江西省贛州市十八縣（市）二十五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第五十三次期中聯(lián)考（4月） 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025年贛州市十八縣（市）二十五校第五十三次期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.考查范圍：必修第一冊(cè)占30%，必修第二冊(cè)第一章占40%，第二章第一節(jié)至第五節(jié)占30%。2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上。3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.1 B. C.0 D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知，為不共線向量，，若，為共線向量，則（）A.2 B.4 C. D.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若向量，，滿足，，且，，則在上的投影數(shù)量為（）A. B. C. D.6.如圖，不共線且不垂直的單位向量，的夾角為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，的正方向分別為軸、軸建立坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系稱為-斜坐標(biāo)系.若，則稱為在-斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，若，向量，在-斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，則（）A. B. C. D.7.已知，，，，則（）A.，且 B.，且 C.，且 D.，且8.若向量，滿足，則的最小值為（）A.0 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A.是第一象限角 B.C.與終邊相同的最大負(fù)角是 D.在內(nèi)與終邊相同的角只有1個(gè)10.下列函數(shù)是周期函數(shù)，且1是該函數(shù)一個(gè)周期的有（）A. B.C.，，D.11.若點(diǎn)是三邊中線的交點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C.當(dāng)最小時(shí)與重合 D.若，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某辦公室的打印機(jī)與電腦在一周內(nèi)發(fā)生故障的概率分別為0.2，0.1，且故障事件相互獨(dú)立，則這兩臺(tái)設(shè)備在一周內(nèi)都不發(fā)生故障的概率為______.13.若函數(shù)是奇函數(shù)，則______.14.若函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，；；.若方程在區(qū)間上有且僅有6個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知點(diǎn)在角的終邊上.（1）求的值；（2）求的值.16.（15分）近兩年，在AI概念的加持下，AR（增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)）眼鏡、AI（人工智能）眼鏡、VR（虛擬現(xiàn)實(shí)）眼鏡、音頻眼鏡等智能眼鏡迎來(lái)高光時(shí)刻，已知2022-2027年中國(guó)智能眼鏡市場(chǎng)規(guī)模統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及預(yù)測(cè)（單位：億元）依次為5，15，47，112，249，478.（1）求這6個(gè)數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)及平均數(shù)；（2）從這6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù)，求取到的2個(gè)數(shù)據(jù)都小于這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的概率.17.（15分）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象.（1）求的最大值及取得最大值時(shí)的取值集合；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的值域.18.（17分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，是圖象上相鄰的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)，線段與的圖象交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與的圖象的離最近的一個(gè)交點(diǎn)為，.（1）求的解析式；（2）求；（3）已知甲地某一天的氣溫（單位：℃）隨時(shí)間（單位：h）的變化曲線是圖象的一部分，若該地居民在氣溫低于0℃時(shí)開啟空調(diào)，求該地居民這一天開啟空調(diào)的時(shí)長(zhǎng).19.（17分）如圖，在中，點(diǎn)，，分別在邊，，上，且，，交于點(diǎn).（1）已知.（ⅰ）若是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，證明：；（ⅱ）若，，求的值；（2）若，，，證明：.

2025年贛州市十八縣（市）二十五校第五十三次期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則1.【答案】C【解析】.故選C.2.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所?故選B.3.【答案】D【解析】因?yàn)?，為不共線向量，且，為共線向量，所以，解得.故選D.4.【答案】C【解析】因?yàn)?故選C.5.【答案】A【解析】在上的投影數(shù)量為.故選A.6.【答案】A【解析】由題意知，，，所以，所以.故選A.7.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所?故選D.8.【答案】C【解析】，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，且，方向相反時(shí)取等號(hào)，所以，的最小值為.故選C.9.【答案】BD【解析】，是第三象限角，，故A錯(cuò)誤，B正確；與終邊相同的角，，取，得最大負(fù)角為，故C錯(cuò)誤；易得D正確.故選BD.10.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，是周期函數(shù)，最小正周期為2，1不是該函數(shù)的周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是周期函數(shù)，且1是該函數(shù)的周期，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以，，所以，1是該函數(shù)的一個(gè)周期，故C正確；對(duì)于D，若，則，此時(shí)，若，則，此時(shí)，綜上恒有，所以是周期函數(shù)，且1是該函數(shù)的一個(gè)周期，故D正確.故選BCD.11.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由三角形重心性質(zhì)知，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，建立坐標(biāo)系，設(shè)，，，，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)，且時(shí)，取得最小值，此時(shí)在線段上且與點(diǎn)重合，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選ACD.12.【答案】0.72【解析】這兩臺(tái)設(shè)備在一周內(nèi)都不發(fā)生故障的概率為.13.【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以.14.【答案】【解析】由，，可得是以為周期的周期函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以在區(qū)間上的前7個(gè)實(shí)根依次為，，，，，，，所以.15.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以.（2）因?yàn)椋?，所?16.解：（1）因?yàn)椋赃@6個(gè)數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是249，這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是.（2）從6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù)，樣本空間，共含有15個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件表示“取到的2個(gè)數(shù)據(jù)都小于6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)”，則，共含有6個(gè)樣本點(diǎn)，所以.17.解：（1），當(dāng)時(shí)，取得最大值3，此時(shí)，，即，，所以的取值集合是.（2）當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，所以，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?18.解：（1）根據(jù)的最大值為12，最小值為，得所以，，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)，均為圖象的對(duì)稱中心，所以，所以，，，把代入并化簡(jiǎn)得，又，所以，所以.（2）由已知及（1）可得，，，所以，，所以.（3）由，得，所以，解得，因?yàn)?，所以，?/p>