi)D.在平面ABiCi內(nèi)

答案|ABD

=~PB[+7~BA+6A47-4^A

.?9?,?9???.......?.............?

=PBi+34+6841-4415

=PB1+B1A1-^-6BA1-4A1Dl

二西*+6(西＞-而)-4(西-兩*)

二11兩-6麗-4可，且11-6-4=1,

于是MBA,。四點共面.

14.已知空間單位向量ei,e2,e3,ei_Le2,e2_Le3,ere3=g,若空間向量m=xei+ye2+ze3滿

足:m?e?=4,in-e2=3,m-e3=5,則x+y+z=,|m|=

V34

解析因為e(±e2,ez_Le3,ei-e3=，，空間向量m=rei+ye2+ze3滿

((xe1+ye2+ze3)e1=4,

：

足:01?修=4,111￡2=3,111?03=5,所以](%81+ye24-ze3)e2=3,

y(xe1+ye2+ze3)e3=5,

即jy=3,解得y=3,

+z=5,（z=5,

所以x4-y+z=8,|m|=V34.

15.已知。是空間任一點R,B,CQ四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且

6麗+3）/5+4z麗貝1J2x+3y+4z=.

翻-1

=2xB0^3yC0+4zD0

=-2xOB-3y^OC-4zOD.

由四點共面的充要條件知-2x-3y-4z=l,

即2x+3y+4z=?L

16.如圖，設(shè)0為口ABCD所在平面外任意一點方為0C的中點，若荏=

^OD+xOB+yOA^x.y的值.

網(wǎng)因為荏=荏+近+屈=而一畫+歷一而一之沆

=^0A+^OC=-OA+^(OD+DC)

=^0A+^(OD+AB)=^OA+jOD+^(0B-OA)=^OA+^OD+^OB,

所以x二L

17.已知非零向量ei,e2不共線，如果通=ei+e2,前=2ei+8e2,而=3ei-3e2,求證:A,8,CQ

四點共面.

怔明|證法一:令A(ei+e2)+//(2ei+8e2)+v(3ei-3e2)=0,

則q+2"+3u)ei+(2+8〃-3Voe2=0.

.”1己不亂線‘C+2"+3”=0,

—矢％2+8〃?3，=0.

2=-5

易知〃=1,是其中一組解，

V=1

則-5而+而+而=0.?：A8,C,O四點共面.

證法二:觀察易得AC+AD=(2ei+8e2)+(3ei-3e2)=5ei+5e2=5(ei+e2)=5AB.

?:荏V前+場

由共面向量知，彳瓦彳己而共面.

又它們有公共點A,?：A,8,CQ四點共面.

18.如圖，在平行六面體ABC。/由。。|中，。是Bid的中點，求證:8iC〃平面OOG.

證明Bi。=B,0+OCi+Re=Bi。+OG+DiD

=B^O+西+而+OD.

TO是B1D1的中點，

,:雨+加=0,?：昭=西+赤

?：瓦乙西，而共面，且BiGt平面OCiD.

?：3C〃平面OOC.

19.如圖所示,四邊形ABCD是空間四邊形￡”分別是邊ABAD的中點,F,G分別是

邊CB,CD上的點，且方=jCF,CG=|而.求證:四邊形EFGH是梯形.

證明：W”分別是邊ABAD的中點,

1.....0?—????1—?■

/.AE=^ABfAH=*，

............?一■■…1.....，*1....，1...

?：EH=AH-AE=-AD--AB=-BD.

222

>,>O*O'O.......fO???????i.?Q?

又FG=CG-CF=-CD--CB=-(CD-CB)=-BD./.EH=-FG,

333、734

?—??,■,>......??q"">

/.EH||FG,\EH\=^\FG\.

丁點F不在EH上，.：四邊形EFGH是梯形.

20.己知平行四邊形ABCD,從平面ABCD外一點O引向量

OE=kOA,OF=kOBfOG=kOCtOH=kOD.

求證:(1)點￡,F,G,”共面；

(2)直線〃平面EFG”.

VOA+AB='OB./.kOA+kAB=kOB.

OE=kOA,OF=kOB,AOE+kAB=OF.

又畫+前=市,?：麗二而巨

同理，麗二攵而,麗二沅.

丁四邊形ABCD是平行四邊形，

?:前=荏+而，

,：—=—+曳抑前=EF+EH.

kkk

又它們有同一公共點E,

?：點、E,F,G,H共面.

(2)由(1)知麗二凝后，

/.AB||前，即A8〃EE又ABC平面EFGH,

?：AB與平面ER7〃平行，即A8〃平面EFGH.

1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系

1.已知向量a=(l,-2,l),a+b=(-l,2,-l),則向量b等于()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)

2.向量a=(l,2力,b=(2,y,-l),若⑶=遍,且a_Lb,則x+y的值為()

A.-2B.2

C.-lD.l

答案C

函由題意得｛￡蒸：廠強

啜:。……

3.若△ANC中,NC=90°4(1,2,?3Q網(wǎng)?2,1,0),以4,0,-2機則k的值為()

A.V10B.-V10

C.2V5D.±V10

建D

域璇於(-6,1,2枕訃(-3,2,困，

則無?株=(-6)X(-3)+2+2"(-Z)=-23+20=0,.：A=±71U.

4.若MBC的三個頂點坐標分別為A(l,?2,l),8(423),C(6,-1,4),則△ABC的形狀是

()

A.銳角三角形B.百角二角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

lgA

臃酈5二(3,4,2),前二(5,1,3),近二(2,?3』).

由荷?冠＞0,得A為銳角;由G5?方＞0,得C為銳角；由麗?近＞0,得B為銳角.

所以△45C為銳角三角形.

5.(多選)如圖所示，設(shè)。工,0)是平面內(nèi)相交成工習角的兩條數(shù)軸網(wǎng),ez分別是與

軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系xOy為0反射坐標系，若而?=的+產(chǎn)2,

則把有序數(shù)對Hy)叫做向量麗的反射坐標,記為麗=(x,y),在。二g的反射坐標系

中,a=(l,2),b=(2,-l).則下列結(jié)論正確的是()

A.a-b=(-l,3)B.|a|=V3

C.a±bD.a〃b

^]AB

解析a-b=(ei+2e2)-(2ei-e2)=-ei+3ei,

則a?b=(-l,3),故A正確;

向一J(q+2%)2=+4cos=V5,故B正確；

a?b=(ei+2e2>(2ei-e2)=2好+3ei,e2-2多二-|,故C4音誤；

D顯然錯誤.

6.已知向量a=并且a,b同向，則x+y的值為.

解析|由題意知2〃0

y即

所以彳=/+y-2=0=3%,①

-3'(X2+y-2=2x,(2)

把④弋入②f尋P+x-2=0,即。+2)(41)=0,

解得x=-2或x=l.

當x=-2時,y=-6;

當x=l時,y=3.

則當｛；Z['時,b=(-2,-4,-6)=-2a,

向量a,b反向，不符合題意，故舍去.

當I，時,b=(l,2,3)=a,

a與b同向，符合題意，此時x+y=4.

7.已知向量a=(5,3』),b=(-2"?,若a與b的夾角為鈍角，貝]實數(shù)t的取值范圍

為.

矗(-若兒(-畿)

解桐由已知得ab=5x(-2)+3l+lx(-|)=34,因為a與b的夾角為鈍角，所以ab<0,

即3吃<0,所以喀

若a與b的夾角為180°,則存在丸<0,使a=2b(2<0),

即(5,3,1)=2(?2"?，

［5=-24,(2——

所以［3=加，解得］

b=.0,1=木

故I的取值范圍是(-8,尚)U

8.已知。為坐標原點，羽二(1,2,3),麗=(2,1,2),而二(1,1,2),點Q在直線0P上運動，則

當西?麗取得最小值時，求Q的坐標.

解設(shè)的=2而，則9=OA-OQ=OA-XOP=(1-2,2-2,3-22),Qfi=OB-OQ=

而J而二(2U,l」,2-2/l),所以Q5?

當時，面?而取得最小值,此時點Q的坐標為(籍譚).

9.已知正三棱柱A8CA出G的底面邊長A8=2A點。。分別是棱ACAG

的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.

(1)求該三棱柱的側(cè)棱長；

⑵若M為BG的中點，試用向量再而，就表示向量而7;

⑶求cos＜AB；前》.

網(wǎng)(1)設(shè)該三棱柱的側(cè)棱長為"由題意得

40,-1,0),3(75,0,0),c(o,i,o),bi(V5,O/),G(O,I㈤，則福=(V5,i㈤，鬲=(-75,1,力)，因

為ABI±BCI9

所以福?跖=-3+1+〃2=0,所以h=V2.

⑵宿=通+麗=而+3西=而+"何+近尸荏+久麗*+前-

,11,一一?，1,

AB)=-AB+-AC+-AA.

2221r

(3)由(1)可知福=(V5,1,近)，元=(-73,1,0),

所以福?近=-3+1=-2,|福匚乃就1=2,所以cos＜福，尻＞二急=-g.

10.(多選)已知點P是&ABC所在的平面外一點，若

AB=(-2,1,4),^4?=(1,-2,1),4?=(4,2,0),則()

A.AP.LABB.APLBP

C.BC=V53D.AP//BC

答案|AC

?荏=?2-2+4=0,.：萬1荏，即AP_LAB,故A正確；

BP=BA+^P=(2rl,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),5??^4P=3+6-3=6^0,ZAP與BP不

垂直，故B不正確；

BC=AC-AB=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),.：||=〔62+M+(_4月=原，故C

正確；

1=6k,

假設(shè)加Y三,則?2=k,無解，因此假設(shè)不成立，即AP與BC不平行，故D不正

.1=-4k,

確.

11.已知點4(1,0,0)1(0,?1,1),若布+7而與赤(0為坐標原點)的夾角為120。，則2的

值為()

A.漁B.-漁C.土漁D.土瓜

666

1^1：VB=(0,-1,1),04+WB=(1,-24),

cosl20o二畫+麗麗=-2工7，可得kO,解得4=].故選B.

|OX+AOB||OB|

12.已知點41,-1,2),8(5,-6,2),C(l,3,-1),則荏在前上的投影為.

量4

麗:怎=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),

4C=(l,3,-D-(l,-l,2)=(0,4,-3),

?*.cos<AB,AC______0-20+0______

^42+(-5)2xj42+(-3)2

20

荏在元上的投影為|而|cos＜荏，前〉

=^42+(-5)2X(-^=)=-4.

13.已知空間向量a=(1,-2,3),則向量a在坐標平面xOy上的投影向量

是.

客氨1,20)

14.已知A,8,C三點的坐標分別是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),而=1同一彳？),則點P

的坐標是.

前5*,0)

解析：宜二(6,3,-4),設(shè)P(a,仇c),

則324+1,。2）=（3,92）,

?：〃二5/=：,c=0,?:P（5,1,0）.

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱以，底面

ABCD,AB=?BC=1,弘=2,E為PD的中點.建立空間直角坐標系，

⑴求cos＜而麗,；

(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NELL平面用C,求N點的坐標.

ABx

解(1)由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

40,0,0）,次8,0,0）,。（百』,0）,。（01,0）,P（0,0,2）,E（0,?）,從而

^C=(V3,l,0),PB=(V3,0,-2).

則8s(冠而

二嘉=當??：＜刀，麗〉的余弦值為哼.

(2)由于N點在側(cè)面PAB內(nèi),故可設(shè)N點坐標為(x,O,z),則屜=(-百,1口,

NEAP=0,

由NE_L平面附?？傻?....?

NEAC=0,

f(-x,；,l-z)(0,0,2)=0,

即11廠

((-W，i-z)(V5,i,o)=o,

Z-1=0,(X=—

化簡得

即N點的坐標為(立,0』).

6

16.已知點4023),8(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以向量屈，前所在有向線段為邊的平行四邊形的面積;

(2)若|a|二V5,且向量a分別與向量而,彳？垂直,求向量a.

網(wǎng)⑴荏=(-2,-1,3)裙(1,32),

設(shè)。為赤，前的夾角，

貝Icos-q竺“竺=,-2+3t^___1；sin^=—..\So=\AB\\AC\s\nO=7y/3.

\AB\(AC\V4+1+9-71+9+4221111

?:以3瓦前為邊的平行四邊形面積為7dl

(2)設(shè)a=(x,y,z),

-2x-y+3z=0,

x-3y4-2z=0,

(x2+y2+z2=3.

x=1,任=-1,

解得y=1,或y=-1,

z=1z—~1.

?:或a=(-l,-l,-l).

17.P是平面ABC外的點，四邊形ABCD是平行四邊

形淘=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),而=(-1,2,-1).

⑴求證:必_L平面ABC。；

⑵對于向量a=aiJl,Zl),b=(X2j2,Z2),C=(X3,”,Z3),定義一種運

算:(axb>c=x1”Z3+My3Zi+13曠izz-xigzz-Myiz^yizi，試計算(而x而)?標的絕對值;

說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運算(四x而)?存的絕

對值的幾何意義.

(1?荏=(2,-1,-4)?(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,

?:萬，而，即人尸_143.同理,族,同=(-1,2,-1>(4,2,0)=-4+4+0=0,?：萬，而，

即R1J_AD又ABu平面ABCDAOu平面A8CZM8nA0=4?：出_1_平面ABCD.

(2解|(荏X而)?而|=48,

又cos<i4F.i4D>=^=,

\AB\=VH,|而|二2向,|而|二巡，

福?麗|.sinv而?而而|二16,可得|(而x而)?麗二3%MBCD

猜測:|(荏X而)?布|在幾何上可表示以ABAD^P為棱的平行六面體的體積

(或以AB,AO,AP為棱的四棱柱的體積).

18.正四棱柱48CD-AI51Gd中，底面ABCD是邊長為4的正方形4G與BQ交于

點N,BC\與BxC交于點M且AM_L8N,建立空間直角坐標系.

⑴求A4的長；

(2)求<麗,麗〉；

(3)對于〃個向量aia,…a-如果存在不全為零的n個實數(shù)丸展2.…工“，使得

Aia?+2232+,?,+Ana?=0成立，則這n個向量ai,a2,…聲〃叫做線性相關(guān)，不是線性相關(guān)的

向量叫線性無關(guān),判斷俞，麗，而是否線性相關(guān),并說明理由.

網(wǎng)(1)以。為原點,D4,OC,O。所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標

系.

設(shè)A4的長為?則B(4,4,0),N(2,2,a),

~BN=(-2,-2x/)^4(4,0,0),M(2,4,,AM=(?2,43)，由麗_L而,得前.宿二0,即

。=2&,即A4i=2企.

(2)^V=(-2,-2,2A/2)M=(-4A2A/2),

cos<麗河>=B^=漁，

<BN,AD；>=arccos手.

(3)由

AM=(-2,4,V2),BN=(-2,-2,2V2),CD=(0,-4,0)^I(-2,4,V2)+22(-2,-2,2V2)+13(0,-4,0)=(0,0

,0),

得九二22=23=0,則加，前,由線性無關(guān).

1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1.2.1空間中的點、直線與空間向量

1.已知/1的方向向量為v尸（1,2,3）也的方向向量為V2=（Z4,6）,若h〃/2,則人等于（）

A.lB.2C.3D.4

麗由八〃瓦得y]〃V2,得J=7=會故解2.

11A46

2.空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是（）

A.[0,n]B.（0,兀）

C.（喝D.M）

畫根據(jù)異面直線所成角定義，空間中異面直線。與b所成角的取值范圍是（o,*

3.在正方體ABCD-AIICQI中，若E為4G的中點，則直線CE垂直于（）

A.BDB.ACC.AiDD.AiA

空A

國面以。為坐標原點,D4,DC,OOi所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標

系Dryz.設(shè)正方體的棱長為1.則

。(01,0),8(1,1,0)/(1,0,O)Q(O,O,O),G(0』,1)A(1,01)也(溫1),

?；CE=(?1)/C=(-1,1,0),80=(-1,-1,0)/iD=(-1,0,=(0,0,-1),

rCE.BD=(-l)xi+(-l)x(3)+0x1=0,

CEAC=-\^CE-4t。哼0,CE?力遇=1/0,

?：CE工BD.

4.直線l\與；2的方向向量分別為ai,a2,若ai_La2,貝hi與b的位置關(guān)系為.

客半垂直

在正方體ABCD-AiBiCiDi中,0是4C的中點,E是線段DiO上一點，且D1E=EO.求

異面直線DE與CDi所成角的余弦值.

回不妨設(shè)正方體的棱長為1,以近,反，西為單位正交基底建立空間直角坐標系

Dryz,如圖所示，

則41,0,0）,。（焉,0）,。（0/，0）,。（0,0』）石（匕焉）,于是

22442

屁=（竟,久E=（o,-i』）,且I屁i=giEi=2，

4424

DECD1

貝Icos<DE,'CDl>==

6

西西I

所以異面直線。七與C。］所成角的余弦值為立.

6

已知圓柱的底面半徑為3,高為4/,8兩點分別在兩底面圓周上，并且A8=5,求異面直

線AB與軸00,之間的距離.

網(wǎng)如圖，直線AB與軸00之間的距離等于軸OO'與平面48C的距離，由圖形可知,

直線A8與軸0。'之間的距離等于點。'到8C的距離，

:?ABQdCta且AC±BC,?：5C=V52-42=3,?：△O'CB為等邊三角形，,：異面直

線AB與軸0。'之間的距離為苧.

7.已知直線1\的方向向量a=（2.-3,5）,直線，2的方向向量b=（4x,y）,若兩直線l\//h,

則xj的值分別是（）

A.6和-10B.-6和10

C.-6和-10D.6和10

空A

解明由兩直線/1〃以得兩向量a,b平行，即1=-=3所以的值分別是6和-10.

8.

如圖,S是正三角形ABC所在平面外一點,M,N分別是AB和SC的中點,SA=S8=SC,

且/458=/85。=/。54=90°,則異面直線5加與8%所成角的余弦值為（）

.TioVio

A—B-v

C..包D.叵

ioio

姓胡不妨設(shè)S4=S8=SC=1,以S為坐標原點克，克所在直線分別為x軸,y軸,z

軸,建立空間直角坐標系Sxyz,