福建省漳州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

福建省漳州市第二中學(xué)2024—2025學(xué)年高一上學(xué)期1月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．7 D．152．若則的值是A．0 B．1 C． D．3．函數(shù)在上的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

4．“”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．6．若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒有.若，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．(多選)下列說(shuō)法中正確的有（

）A．命題p：，，則命題p的否定是B．“”是“”的必要條件C．命題“”是真命題D．“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根”的充要條件10．若，則（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足：，且.當(dāng)時(shí)，.則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為上的增函數(shù)三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?3．閱讀下面一段材料：已知三角形三邊長(zhǎng)分別為、、，則三角形的面積為，其中.這個(gè)公式被稱為海倫-秦九韶公式.根據(jù)此材料解答：已知中，，，則面積的最大值為.14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.四、解答題（本大題共5小題）15．計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)．(3)16．已知．(1)若為銳角，求的值；(2)求的值．17．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)水果資源豐富，積極打造水果生態(tài)小鎮(zhèn).經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，種植某種水果，當(dāng)施肥量單位：千克時(shí)，單株產(chǎn)量單位：千克滿足，此時(shí)全部交于收購(gòu)商打理，無(wú)額外支出，最后以12元/千克全部賣于收購(gòu)商，已知施肥量為2千克時(shí)，單株產(chǎn)量為12千克；后來(lái)改進(jìn)措施，加大施肥量，當(dāng)施肥量時(shí)，單株產(chǎn)量，模式變?yōu)樽晕夜芾?、改善水果品質(zhì)，單株額外增加了成本15x元如肥料、人工、機(jī)器等，最后以15元/千克全部賣出.(1)寫出單株利潤(rùn)元關(guān)于施肥量千克的關(guān)系式；(2)當(dāng)施肥量x為多少千克時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大?最大是多少元?18．已知函數(shù)是偶函數(shù)(1)求b的值;(2)直接指出函數(shù)的單調(diào)性不證明，并解不等式(3)證明：方程在有唯一實(shí)根，且19．對(duì)于定義在區(qū)間的函數(shù)，定義：，，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值.(1)若，，試寫出、的表達(dá)式；(2)設(shè)且，函數(shù)，，如果與恰好為同一函數(shù)，求的取值范圍；(3)若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案1．【答案】B【詳解】集合，，故，則有3個(gè)真子集.故選B.2．【答案】B【詳解】∵，∴，∴故選B.3．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以為奇函數(shù)，排除B，選項(xiàng)C滿足；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，排除A，D，選項(xiàng)C滿足．故選C．4．【答案】D【詳解】，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此，解得，選項(xiàng)中只有是的真子集，所以“”的一個(gè)充分不必要條件是.故選D.5．【答案】C【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)都是增函數(shù)，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)在上，即，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)在上，即，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)為，即，所以.故選C.6．【答案】D【詳解】①函數(shù)單調(diào)性遞增，則滿足，即，解得.②若函數(shù)單調(diào)性遞減，則滿足即，此時(shí)無(wú)解.綜上實(shí)數(shù)取值范圍為：.故選D.7．【答案】D【詳解】令，因?yàn)樗缘亩x域?yàn)?，則，又，，所以，所以為奇函數(shù)；在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，又也為增函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)；等價(jià)于，即，則解得：或，即關(guān)于x的不等式的解集為.故選D8．【答案】B【詳解】令，則，∴.令，則，∴，故為奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，恒有，∴，即，∴為上的增函數(shù).∵，且，∴，即.故選B.9．【答案】AD【詳解】對(duì)于A，命題p的否定是，A正確；對(duì)于B，不能推出，如，但；也不能推出，如，而，因此“”是“”的既不充分也不必要條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根，則，解得m<0，所以“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根”的充要條件，D正確．故選AD10．【答案】BC【詳解】由題意，原式，可變換為，即；當(dāng)時(shí)，，所以，即，與相矛盾，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，與相矛盾，故不符合題意；綜上：.故選BC.11．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，由題可知故，故A正確；對(duì)于B，由題可知，故B正確；對(duì)于C，，故為奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，是R上的減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選ABC.12．【答案】【詳解】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是.13．【答案】【詳解】由已知可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故面積的最大值為.14．【答案】【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，則，可得恒成立，所以，解得.且當(dāng)時(shí)，的定義域均為R，符合題意.15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）;（2）.（3）原式.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意先求，再利用兩角和的余弦公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)倍角公式結(jié)合兩角差的正切公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，為銳角，解得，所以．（2）由（1）可知，可得，所以，所以．17．【答案】(1)(2)當(dāng)施肥量為4千克時(shí)，單株利潤(rùn)最大為240元【詳解】（1）因?yàn)槭┓柿繛?千克時(shí)，單株產(chǎn)量為12千克，所以，解得，，.（2）當(dāng)時(shí)，令，則，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，，當(dāng)施肥量為4千克時(shí)，單株利潤(rùn)最大為240元.18．【答案】(1)(2)函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，或(3)證明見解析【詳解】（1）為偶函數(shù)對(duì)恒成立，，成立，（2）在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，由且為偶函數(shù)，，或，解得或（3）記，在為減函數(shù)，在其定義域上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，由零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性知，存在唯一，使即方程在有唯一實(shí)根，此時(shí)，，19．【答案】(1)，；，；(2)；(3)為上的“4階收縮函數(shù)”.【詳解】（1）因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，所以，；，.（2）因?yàn)榕c恰好為同一函數(shù)，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，令，可設(shè)，因?yàn)榈膱D象開口向下，對(duì)稱軸為，若，則在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，解得，不合題意；若，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，解得；綜上所述：的取值范圍為.（3）因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞