吉林省白山市第七中學(xué)2023−2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

吉林省白山市第七中學(xué)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．共起點(diǎn)的向量2．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．3．若直線平面，則下列說法正確的是（

）A．l僅垂直平面內(nèi)的一條直線 B．l僅垂直平面內(nèi)與l相交的直線C．l僅垂直平面內(nèi)的兩條直線 D．l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直4．工人師傅在檢測椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩條相交直線確定一個(gè)平面B．兩條平行直線確定一個(gè)平面C．四點(diǎn)確定一個(gè)平面D．直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面5．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，則此三角形（

）A．無解 B．有一解C．有兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定6．已知向量，，且，，，則（

）A．8 B．9 C． D．7．在中，角的對(duì)邊分別為，且，則為（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB上的中點(diǎn)，且，P點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則P點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．已知是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題中是真命題的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么與所成的角和與所成的角相等11．如圖為清代官員夏日所用官帽、涼帽的形制，無檐，形如圓錐，俗稱喇叭式．材料多為藤、竹制成．外裹綾羅，多用白色，也有用湖色、黃色等．不同型號(hào)的官帽大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓的直徑長）兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量．現(xiàn)有一個(gè)官帽，帽坡長，帽底寬，關(guān)于此官帽，下面說法正確的是（

）A．官帽軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為B．過官帽頂點(diǎn)和官帽側(cè)面上任意兩條母線的截面三角形的最大面積為C．若此官帽頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球的表面積為D．此官帽放在平面上，可以蓋住的球（保持官帽不變形）的最大半徑為三、填空題（本大題共3小題）12．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的模為.13．已知平面向量滿足，且，則向量與的夾角為.14．一個(gè)鋼筋混凝土預(yù)制件可看成一個(gè)長方體挖去一個(gè)底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，其尺寸如圖所示（單位：米），澆制一個(gè)這樣的預(yù)制件需要立方米混凝土（鋼筋體積略去不計(jì)）．四、解答題（本大題共5小題）15．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，．(1)當(dāng)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，求的值；16．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.（1）求的值（2）若，求的值.17．如圖，在直三棱柱中，，側(cè)棱，分別是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.18．如圖，在菱形中，，是的中點(diǎn)，且．(1)求；(2)以為圓心，2為半徑作圓弧，點(diǎn)是弧上的一點(diǎn)，求的最小值．19．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，是棱上一點(diǎn)，且平面.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到這三個(gè)向量的模長相等，即可判斷得解.【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點(diǎn)相同的向量.故選B.2．【答案】A【分析】設(shè)，求得，根據(jù)題意求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)，可得因?yàn)?，所以解得，所?故選A.3．【答案】D【詳解】因?yàn)槿糁本€平面，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直．所以ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D4．【答案】A【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】由于連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面”.故選A.5．【答案】C【分析】利用正弦定理可求得的值，再根據(jù)對(duì)邊，得到內(nèi)角，可得角有兩個(gè)解.【詳解】由正弦定理可得，得，可得.因?yàn)閷?duì)邊，所以內(nèi)角.又因?yàn)椋曰颍蚀巳切斡袃山?故選C.6．【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以故選：C7．【答案】A【詳解】在中，由余弦定理得，，，因?yàn)椋?，即，即，又因?yàn)?，所以，所以為等腰三角?故選：A8．【答案】C【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，連接，則∥，，且∥，，可得∥，且，可知四邊形是平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，可知平面∥平面，又因?yàn)镻點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面，所以點(diǎn)在線段上，由題意可知：，可得，所以P點(diǎn)的軌跡長度為.故選：C.9．【答案】CD【詳解】解：，故A對(duì)，因?yàn)?，故，故B對(duì),虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)，設(shè)仍為虛數(shù)，不能與0比較大小，故D錯(cuò).故選：CD.10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，可運(yùn)用長方體舉反例證明其錯(cuò)誤，如圖，不妨設(shè)為直線為直線，四邊形所在的平面為，四邊形所在的平面為，顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，證明如下：設(shè)過直線的某平面與平面相交于直線，則，由知，從而；B正確對(duì)于C，由平面與平面平行的定義知，如果，那么C正確；對(duì)于D，由平行的傳遞性及線面角的定義知，如果，那么與所成的角和與所成的角相等，D正確．故選：BCD．11．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，作圓錐的軸截面圖，通過題中數(shù)據(jù)可求得；對(duì)于B，界面三角形的面積，根據(jù)正弦函數(shù)鵝值域即可判斷；對(duì)于C，設(shè)外接球的球心為O，，則，，再計(jì)算即可；對(duì)于D，設(shè)是內(nèi)切球的球心，則，可求得，再解三角形即可.【詳解】如圖所示，，，，，，所以正確；，所以最大面積應(yīng)為，所以錯(cuò)誤；設(shè)外接球的球心為，則，，，可見球心在延長線上，，所以C正確；設(shè)是內(nèi)切球的球心，則，，，得到最大半徑為，所以正確．故選ACD.12．【答案】【詳解】由，故答案為：13．【答案】150°【詳解】由，得，即，因?yàn)?，所以，所以，又，所以向量與的夾角為150°.故答案為：150°14．【答案】324【分析】將預(yù)制件看成由一個(gè)長方體挖去一個(gè)底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，可求得截面的面積，由柱體的體積公式即可求得預(yù)制件的體積.【詳解】將預(yù)制件看成由一個(gè)長方體挖去一個(gè)底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體．所以（平方米），設(shè)該預(yù)制件的高為h，則該預(yù)制件的體積（立方米）．故澆制一個(gè)這樣的預(yù)制件需要約324立方米的混凝土．故答案為：324.15．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）為實(shí)數(shù)，，解得：或.（2）為純虛數(shù)，，解得：.16．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得結(jié)果；（2）先由三角恒等變換求得，再由正弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以；?）由（1）知，所以，又，所以，由正弦定理得.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連，且，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.（2）解：取中點(diǎn)，連，且為直三棱柱，為直角三角形且，平面，平面，，由（1）知，為直三棱柱，為中點(diǎn)，，，，平面，平面，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，有，得，故點(diǎn)到平面的距離為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，所以，又，所以．為等邊三角形，又是中點(diǎn)，，是直角三角形，，，，；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，，設(shè)，所以，，所以，其中，，，故，故當(dāng)時(shí)，取最小值，所以，此時(shí)．19．【答案