高中全程復(fù)習(xí)方略配套：2.11變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(人教a版·數(shù)學(xué)理)浙江專用

第十一節(jié)改變率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)計(jì)算第1頁三年9考高考指數(shù):★★★1.了解導(dǎo)數(shù)概念實(shí)際背景；2.了解導(dǎo)數(shù)幾何意義；3.能利用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)導(dǎo)數(shù)；4.能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(ax+b)復(fù)合函數(shù)）導(dǎo)數(shù).第2頁1.導(dǎo)數(shù)幾何意義是考查重點(diǎn)；2.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)基本內(nèi)容，在高考中每年必考，普通不單獨(dú)命題，常在考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用同時(shí)進(jìn)行考查；3.題型以選擇題和填空題為主，在解答題中會(huì)滲透導(dǎo)數(shù)運(yùn)算.第3頁1.導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義(1)定義：函數(shù)在x0處平均改變率，當(dāng)Δx→0時(shí)極限（即瞬時(shí)改變率）叫做函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或，即__________________________.(2)幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處__________.切線斜率第4頁【即時(shí)應(yīng)用】(1)思索：f′(x)與f′(x0)有何區(qū)分？提醒：f′(x)是x函數(shù)，f′(x0)只是f′(x)一個(gè)函數(shù)值.(2)曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處切線斜率是_____.【解析】∵y′=2x，∴曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處切線斜率是2.答案：2第5頁(3)函數(shù)f(x)=lnx圖象在點(diǎn)(e,f(e))處切線方程是_______.【解析】f′(e)=，∴所求切線方程為y-f(e)=f′(e)(x-e)，即y-lne=(x-e)，化簡(jiǎn)得x-ey=0.答案：x-ey=0第6頁2.基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式(1)(c)′=__；（c為常數(shù)）(2)(xα)′=______；(α∈Q*)(3)(sinx)′=_____；(4)(cosx)′=______；(5)(ex)′=___；(6)(ax)′=_____(a>0)；(7)(lnx)′=__；(8)(logax)′=_____(a>0且a≠1).0αxα-1cosx-sinxexaxlna第7頁【即時(shí)應(yīng)用】(1)y=x-5，則y′=_____.(2)y=4x，則y′=_____.(3)y=log3x，則y′=_____.(4)y=sin，則y′=_____.答案：(1)-5x-6(2)4xln4(3) (4)0第8頁3.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則若y=f(x)，y=g(x)導(dǎo)數(shù)存在，則(1)[f(x)±g(x)]′=______________；(2)[f(x)·g(x)]′=_____________________；(3)[]′=_______________________（g（x）≠0）.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)第9頁【即時(shí)應(yīng)用】(1)y=x3+sinx，則y′=_______.(2)y=x4-x2-x+3，則y′=_______.(3)y=(2x2+3)·(3x-2)，則y′=_______.(4)f(x)=，則f′(x)=_______.第10頁【解析】(1)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx.(2)y′=4x3-2x-1.(3)y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.或：y=6x3-4x2+9x-6,y′=18x2-8x+9.(4)f′(x)=.答案：(1)3x2+cosx(2)4x3-2x-1(3)18x2-8x+9(4)第11頁4.復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)若y=f(u),u=ax+b,則yx′=_________，即yx′=________.yu′·ux′yu′·a第12頁【即時(shí)應(yīng)用】(1)y=cos（x+φ）（0<φ<π）,則y′=_______.(2)y=,則y′=_______.(3)y=,則y′=_______.【解析】(1)設(shè)u=x+φ,則y′x=y′u·u′x=-sinu·=sin（x+φ）(2)設(shè)u=x2,則y′x=y′u·u′x=(eu)·2x=2x(3)設(shè)u=2x-1,則y′x=y′u·u′x=答案：(1)sin（x+φ）(2)2x(3)第13頁導(dǎo)數(shù)運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)方法(1)總標(biāo)準(zhǔn)：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo).(2)詳細(xì)方法①連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo).②根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo).第14頁③復(fù)雜分式：經(jīng)過分子上湊分母，化為簡(jiǎn)單分式和、差，再求導(dǎo).④復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).

第15頁【例1】(1)(·湖北高考）放射性元素因?yàn)椴煌Ｓ性臃派涑鑫⒘Ｗ佣兂善渌兀浜坎煌＝档?，這種現(xiàn)象稱為衰變，假設(shè)在放射性同位素銫137衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時(shí)間t（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：M(t)=其中M0為t=0時(shí)銫137含量，已知t=30時(shí)，銫137含量改變率是-10ln2（太貝克/年），則M(60)=()(A)5太貝克 (B)75ln2太貝克(C)150ln2太貝克 (D)150太貝克第16頁(2)求以下函數(shù)導(dǎo)數(shù).①y=x2sinx； ②y=；【解題指南】(1)利用已知條件先確定M0,再代入t=60求解.(2)①利用積導(dǎo)數(shù)法則；②利用商導(dǎo)數(shù)法則或先化簡(jiǎn)分式再求導(dǎo).第17頁【規(guī)范解答】(1)選D.因?yàn)镸′(t)=ln2×，則M′(30)=ln2×=-10ln2，解得M0=600，所以M(t)=600×，那么M(60)=600×=600×=150（太貝克），所以選D.(2)①y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.②方法一：第18頁方法二：∵,∴y′=1′+()′,即y′=.第19頁【互動(dòng)探究】把本例(2)②中函數(shù)改為y=，怎樣求導(dǎo)？【解析】第20頁【反思·感悟】準(zhǔn)確熟練地掌握基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，依據(jù)所給函數(shù)解析式特點(diǎn)，確定求導(dǎo)方法.第21頁【變式備選】求以下函數(shù)導(dǎo)數(shù)：(1)y=(1+)(1+)(2)y=3xex-lnx+e(3)y=ln(3x-2)+e2x【解析】(1)y=(1+)(1+)=2+,∴y′=.(2)y′=3xexln(3e)-(3)y′=+2e2x第22頁導(dǎo)數(shù)幾何意義【方法點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義是切點(diǎn)處切線斜率，應(yīng)用時(shí)主要表達(dá)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)A（x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值：k=f′(x0)；(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A（x1，f(x1))，即解方程f′(x1)=k；第23頁(3)已知過某點(diǎn)M（x1,f(x1)）（不是切點(diǎn)）切線斜率為k時(shí)，常需設(shè)出切點(diǎn)A（x0，f(x0))，利用求解.【提醒】審題時(shí)注意所給點(diǎn)是否是切點(diǎn).

第24頁【例2】(1)(·湖南高考）曲線y=在點(diǎn)M(,0)處切線斜率為()(A) (B) (C) (D)(2)(·山東高考）曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1，12)處切線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)是()(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15(3)(·綱領(lǐng)版全國(guó)卷）曲線y=e-2x+1在點(diǎn)（0,2）處切線與直線y=0和y=x圍成三角形面積為()(A) (B) (C) (D)1第25頁【解題指南】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，(1)能夠直接求出切線斜率；(2)先求出切線方程，得到與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)；(3)求切線與直線y=0和y=x交點(diǎn)，深入求面積.【規(guī)范解答】(1)選B.所以.第26頁(2)選C.∵y′=3x2，∴切線斜率為3,∴切線方程為y=3x+9，與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)是9.(3)選A.y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2，故曲線y=e-2x+1在點(diǎn)（0,2）處切線方程為y=-2x+2，易得切線與直線y=0和y=x交點(diǎn)分別為（1，0），（），故圍成三角形面積為.第27頁【互動(dòng)探究】若把本例(2)中“在點(diǎn)P（1，12）處”改為“過點(diǎn)P（1，12）”，其它條件不變，求此時(shí)切線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo).【解析】當(dāng)P為切點(diǎn)時(shí)，由例題(2)知，切線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為9.當(dāng)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，即，解得x0=或x0=1（舍去），∴切點(diǎn)為，切線方程為，與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為.第28頁【反思·感悟】1.要體會(huì)切線定義中運(yùn)動(dòng)改變思想，由割線→切線，由兩個(gè)不一樣公共點(diǎn)無限靠近→重合（切點(diǎn)）.2.利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線相關(guān)切線問題時(shí)，一定要抓住切點(diǎn)多面性：在曲線上、在切線上，該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)是切線斜率.第29頁【易錯(cuò)誤區(qū)】導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)【典例】(·杭州模擬）若存在過點(diǎn)（1，0）直線與曲線y=x3和y=ax2+-9都相切，則a等于()(A)-1或 (B)-1或(C)或 (D)或7第30頁【解題指南】因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)不在曲線y=x3上，所以應(yīng)從設(shè)切點(diǎn)入手來求切線方程，再利用切線與曲線y=ax2+-9相切求a值.【規(guī)范解答】選A.設(shè)過(1,0)直線與y=x3相切于點(diǎn)(x0,)，所以切線方程為(x-x0),即，又(1,0)在切線上，則x0=0或x0=，當(dāng)x0=0時(shí)，由y=0與y=ax2+x-9相切可得a=，當(dāng)時(shí)，由與y=相切可得a=-1，所以選A.第31頁【閱卷人點(diǎn)撥】經(jīng)過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們能夠得到以下誤區(qū)警示和備考提議：誤區(qū)警示在解答本題時(shí)有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)審題不仔細(xì)，未對(duì)點(diǎn)（1，0）位置進(jìn)行判斷，誤認(rèn)為（1,0）是切點(diǎn)；(2)當(dāng)所給點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，無法與導(dǎo)數(shù)幾何意義聯(lián)絡(luò).第32頁備考建議處理與導(dǎo)數(shù)幾何意義相關(guān)問題時(shí)，以下幾點(diǎn)在備考時(shí)要高度關(guān)注：(1)首先確定已知點(diǎn)是否為曲線切點(diǎn)是求解關(guān)鍵；(2)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則要熟練掌握；(3)對(duì)于直線方程與斜率公式求解要熟練掌握.第33頁1.(·重慶高考)曲線y=-x3+3x2在點(diǎn)(1,2)處切線方程為()(A)y=3x-1 (B)y=-3x+5(C)y=3x+5 (D)y=2x【解析】選A.由y′=-3x2+6x知,切線斜率為k=-3+6=3.所以切線方程為y-2=3(x-1),即y=3x-1.第34頁2.(·深圳模擬）已知f(x)=lnx(x>0),f(x)導(dǎo)數(shù)是f′(x)，若a=f(7),b=f′(),c=f′()，則a、b、c大小關(guān)系是()(A)c<b<a (B)a<b<c(C)b<c<a (D)b<a<c【解析】選B.a=f(7)=ln7,又f′(x)=,故b=f′()==2,c=f′()==3，故c>b>a.第3