七年級數(shù)學(xué)下冊講義（北師大版）第四章第06講 用尺規(guī)作三角形與利用三角形全等測距離(6類熱點題型講練)（解析版）

第06講用尺規(guī)作三角形與利用三角形全等測距離(6類熱點題

型講練)

1.理解角的有關(guān)概念：會用尺規(guī)按要求作三角形：已知兩邊及夾角作三角形,已知兩角及夾邊作三角形，已

知三邊作三角形.

2.通過尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)觀察分析、類比歸納的探究能力，加深對類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想

的認識.

3.能利用三角形的全等解決實際問題，體會數(shù)學(xué)于實際生活的聯(lián)系.

4.能在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達，提高分析解決問題的能力.

知識點01利用尺規(guī)作三角形

在學(xué)習(xí)之前先要對尺規(guī)作線段和尺規(guī)作角熟練掌握并應(yīng)用，根據(jù)給出的不同條件采用不同方法作出圖形；

有三種基本類型:

(1)已知三角形的兩邊及其夾角,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是SAS;

(2)已知三角形的兩角及其夾邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是ASA;

(3)已知三角形的三邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是SSS.

知識點02利用三角形全等測距離

1.當(dāng)兩點之間可以直接到達時，可以直接測量出兩點之間的距離；當(dāng)兩點之間不能直接到達時，可以構(gòu)造

全等三角形，將不能到達的兩點轉(zhuǎn)化到能夠到達的兩點來進行測量．

2.通過構(gòu)造全等三角形來進行測量有以下幾種方法：

構(gòu)造兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個全等三角形；

構(gòu)造兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個全等三角形；

構(gòu)造三邊對應(yīng)相等的兩個全等三角形.

總結(jié)：利用三角形全等來設(shè)計測量方案：首先根據(jù)已有的條件和欲測量的問題進行分析，明確要運用哪種

方法來構(gòu)建全等三角形，即將要用到哪種全等的判定方法；然后，在測量方案中把說明兩個三角形全等所

需要的條件毫無遺漏地“測量到位”．

題型01結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題

【例題】（22-23七年級下·遼寧沈陽·期末）已知ABC，按圖示痕跡做ABC，得到△ABC≌△ABC，則

在作圖時，這兩個三角形滿足的條件是()

A．ABAB，ACACB．BB，ABAB

C．AA，BB，CCD．ABAB，ACAC，BCBC

【答案】D

【分析】根據(jù)SSS證明三角形全等即可．

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．

【詳解】解：由作圖可知，ABAB，BCBC，ACAC，

在ABC和ABC中，

ABAB

ACAC

BCBC

ABC≌ABCSSS，

故選：D．

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24八年級上·福建福州·期中）用直尺和圓規(guī)作兩個全等三角形，如圖，能得到△COD≌△COD的

依據(jù)是（）

A．SAAB．ASAC．SSSD．AAS

【答案】C

【分析】本題考查復(fù)雜作圖，根據(jù)作圖的痕跡進行判斷即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作圖

是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由作圖得：OCODOCOD，CDCD，

在△COD和△COD中，

OCOC

ODOD，

CDCD

∴COD≌CODSSS，

∴能得到△COD≌△COD的依據(jù)是SSS．

故選：C．

2．（23-24八年級上·河北邢臺·期中）如圖，課本上給出了小明一個畫圖的過程，這個畫圖過程說明的事實

是（）

A．兩個三角形的兩條邊和夾角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等

B．兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，這兩個三角形全等

C．兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等

D．兩個三角形的兩個角和夾邊對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷即可．

【詳解】解：根據(jù)作圖可知：兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，其中角的對邊不確定，可能

有兩種情況，故三角形不能確定，

所以兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等，

故選：C．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．

題型02尺規(guī)作圖——作三角形

【例題】（23-24八年級上·浙江·期末）已知和線段a，b（如圖）．

(1)用直尺和圓規(guī)作ABC（點A在BC的上方），使B，BCa，ACb（做出圖形，保留痕跡，不

寫作法）．

(2)這樣的三角形能作幾個？

【答案】(1)見解析

(2)2

【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖

形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把

復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

（1）先作MBN，再在OM上截取BCa，然后以C為圓心，b為半徑畫弧交BN于A和A，則ABC

和ABC即為所作；

（2）由作圖即可得出答案．

【詳解】（1）解：如圖，ABC和ABC即為所作，

；

（2）解：由圖可得：這樣的三角形能作2個．

1．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）作三角形：已知：線段a、c和（如圖），利用直尺和圓規(guī)作ABC，

使BCa，ABc，ABC2．（不寫作法，保留作圖痕跡）．

【答案】見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，先作已知角，再作已知邊，即可求得結(jié)果，掌握尺規(guī)作圖的方法是解題的

關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖：①作MBN2，

②在BN上截取BCa，在BM上截取BAc，連接AC，

，

則ABC即為所求．

2．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，已知和線段a，b，用直尺和圓規(guī)作ABC，BCa，ACb

（保留作圖痕跡）

【答案】見詳解

【分析】本題考查了作圖，作一個角等于已知角和用已知線段畫三角形，先作MBN，再在BM上截

取BCa，然后以C為圓心，b為半徑畫弧交BN于A和A，則ABC和ABC滿足條件．

【詳解】解：這樣的三角形能作2個．

如圖，ABC和ABC為所作．

題型03全等三角形的性質(zhì)

【例題】（22-23八年級上·浙江臺州·期末）如圖，點A，D，B，E在同一直線上，△ABC≌△DEF，AD2，

DB3，則DE的長是．

【答案】5

【分析】本題考查三角形全等的性質(zhì)，根據(jù)△ABC≌△DEF得到ABDE，結(jié)合A，D，B，E在同一直

線上即可得到答案；

【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，

∴ABDE，

∵A，D，B，E在同一直線上，AD2，DB3，

∴DEADDB235，

故答案為：5．

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24八年級上·廣西百色·期末）如圖，ABC≌DEB，點E在AB上，DE與AC交于點F，D36，

C60，則CBD．

【答案】24/24度

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到DBEC60，AD35，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ABC，計算即可．

【詳解】解：△ABC≌△DEB，D36，C60，

DBEC60，AD36，ABCDEB，

ABC180AC84，

DBCABCDBE846024，

故答案為：24．

2．（22-23八年級下·福建福州·開學(xué)考試）如圖，ABC≌EDB，點E在AB上，CEBD90，若

AC4，DE5，則AE的長為．

【答案】1

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能求出BE，AB的長是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論．

【詳解】解：ABC≌EDB，

BEAC4，ABDE5，

AEABBE541，

故答案為：1

題型04利用全等三角形求動點問題的多解題

【例題】（23-24八年級上·湖北荊州·期中）如圖，AB12m，CAAB于A，DBAB于B，且AC4m，

P點從B向A運動，每分鐘走1m，Q點從B向D運動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發(fā)，運動分

鐘后，CAP與△PQB全等．

【答案】4

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知識．設(shè)運動x分鐘后CAP與△PQB全等；則

BPxm，BQ2xm，則AP(12x)m，分兩種情況：①若BPAC，則x4，此時APBQ，△CAP≌△PBQ；

②若BPAP，則12xx，得出x6，BQ12AC，即可得出結(jié)果．

【詳解】解：CAAB于A，DBAB于B，

AB90，

設(shè)運動x分鐘后CAP與△PQB全等；

則BPxm，BQ2xm，則AP(12x)m，

分兩種情況：

①若BPAC，則x4，

AP1248，BQ8，APBQ，

△CAP≌△PBQ；

②若BPAP，則12xx，

解得：x6，BQ12AC，

此時CAP與△PQB不全等；

綜上所述：運動4分鐘后CAP與△PQB全等；

故答案為：4．

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，AB4，AB，ACBD3，點P在線段AB上以每

秒1個單位長度的速度由點A向點B運動．同時，點Q在線段BD上以每秒x個單位長度的速度由點B向

點D運動，當(dāng)一點到達終點時，另一點也停止運動．當(dāng)△ACP與VBPQ全等時，x的值為．

3

【答案】1或

2

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于分情況求解．由題意知當(dāng)

△ACP與VBPQ全等，分△ACP≌△BPQ和△APC≌△BPQ兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．

【詳解】解：由題意知，APt，BP4t，BQxt，

△ACP與VBPQ全等，AB，

∴分兩種情況求解：

①當(dāng)△ACP≌△BPQ時，APBQ，即txt，解得x1；

②當(dāng)△APC≌△BPQ時，APBP，即t4t，

解得t2，

3

ACBQ，即3xt，解得x；

2

3

綜上所述，x的值是1或，

2

3

故答案為：1或．

2

2．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，在ABC中，ACB90，AC6，BC8，點C在直線

l上．點P從點A出發(fā)，在三角形邊上沿ACB的路徑向終點B運動；點Q從B點出發(fā)，在三角形邊上

沿BCA的路徑向終點A運動．點P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時開始運動，在運動過

程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應(yīng)的終點時整個

運動才能停止．在某時刻，分別過P和Q作PEl于點E，QFl于點F，則點P的運動時間等于秒

時，PEC與△CFQ全等．

14

【答案】2或或12

3

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵：分四種情況，點P在AC上，點Q在BC

上；點P、Q都在AC上；點P到BC上，點Q在AC上；點Q到A點，點P在BC上．

【詳解】解：PEC與△CFQ全等，

斜邊PC=斜邊CQ，

分四種情況：

當(dāng)點P在AC上，點Q在BC上，如圖：

CPCQ，

6t82t，

t2，

當(dāng)點P、Q都在AC上時，此時P、Q重合，如圖：

CPCQ，

6t2t8，

14

t，

3

當(dāng)點P到BC上，點Q在AC上時，如圖：

CPCQ，

t62t8，

t2，不符合題意，

當(dāng)點Q到A點，點P在BC上時，如圖：

CQCP，

6t6，

t12，

14

綜上所述：點P的運動時間等于2或或12秒時，PEC與△CFQ全等，

3

14

故答案為：2或或12．

3

題型05利用三角形全等測距離

【例題】（23-24八年級上·河南信陽·期末）如圖，數(shù)學(xué)實踐小組想要測量某公園的人工湖兩端A，B之間的

距離，由于條件限制無法直接測得．請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識幫他們按以下要求設(shè)計一種測量方案．

(1)畫出測量示意圖；

(2)寫出測量的步驟；（測量數(shù)據(jù)用字母表示）

(3)計算A，B之間的距離．（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

(3)設(shè)CDa，A，B之間的距離為a

【分析】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩個全等的三角形．

（1）由于無法直接測得，故間接構(gòu)造兩個涉及AB邊的全等三角形，如解析所示；

（2）在湖岸上找可以直接到達A，B的一點O，構(gòu)造OAOC，OBOD，即可；

（3）利用SAS證明VOAB≌VOCD，由全等三角形的性質(zhì)可得ABCD，則CD的長度就是AB的長度．

【詳解】（1）解：測量示意圖如下圖所示；

（2）在湖岸上找可以直接到達A，B的一點O，連接AO并延長到C使得OAOC，連接BO并延長到點D

使得OBOD，連接CD，則ABCD，測量CD的長度a，即AB的長度為a；

（3）設(shè)CDa，

由測量方案可知OAOC，OBOD，

在OAB和OCD中，

OAOC

AOBCOD，

OBOD

∴OAB≌OCD(SAS)，

∴ABCDa．

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）小明和小亮準備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測一池塘的長度，經(jīng)過實地測量，繪

制如下圖，點B、F、C、E在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側(cè)，且

AB∥DE，AD，測得ABDE．

(1)求證：△ABC≌△DEF；

(2)若BE120m，BF38m，求池塘FC的長度．

【答案】(1)證明詳見解析；

(2)44m．

【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等．

（1）根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)，全等三角形判定即可得到本題答案；

（2）根據(jù)題意利用第（1）問結(jié)論由全等三角形性質(zhì)即可得到本題答案．

【詳解】（1）解：∵AB∥DE，

∴ABCFED，

∵在ABC和DEF中，

ABCFED

ABDE，

AD

∴△ABC≌△DEF；

（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DEF，

∴BCEF，

∴BCFCEFFC，

∴BFCE，

又∵BF38m，

∴BFCE＝38m，

又∵BE120m，

∴FCBEBFCE44m，

∴池塘FC的長為44m．

2．（23-24八年級上·湖北恩施·期末）如圖，學(xué)生甲學(xué)習(xí)了全等三角形后，想測草坪旁池塘兩岸相對兩點A，

B的距離．請你給學(xué)生甲設(shè)計一個測量方案，并證明按你的方案進行測量，其結(jié)果是正確的．

(1)簡單說明你設(shè)計的方案，并畫出圖形；

(2)證明你的方案的可行性，即證明按你的方案進行測量，其結(jié)果是正確的．

【答案】(1)方案見解析；

(2)證明見解析．

【分析】本題考查全等三角形的應(yīng)用---方案設(shè)計，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)設(shè)計圖形即可；

（2）利用“ASA”即可證明方案的可行性．

【詳解】（1）解：如圖所示：

過B作BDAB，過D作DFBD，取BD的中點C，連接AC并延長交DF于點E

測量線段DE的長即可．

（2）證明：∵BDAB，DFBD，

∴ABCCDE90，

∵C為BD的中點，

∴BCCD，

∴在ABC和△EDC中：

ABC=CDE

BC=CD

ACB=DCE

∴△ABC≌△EDC，

∴ABED．

題型06全等三角形的綜合問題

【例題】（22-23八年級上·河北石家莊·期中）已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，

ABC120，MBN60，MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．

(1)當(dāng)MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AECF時（如圖1），試猜想線段AE、CF、EF之間存在的數(shù)量關(guān)系為

__________．（不需要證明）；

(2)當(dāng)MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予

證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．

【答案】(1)AECFEF

(2)以上結(jié)論不成立，應(yīng)為AECFEF，證明見詳解

【分析】本題幾何變換綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助性、掌握全等三角形的

判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

（1）延長DC至點K，使CKAE，連接BK，分別證明BAE≌BCK、KBF≌EBF，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論；

（2）延長DC至G，使CGAE，仿照（1）的證明方法解答．

【詳解】（1）解：AECFEF，

理由如下：延長DC至點K，使CKAE，連接BK，

在BAE與BCK中，

BABC

BAEBCK，

AECK

∴BAE≌BCK（SAS），

∴BEBK，ABEKBC，

∵FBE60，ABC120，

∴FBCABE60，

∴FBCKBC60，

∴KBFFBE60，

在KBF與△EBF中，

BKBE

KBFEBF，

BFBF

∴KBF≌EBF（SAS），

∴KFEF，

∴AECFKCCFKFEF；

（2）解：以上結(jié)論不成立，應(yīng)為AECFEF，

理由如下：延長DC至G，使CGAE，

由（1）可知，BAE≌BCG（SAS），

∴BEBG，ABEGBC，

GBFGBCFBCABEFBC120FBC60FBC60，

∴GBFEBF，

∵BGBE，GBFEBF，BFBF，

∴GBF≌EBF，

∴EFGF，

∴AECFCGCFGFEF．

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24八年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）在MAN點D，過點D分別作DBAM，DCAN，垂足分別

為B，C．且BDCD，點E，F(xiàn)分別在邊AM和AN上．

(1)如圖1，若DBED=DCFD，請說明DEDF

(2)如圖2，若BDC120，EDF60，猜想EF，BE，CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的

理由．

【答案】(1)證明見解析

(2)EFBECF，理由見解析

【分析】（1）由DBAM，DCAN，可得DEBD=DFCD，結(jié)合BDCD，DBED=DCFD，可證

BED≌CFDASA，即可求解，

（2）在BM上取點G，使BGCF，通過證明GBD≌FCD，GDE≌EFD，即可求解，

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過輔助線構(gòu)造全等三角形．

【詳解】（1）解：DBAM，DCAN，

EBDFCD，

BDCD，DBED=DCFD，

BED≌CFDASA，

DEDF，

（2）解：在BM上取點G，使BGCF，

DBAM，DCAN，

GBDFCD，

BDCD，BGCF，

GBD≌FCDSAS，

DGDF，GDBFDC，

BDC120，EDF60，

EDBFDC1206060，

EDBGDB60，即EDG60，

GDE≌EFDSAS，

EFEG，即：EFBEBGBECF，

EFBECF．

2．（23-24八年級上·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，C90，AB20cm，AC16cm，

BC12cm，現(xiàn)有一動點P從點A出發(fā)，沿著三角形的邊ACCBBA運動，回到點A停止，速度為2cm/s，

設(shè)運動時間為ts．

1

(1)如圖1，當(dāng)ts時，SS；

BPC2ABC

(2)如圖2，在DEF中，E90，DE8cm，DF10cm，DA．在ABC的邊上，若另外有一個動

點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊ABBCCA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，

恰好△APQ與DEF全等，求點Q的運動速度．

【答案】(1)4或19

540

(2)兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ與DEF全等，點Q的運動速度為cm/s或cm/s或

219

198

cm/scm/s或cm/s

105

【分析】本題考查全等三角形與動點的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合

和分類討論的思想進行解答．

1

（1）點P運動的速度為2cm/s，則AP2t，PC162t；根據(jù)SS，分類討論：①點P在AC上

BPC2ABC

時；②點P在AB上時，進行解答，即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，分類討論：①當(dāng)點P在AC上，APDE8cm，AQDF10cm，APQ≌DEF；

②當(dāng)點P在AB上，點Q在AC上，APDF10cm，AQDE8cm，APQ≌DFE；③當(dāng)點P在AB上，

AP8cm，AQ10cm，APQ≌DEF；④當(dāng)點P在AC上，點Q在AB上，AP10cm，AQ8cm，

APQ≌DFE，求出對應(yīng)的點Q的運動速度，即可．

【詳解】（1）∵點P運動的速度為2cm/s，

①點P在AC上時，

∴AP2t，PC162t

∵BC12cm，

11

∴SBCAC，SBCPC，

ABC2BPC2

1

∵SS，

BPC2ABC

1

∴PCAC，

2

1

∴162t168，

2

解得：t=4s；

②點P在AB上時，過點P作PDBC于點D，

∴點P的運動路程為2t，

11

∴SBCAC，SBCPD，

ABC2BPC2

1

∵SS，

BPC2ABC

1

∴ACPD8cm，

2

∵ABC是直角三角形，

1

∴當(dāng)點P在AB的中點時，SS，PB10cm，

BPC2ABC

∴2tACCBBP16121038cm，

解得：t19s；

故答案為：4或19；

（2）∵在DEF中，E90，DE8cm，DF10cm，DA，

∴①當(dāng)點P在AC上，APDE8cm，AQDF10cm，APQ≌DEF；

5

∴點Q的速度為：1082cm/s；

2

②當(dāng)點P在AB上，點Q在AC上，APDF10cm，AQDE8cm，APQ≌DFE，

40

∴點Q的速度為：40382cm/s；

19

③當(dāng)點P在AB上，AP8cm，AQ10cm，APQ≌DEF，

∴點P運動的距離為：121620840cm，

點Q運動的距離為：1216201038cm，

19

∴點Q的速度為：38402cm/s；

10

④當(dāng)點P在AC上，點Q在AB上，AP10cm，AQ8cm，APQ≌DFE

8

∴點Q的速度為：8102cm/s；

5

540

綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ與DEF全等，點Q的運動速度為cm/s或cm/s或

219

198

cm/scm/s或cm/s．

105

一、單選題

1．（23-24八年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的ABC的是（）

A．AB3，BC4，AC7B．AB4，BC3，A30

C．AB，AB6D．A60，B45，AC4

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關(guān)系定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此

題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．

根據(jù)全等三角形的判定定理和三角形的三邊關(guān)系理逐個判斷即可．

【詳解】解：A、347，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能畫出三角形，故本選項不符合題意；

B、AB4，BC3，A30，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合

題意；

C、AB，AB6，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；

D、A60，B45，AC4，符合全等三角形的判定定理AAS，能畫出唯一的三角形，故本選項符合

題意；

故選：D．

2．（23-24八年級上·云南·階段練習(xí)）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作ABP，使之與ABC全等，從

P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，由網(wǎng)格中點的對稱性，結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等判斷即可，

掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖所示：

ABP4≌ABC,ABP3≌ABP1,ABP4≌BAP1，

即△ABC≌△ABP4；△ABC≌△BAP3；△ABC≌△BAP1；

符合條件的點有P1，P3，P4，共有3個，

故選：C．

3．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，點B在線段AE上，ABC≌DBE，BC3，AB5，則CD

的長為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等解決問題，掌握全等三角形的性質(zhì)

的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵ABC≌DBE，AB5，

∴BDAB5，

又∵BC3，

∴CDBDBC523，

故選：B．

4．（23-24八年級上·福建泉州·期中）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于點F，交DE于點G．若

AED105，CAD20，B30，則1的度數(shù)為（）

A．50B．65C．60D．55

【答案】B

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，由△ABC≌△ADE，則ACB與AED是一

組對應(yīng)角，B與D是一組對應(yīng)角，對于ACF，外角ACB等于除ACF外的兩個內(nèi)角之和，求得AFC，

再在DFG中，由三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果．

【詳解】解：△ABC≌△ADE，AED105，B30，

ACBAED105，BD30．

由三角形外角的性質(zhì)可得ACBAFCCAD，

AFCACBCAD85．

GFDAFC85．

GFD85，D30，

165．

故選：B．

5．（23-24八年級上·河南開封·期末）如圖，已知A和一條長度為a的線段，作一個以A為底角，a為腰

長的等腰三角形的方法是：①連接FG；②以點F為圓心，a的長為半徑畫弧，交射線DM于點G；③在

A的兩邊上截取ABa,ACa；④畫射線DM，以點D為圓心，a的長為半徑畫弧，在射線DM上截取

DE，并以點E為圓心，BC的長為半徑畫弧，兩弧交于點F．以上畫法正確的順序是（）

A．③④①②B．④③②①C．③④②①D．④③①②

【答案】C

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖和等腰三角形的作圖，解決本題的關(guān)鍵是理解等腰三角形的作圖過程，根據(jù)

尺規(guī)作等腰三角形的過程逐項判斷即可解答．

【詳解】解：已知A和一條長度為a的線段，作一個以A為底角，a為腰長的等腰三角形的方法是：

③在A的兩邊上截取ABa,ACa；

④畫射線DM，以點D為圓心，a的長為半徑畫弧，在射線DM上截取DE，并以點E為圓心，BC的長為

半徑畫弧，兩弧交于點F；

②以點F為圓心，a的長為半徑畫弧，交射線DM于點G；

①連接FG．

DFG即為所求作的三角形．

畫法正確的順序是③④②①，

故選C．

二、填空題

6．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，ABC≌DCE，若AB6，DE13，則AD；

【答案】7

【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵ABC≌DCE，

∴ACDE13，CDAB6，

∴ADACCD1367，

故答案為：7．

7．（22-23七年級下·山東濟南·階段練習(xí)）如圖，在55的正方形網(wǎng)格中，ABC的三個頂點都在格點上，則

與ABC有一條公共邊且全等（不與ABC重合）的格點三角形（頂點都在格點上的三角形）共有個．

【答案】6/六

【分析】根據(jù)全等三角形的判定分別求出以AB為公共邊的三角形，以BC為公共邊的三角形，以AC為公

共邊的三角形的個數(shù)，相加即可．

【詳解】解：如圖所示，

以BC為公共邊可畫出BDC、BEC、△BFC三個三角形和原三角形全等；

以AB為公共邊可畫出ABG、ABM、ABH三個三角形和原三角形全等；

以AC為公共邊不可以畫出三角形和原三角形全等；

所以共有6個三角形和原三角形全等，

故答案為：6．

【點睛】本題考查全等三角形的判定，三條邊分別相等的兩個三角形全等，以及格點的概念，熟練掌握全

等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．

8．（23-24八年級上·云南昆明·期末）如圖，AB4cm,BC6cm,BC，如果點P在線段BC上以2cm/秒

的速度由B點向C點運動，同時，點Q從C點出發(fā)沿射線CD運動．若經(jīng)過t秒后，ABP與VCQP全等，則

t的值是．

3

【答案】1或

2

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，列出方程是解題的關(guān)鍵．利用

分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)△ABP≌△PCQ和②當(dāng)△ABP≌△QCP時，設(shè)運動時間為

t秒，點Q的運動速度為acm/秒，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，列出方程即可求解．

【詳解】解：設(shè)P．Q兩點的運動時間為t秒，點Q的運動速度為acm/秒，

則BP2tcm，PC(62t)cm，CQxtcm．

AB4cm，

①當(dāng)△ABP≌△PCQ時，

BACP，BPCQ．

62t4，

t1；

②當(dāng)△ABP≌△QCP時，

BACQ4cm，BPCP3cm，

2t3，

3

t．

2

3

綜上，當(dāng)t的值是1或時，能夠使ABP與VCQP全等．

2

3

故答案為：1或．

2

9．（21-22七年級下·山東煙臺·期中）如圖，點B在直線l上，分別以線段BA的端點為圓心，以BC（小于

線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點C，D，E，再以點E為圓心，以CD長為半徑畫弧

交前面的弧于點F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)

為．

【答案】35°/35度

【分析】連接CD，EF．由題目中尺規(guī)作圖可知：BDBCAE=AF，CDEF．可證△CDB≌△FAE，

所以CBABAF70，可得AF//CB．所以FAHAHB．由于AH平分BAF，所以

1

FAHBAHBAF35．即：AHB=FAH35．

2

【詳解】解：連接CD，EF

由題目中尺規(guī)作圖可知：BDBCAE=AF，CDEF

在△CDB和FAE中

CDEF

BDAE

CBAF

△CDB≌△FAE

CBAEAF70

AF//CB

FAHAHB

AH平分BAF

1

FAHBAHBAF35

2

AHB=FAH

AHB=35

故答案為：35．

【點睛】本題主要考查知識點為，全等三角形的性質(zhì)及判定、定點為圓心定長為半徑的性質(zhì)、平行線的判

定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定，

角平分線的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．

10．（23-24八年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB4,AD6，延長BC到點E，使CE2，

連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC→CD→DA向終點A運動，設(shè)點P的運動時間

為t秒，當(dāng)t的值為秒時，ABP與△DCE全等．

【答案】1或7

【分析】本題考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA,SAS,AAS,SSS,HL．根據(jù)題意，分兩種情況進

行討論，根據(jù)題意得出BP2t2和AP162t2即可求得．

【詳解】解：由題意得：ABCD，

若ABPDCE90,BPCE2，

根據(jù)SAS證得△ABP≌△DCE，

BP2t2，即t1，

若BAPDCE90,APCE2，

根據(jù)SAS證得BAP≌DCE，

AP162t2，即t7．

當(dāng)t的值為1或7秒時．ABP與△DCE全等．

故答案為：1或7．

三、解答題

11．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，已知ABCF，點D是AB上一點，DF交AC于點E，且DEFE．

(1)求證：ADE≌CFE；

(2)若AB7，CF4，求BD的長．

【答案】(1)證明見解析

(2)3

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．選擇合適的判定方法是解題的關(guān)鍵．

（1）利用角角邊定理判定即可；

（2）利用全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD的長，用ABAD即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）證明：ABCF，

AECF，ADEF，

在VADE和CFE中，

AECF

ADEF，

DEFE

△ADE≌△CFE(AAS)；′

（2）解：由（1）知，ADE≌CFE，

ADCF4，

AB7，

BDABAD743．

12．（20-21八年級上·四川南充·期末）某中學(xué)八年級學(xué)生進行課外實踐活動，要測池塘兩端A，B的距離，

因無法直接測量，經(jīng)小組討論決定，先在地上取一個可以直接到達A，B兩點的點O，連接AO并延長到點

C，使AO＝CO；連接BO并延長到點D，使BO＝DO，連接CD并測出它的長度．

（1）根據(jù)題中描述，畫出圖形；

（2）CD的長度就是A，B兩點之間的距離，請說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．

【詳解】解：（1）圖形如圖所示：

（2）連接AB．

在△AOB和△COD中，

AOCO

AOBCOD，

OBOD

∴△AOB≌△COD（SAS），

∴AB＝CD，

∴CD的長度就是A，B兩點之間的距離．

【點睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用全等

三角形的性質(zhì)解決問題．

13．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）小明利用一根長為2m的竿子CD來測量路燈桿AB的高度（ABBD），

方法如下：如圖，在地面上選一點P，使BP2m，然后把CD在BP的延長線上左右移動，使CPA90，

且CDBD，此時測得BD10m．

(1)求證：CPD≌PAB．

(2)求路燈桿AB的高度．

【答案】(1)見解析

(2)AB8m

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的應(yīng)用：

（1）根據(jù)題意求出CPDPAB，根據(jù)AAS即可證明CPD≌PAB；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得路燈桿AB的高度．

【詳解】（1）證明：∵CPA90，

∴CPDAPB90,

∵ABP90,

∴APBPAB90,

∴CPDPAB，

在△CPD和PAB中，

CDPPBA90

CPDPBA，

CDPB

∴CPD≌PABAAS；

（2）解：∵BD10m，BP2m，

∴DPDBBP1028(m)，

∵CPD≌PAB，

∴ABDP8m．

14．（22-23八年級上·江西贛州·期中）小光的爺爺為我們講述了一個他親身經(jīng)歷的故事：

在抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀與我軍陣地隔河相望的日軍碉堡，需要測出我軍陣地到日軍碉堡的距離，由于

沒有任何測量工具，我軍戰(zhàn)士為此盡腦汁．這時，一位聰明的戰(zhàn)士想出了辦法，成功炸毀了碉堡．

（1）你認為他是怎樣做到的？

方法是：戰(zhàn)士面向碉堡的方向站好，調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個

角度，保持剛才的姿勢，這時，視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的方法量出自己與那

個點的距離，這個距離就是他與碉堡的距離．

（2）你能根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法，畫出相應(yīng)的圖形嗎？

①畫出相應(yīng)的圖形．

②戰(zhàn)士用的方法中，已知條件是什么？戰(zhàn)士要測的是什么？（結(jié)合圖形寫出）

③請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明戰(zhàn)士這樣測的理由．

【答案】①見解析；②ABCD，ABCABD；③ADAC．理由見解析．

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法，畫出相應(yīng)的圖形是解決問題的關(guān)鍵．

根據(jù)垂直的定義得到BADBAC90，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．

【詳解】解：①如圖，

②已知條件是ABCD，ABCABD．

③戰(zhàn)士要測的是ADAC．

理由：ABCD，

BADBAC90，

在△ABD與ABC中，

ABDABC

ABAB，

BADBAC90

ABD≌ABCASA，

∴ADAC．

15．（23-24八年級上·吉林·期末）（1）如圖1，在ABC中，BAC90，ABAC，直線m經(jīng)過點A，BD

直線m．CE直線m，垂足分別為D，E．求證：DEBDCE．

（2）如圖2，將（1）中的條件改為在ABC中，ABAC，D，A，E三點都在直線m上，且有

BDAAECBAC，其中為任意鈍角，請問結(jié)論DEBDCE是否仍然成立？若成立，請給出

證明；若不成立，請說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

（1）由直角三角形的性質(zhì)及平角的定義得出