特選高考彈簧問題詳解

特選高考彈簧問題專題詳解

高考彈簧問題專題詳解

高考動(dòng)向國

彈簧問題能夠較好的培養(yǎng)學(xué)生的分析解決

問題的能力和開發(fā)學(xué)生的智力，借助于彈簧問

題，還能將整個(gè)力學(xué)知識(shí)和方法有機(jī)地結(jié)合起來

系統(tǒng)起來，因此彈簧問題是高考命題的熱點(diǎn)，

歷年全國以及各地的高考命題中以彈簧為情景

的選擇題、計(jì)算題等經(jīng)常出現(xiàn)，很好的考察了學(xué)

生對(duì)靜力學(xué)問題、動(dòng)力學(xué)問題、動(dòng)量守恒和能量

守恒問題、振動(dòng)問題、功能關(guān)系問題等知識(shí)點(diǎn)的

理解，考察了對(duì)于一些重要方法和思想的運(yùn)用。

知識(shí)升華國

一'彈簧的彈力施

1、彈簧彈力的大小國

彈簧彈力的大小由胡克定律給出，胡克定律

的內(nèi)容是：在彈性限度內(nèi)，彈力的大小與彈簧的

形變量成正比。數(shù)學(xué)表達(dá)形式是：F=kx其中k

是一個(gè)比例系數(shù)，叫彈簧的勁度系數(shù)。

說明：

①彈力是一個(gè)變力，其大小隨著彈性形變的

大小而變化，還與彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)；

②彈簧具有測(cè)量功能，利用在彈性限度內(nèi)，

彈簧的伸長（或壓縮）跟外力成正比這一性質(zhì)可

制成彈簧秤。

2、彈簧勁度系數(shù)國

彈簧的力學(xué)性質(zhì)用勁度系數(shù)描寫，勁度系數(shù)

的定義因彈簧形式的不同而不同，以下主要討論

螺旋式彈簧的勁度系數(shù)。

（1）定義：在彈性限度內(nèi)，彈簧產(chǎn)生的彈

力F（也可認(rèn)為大小等于彈簧受到的外力）和彈

簧的形變量（伸長量或者壓縮量）x的比值，也

就是胡克定律中的比例系數(shù)k。

（2）勁度系數(shù)的決定因素：勁度系數(shù)的大

小由彈簧的尺寸和繞制彈簧的材料決定。

彈簧的直徑越大、彈簧越長越密、繞制彈簧

的金屬絲越軟越細(xì)時(shí)，勁度系數(shù)就越小，反之那

么越大。如兩根完全相同的彈簧串聯(lián)起來，其勁

度系數(shù)只是一根彈簧勁度系數(shù)的一半，這是因?yàn)?/p>

彈簧的長度變大的緣故；假設(shè)兩根完全相同的彈

簧并聯(lián)起來，其勁度系數(shù)是一根彈簧勁度系數(shù)的

兩倍，這是相當(dāng)于彈簧絲變粗所導(dǎo)致；

二、輕質(zhì)彈簧的一些特性施

輕質(zhì)彈簧：所謂輕質(zhì)彈簧就是不考慮彈簧本

身的質(zhì)量和重力的彈簧，是一個(gè)理想化的模型。

由于它不需要考慮自身的質(zhì)量和重力對(duì)于運(yùn)動(dòng)

的影響，因此運(yùn)用這個(gè)模型能為分析解決問題提

供很大的方便。

性質(zhì)1、輕彈簧在力的作用下無論是平衡狀態(tài)還

是加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，各個(gè)局部受到的力大小是相同

的。其伸長量等于彈簧任意位置受到的力和勁度

系數(shù)的比值。蠲

如圖1和2中相同的輕彈簧，其端點(diǎn)受到相

同大小的力時(shí)，無論彈簧是處于靜止、勻速還是

加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，各個(gè)彈簧的伸長量都是相同的。

-------?

圖1

Qww——

M

圖2

性質(zhì)2、兩端與物體相連的輕質(zhì)彈簧上的彈力不

能在瞬間變化一一彈簧緩變特性；有一端不與物

體相連的輕彈簧上的彈力能夠在瞬間變化為零。

由

0如在圖1、2、3、4、中撤出任何一個(gè)力

的瞬間，彈簧的長度不會(huì)變化，彈力的大小也不

會(huì)變化；但是在圖5中撤出力F的瞬時(shí)，彈簧恢

復(fù)原長，彈力變?yōu)榱?。?/p>

F

t

x

yfwwlj-F

F—4口【畫石胃口一F

l

s

圖1圖4

d

圖2圖5

說明：

①上述結(jié)論可以通過彈簧和物體組成系統(tǒng)

的振動(dòng)周期公式”2對(duì)三加以理解，彈簧恢復(fù)原長

需要四分之一個(gè)周期，并且物體的質(zhì)量越大勁度

系數(shù)越小，恢復(fù)時(shí)間就越長。物體的質(zhì)量非常小

時(shí)，可以認(rèn)為無限短的時(shí)間就可以恢復(fù)原長。

②重的彈簧可以等價(jià)于輕彈簧連接著一個(gè)

物體，彈簧自由端的恢復(fù)也仍然需要一點(diǎn)時(shí)間。

性質(zhì)3、彈簧的形變有拉伸和壓縮兩種情形，拉

伸和壓縮形變對(duì)應(yīng)彈力的方向相反。分析彈力

時(shí)，在未明確形變的具體情況時(shí)，要考慮到彈力

的兩個(gè)可能的方向。施

性質(zhì)4、彈力的大小與形變量成正比，方向與形

變的方向相反，即F二-kx,是一個(gè)線性回復(fù)力,

物體在彈簧彈力的作用下，通常會(huì)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

國

以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為模型分析動(dòng)力學(xué)問題會(huì)減少

錯(cuò)誤帶來方便。例如一個(gè)質(zhì)量為M的物體從高

處自由下落在一個(gè)彈簧上，試分析物體的運(yùn)動(dòng)情

況。由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的知識(shí)知道，物體一旦接觸彈簧

其運(yùn)動(dòng)就進(jìn)入了簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程，必定存在一個(gè)平

衡位置（如圖中O的位置，重力等于彈力），物

體靠近平衡位置的階段必定是速度增大、加速度

減小，遠(yuǎn)離平衡位置的階段，必定是速度減小、

加速度增大。

M□

Q

A

XX

如果結(jié)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性還可以方便地

分析力的變化、能量的變化等問題，應(yīng)當(dāng)注意體

會(huì)和運(yùn)用。

性質(zhì)5、彈性勢(shì)能和彈力的功施

(1)彈性勢(shì)能

①彈性勢(shì)能的大?。簭椈赡軌騼?chǔ)存彈性勢(shì)

能，它儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能的大小與彈性形變量的大

小和勁度系數(shù)有關(guān)，斗弓媒(運(yùn)用此式的定量計(jì)

算在高中階段不作要求，只做理解彈性勢(shì)能的依

據(jù))。

②彈性勢(shì)能的計(jì)算：彈性勢(shì)能的定量計(jì)算依

據(jù)功能關(guān)系或能的轉(zhuǎn)化和守恒定律。

⑵彈力的功

彈力的功是變力的功，因?yàn)閺椓﹄S著位移是

線性變化的，所以彈力功的大小可以用平均力

-1-11

F=5F求得即，取=取=5雙=5小

說明：

①上式是彈簧由原長到伸長或者壓縮x長

度的過程彈力做的功，上式中的F是形變量為x

時(shí)的彈力。

②當(dāng)形變量由Xi變?yōu)閄2時(shí)彈力功的大小為

-1100

取二尸-=2(片+用心=-雙電一百)

(3)彈力功的特點(diǎn)

彈簧彈力的功與路徑無關(guān)——同一彈簧在

某一過程中彈力的功只是取決于初末狀態(tài)彈簧

形變量的大小，與彈力的作用點(diǎn)經(jīng)過的路徑?jīng)]有

關(guān)系。這一點(diǎn)對(duì)于計(jì)算彈力的功和彈性勢(shì)能是非

常重要的，必須引起重視。

(4)彈性勢(shì)能與彈力功的關(guān)系

①彈力做正功時(shí)彈性勢(shì)能減少；彈力做負(fù)功

時(shí)彈性勢(shì)能增加。

②彈力的功等于彈性勢(shì)能增量的負(fù)值即：

取=一△瑪

三、彈簧問題的題目類型施

1、求彈簧彈力的大小（或彈簧秤的示數(shù)）

2、求彈簧的形變量（伸長、壓縮、原長、

總長以及作用點(diǎn)的位移）

3、求與彈簧相連接的物體的瞬時(shí)加速度

4、在彈力作用下物體運(yùn)動(dòng)情況分析——彈

簧在相對(duì)位置發(fā)生變化時(shí),所引起的力、加速度、

速度、功能等物理量發(fā)生變化的情況

5、與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題

6、有彈簧參與的臨界問題和極值問題

7、探究彈力的功與彈性勢(shì)能的變化

8、彈力做功彈性勢(shì)能變化、能量轉(zhuǎn)化和守

恒綜合問題的計(jì)算

9、與彈簧相關(guān)的動(dòng)量守恒、能量守恒綜合

問題

四、解決彈簧問題方法歸類闔

1、根本方法是：依據(jù)運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系，運(yùn)用解

決動(dòng)力學(xué)問題的一般方法去分析解決。調(diào)

具體的說：

①分析物體受到合力的大小、方向變化情況

——分析物體初速度或者速度方向——確定物

體的運(yùn)動(dòng)情況，由此求出未知量；或者明確的運(yùn)

動(dòng)情況(即物體處于什么樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài))——確

定物體的受力情況，由此求出未知量；

②選取物理規(guī)律列方程

物體處于平衡狀態(tài)時(shí)—運(yùn)用平衡條件結(jié)

合胡克定律

物體做勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)——用牛頓第二定律

和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)—運(yùn)用簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)

律

非勻變速運(yùn)動(dòng)的過程——通常要用能的轉(zhuǎn)

化和守恒定律

綜合性問題——?jiǎng)恿渴睾愣?、能量守恒?/p>

律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律靈活運(yùn)用

2、分析彈簧問題需要特別關(guān)注的幾點(diǎn)調(diào)

(1)彈力的變化特點(diǎn)——物體做變加速運(yùn)

動(dòng)

(2)彈力不能突變的特點(diǎn)——形變的發(fā)生

和恢復(fù)都需要一定的時(shí)間，

(3)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)——運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

存在對(duì)稱性

(4)彈力做功與路徑無關(guān)的特點(diǎn)，重力勢(shì)

能只取決于狀態(tài)的特點(diǎn)

(5)有臨界狀態(tài)和轉(zhuǎn)折狀態(tài)的特點(diǎn)——?jiǎng)e

離狀態(tài)、合力為零狀態(tài)、拉力和壓力轉(zhuǎn)折狀態(tài)等

(6)彈簧問題多解的特點(diǎn)——對(duì)同一大小

的彈力彈簧對(duì)應(yīng)兩個(gè)狀態(tài)，要注意不要漏解

經(jīng)典例題透析國

類型一：關(guān)于彈簧的伸長量和彈力的計(jì)算施

解決這類問題的方法是：

(1)根據(jù)物體所處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)用牛頓

定律或平衡條件求出彈簧受到的彈力，然后由胡

克定律計(jì)算彈簧的形變量或原長等。

(2)由物體的運(yùn)動(dòng)情況和幾何關(guān)系求出彈

簧的形變量，然后用胡克定律計(jì)算彈力，進(jìn)而求

解物體的運(yùn)動(dòng)情況。

值得注意的是：彈簧可能產(chǎn)生拉力也可能產(chǎn)

生壓力，同一彈力彈簧可能有兩個(gè)長度；輕質(zhì)彈

簧上的彈力大小處處相等。

1、對(duì)輕彈簧的理解誦

。1、如下圖，四個(gè)完全相同的彈簧都處于

水平位置，它們的右端受到大小皆為F的拉力

作用，而左端的情況各不相同：①中彈簧的左端

固定在墻上；②中彈簧的左端受大小也為F的

拉力作用；③中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在

光滑的桌面上滑動(dòng)；④中彈簧的左端拴一小物

塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動(dòng).假設(shè)認(rèn)為彈簧

的質(zhì)量都為零，以卜J%、，，依次表示四個(gè)彈簧的

伸長量，那么有（）諭

A.’2>‘1B.'4>，3.C.

D?I

(D8-----

，一|pwww-----b

v*.rrfrrrriTfff

答案：D

思路點(diǎn)撥：要比擬四種不同物理情景中彈簧

的伸長量，就要比擬彈簧在四種不同物理情景中

彈力的大小和彈簧的勁度系數(shù).由題意知，四個(gè)

彈簧完全相同，故彈簧的勁度系數(shù)相同，彈簧的

質(zhì)量都為零，故彈簧不管作什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)都不

影響彈簧各處所受的彈力，彈簧只是傳遞物體間

的相互作用.可將彈簧等效為一個(gè)測(cè)力計(jì)，當(dāng)彈

簧的右端受到大小為F的拉力作用時(shí),彈簧將等

大地將拉力F傳遞給與彈簧相連接的物體,故彈

簧由于彈性形變所產(chǎn)生的彈力大小也為F,由

胡克定律F=kAx,那么四個(gè)彈簧的伸長量Ax

相同.

解析：首先，因?yàn)轭}中說明可以認(rèn)為四個(gè)彈

簧的質(zhì)量皆為0,因此可斷定在每個(gè)彈簧中，不

管運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何，內(nèi)部處處拉力都相同.因?yàn)槿?/p>

果有兩處拉力不同，那么可取這兩處之間那一小

段彈簧來考慮，它受的合力等于它的質(zhì)量乘加速

度，現(xiàn)在質(zhì)量為0,而加速度不是無窮大，所以

合力必為0,這和假設(shè)兩處拉力不同矛盾.故可

知拉力處處相同.按題意又可知大小皆為E其

次，彈簧的伸長量K為勁度系數(shù).由題意

知四個(gè)彈簧都相同，即k都相同.故可知伸長

量必相同

總結(jié)升華：此題通過對(duì)四種不同物理情景中

彈簧的伸長量的比擬，考查考生對(duì)力的概念的理

解、物體的受力分析、牛頓一、二、三定律的掌

握情況和綜合運(yùn)用能力.

①②兩種情形中彈簧所受的合外力相同，均

為零，所以彈簧中由于彈性形變所產(chǎn)生的彈力大

小也相同.常有學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為第②種情形中彈

簧所產(chǎn)生的彈性形變比第①種情形中彈簧所產(chǎn)

生的彈性形變要大些，這一錯(cuò)誤觀念的形成主要

是對(duì)力的概念理解不深，一旦將第①種情形中的

墻壁和彈簧隔離受力后，不難發(fā)現(xiàn)第①種情形與

第②種情形的受力情況是等效的，其實(shí)在第①種

情形中，彈簧對(duì)墻壁的作用力與墻壁對(duì)彈簧的作

用力是一對(duì)作用力與反作用力，所以第①②兩種

情形中彈簧的受力情況完全相同，第③④兩種情

形中，雖然物塊的受力情況、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不盡相同,

但輕彈簧中產(chǎn)生的彈力大小處處等于外力F的

大小，而與物塊處于什么樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、是否受

摩擦力沒有必然聯(lián)系。認(rèn)為物塊在有摩擦的桌面

上滑動(dòng)時(shí)，拉物塊所需要的拉力要大些，所以彈

簧的形變量也大些，是錯(cuò)誤的。沒有注意到輕彈

簧的右端受到大小皆為F的拉力作用這一前提

件。

舉一反三：

【變式】如下圖，A、B是兩個(gè)相同的彈簧,

原長都是L°=10cm,勁度系數(shù)k=500N/m,假

設(shè)懸掛的兩個(gè)物體質(zhì)量均為m,現(xiàn)測(cè)得兩個(gè)彈簧

的總長為26cm,那么m=。（g取

10m/s2)

解析：首先以下面物體為研究對(duì)象，然后以

兩物體為整體，求出對(duì)上端彈簧拉力，分別列出

彈力方程：

=fng

kxA=2mg

+x￡)=3mg

即活=也±2=1粒

3g

答案：1kg

2、靜止的輕彈簧平衡時(shí)兩種可能的形變調(diào)

在含有彈簧的靜力學(xué)問題中，當(dāng)彈簧所處的

狀態(tài)沒有明確給出時(shí)，必須考慮到彈簧既可以處

于拉伸狀態(tài)，也可以處于壓縮狀態(tài)，必須全面分

析各種可能性，以防漏解。

解決這類問題的方法是：以與彈簧相聯(lián)系的

物體為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，在分析彈力的

時(shí)候，務(wù)必考慮到彈簧伸長和壓縮兩種可能的狀

態(tài)也就是物體所受彈力的有兩個(gè)可能的方向。對(duì)

物體應(yīng)用平衡條件求出彈力，或者結(jié)合胡克定律

求出彈簧的伸長量、壓縮量以及彈簧的長度與原

長。

02、如下圖，a、b、c為三個(gè)物塊，M、N

為兩個(gè)輕質(zhì)彈簧，R為跨過光滑定滑輪的輕繩，

方魚「它們均處于平衡狀態(tài).那么：（）

A.有可能N處于拉伸狀態(tài)而M處于壓縮狀

態(tài)

B.有可能N處于壓縮狀態(tài)而M處于拉伸狀

態(tài)

C.有可能N處于不伸不縮狀態(tài)而M處于拉

伸狀態(tài)

D.有可能N處于拉伸狀態(tài)而M處于不伸不

縮狀態(tài)

解析：研究a、N、c系統(tǒng)由于處于平衡狀態(tài),

N可能處于拉伸狀態(tài)，而M可能處于不伸不縮

狀態(tài)或壓縮狀態(tài)；研究a、M、b系統(tǒng)由于處于

平衡狀態(tài)，M可能處于壓縮狀態(tài)(或處于不伸不

縮狀態(tài))，而N可能處于不伸不縮狀態(tài)或拉伸狀

態(tài).綜合分析，此題只有A、D正確.

答案：A、D

舉一反三：

【變式】如下圖，重力為G的質(zhì)點(diǎn)M與三

根相同的輕質(zhì)彈簧相連，靜止時(shí)，相鄰兩彈簧間

的夾角均為120。，彈簧A、B對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力均

為2G,那么彈簧C對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力大小可能為

()

A.2GB.GC.0

D.3G

解析：彈簧A、B對(duì)M的作用力有兩種情

況：一是拉伸時(shí)對(duì)M的拉力，二是壓縮時(shí)對(duì)M

的彈力.

假設(shè)A、B兩彈簧都被拉伸，兩彈簧拉力與

質(zhì)點(diǎn)M重力的合力方向一定豎直向下，大小為

3G,此時(shí)彈簧C必被拉伸，對(duì)M有豎直向上的

大小為3G的拉力，才能使M處于平衡狀態(tài).

假設(shè)A、B兩彈簧都被壓縮，同理可知彈簧

C對(duì)M有豎直向下的大小為G的彈力.A、B

兩彈簧不可能一個(gè)被拉伸，一個(gè)被壓縮，否那么

在題設(shè)條件下M不可能平衡.選項(xiàng)B、D正確

答案：BD.

。3、如下圖，兩木塊的質(zhì)量分別為m1和

m2,兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為％和k2,上

面木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個(gè)系

統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直

到它剛離開上面彈簧.在這過程中下面木塊移動(dòng)

的距離為（）

A.無i

的g

B.V

c.v

啊g

D.自

解析：原來系統(tǒng)處于平衡態(tài)那么下面彈簧被

壓縮X],那么有：品々=的+的）8?

當(dāng)上面的木塊剛離開上面的彈簧時(shí)，

上面的彈簧顯然為原長，此時(shí)對(duì)下面的木塊m2,

那么有：k2x2=mig

因此下面的木塊移動(dòng)的距離為

△、=勺-X2=~~

故此題選C

答案：C

總結(jié)升華：緩慢向上提，說明整個(gè)系統(tǒng)一直

處于動(dòng)態(tài)平衡過程.

3、彈簧測(cè)力計(jì)的原理國

解決彈簧測(cè)力計(jì)的問題，首先明確彈簧測(cè)力

計(jì)的原理——彈力的大小與彈簧的形變量成正

比，彈力的增量與彈簧形變量的增量也成正比,

即尸=以、卜…，因此彈簧秤的刻度是均勻的。

04、量得一只彈簧測(cè)力計(jì)3N和5N兩刻

度線之間的距離為2.5cm。求：

(1)這彈簧測(cè)力計(jì)3N、5N刻度線與零刻

度線之間的距離。

(2)這彈簧測(cè)力計(jì)所用彈簧的勁度系數(shù)。

思路點(diǎn)撥：由△人的求出勁度系數(shù)，然后根

據(jù)胡克定律由勁度系數(shù)求出彈力是3N、5N時(shí)彈

簧的伸長量，即為所求。

解析：彈簧秤的刻度值應(yīng)與該刻度線到零刻

線的距離成正比。

設(shè)3N、5N刻度線到零刻度線的距離

分別為&、x2,勁度系數(shù)為ko

根據(jù)胡克定律F=kx；可得△心的得

△F5-3

k=—,Nlm=^NIm

2.5x10-2o

由△斤=AAx可得

Ax=-

ko

Ax,=—=—m=0.038w=3.2cm

k80

F5

卜x、=—2=—m=0.063掰=63cm

k80

答案：3N刻度線到0刻線的距離為3.8cm,

5N刻線到0刻線的距離為6.3cm,彈簧的勁度

系數(shù)為80N/mo

舉一反三：

【變式】如下圖，彈簧秤外殼質(zhì)量為mo,

彈簧及掛鉤的質(zhì)量忽略不計(jì)，掛鉤吊著一重物質(zhì)

量為m,現(xiàn)用一方向豎直向上的外力F拉著彈

簧秤，使其向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，那么彈簧秤的讀

數(shù)為：

A.mg；B.叫+.；C./+掰；

m

----F

D.^o+溶

'F

昌m

思路點(diǎn)撥：彈簧秤的彈簧上任意位置彈力大

小就是彈簧秤的示數(shù)，也就是說彈簧秤的示數(shù)指

示等于彈簧上任一端所受拉力的大小。

解析：對(duì)彈簧和物體組成的系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第

二定律得：F-（尚+%j）g=（冽+端）《

對(duì)吊鉤上的物體附用牛頓第二定律

彳導(dǎo)?mg-ma

幽

解得：彈簧秤對(duì)物體的拉力=

由牛頓第三定律知：彈簧秤上的彈簧

,__m

受到的拉力大小"鳥=際'

E11-m尸

也就是說彈簧秤的示數(shù)是一際’

答案：D

總結(jié)升華：彈簧秤的外殼有質(zhì)量有重力，切

不能認(rèn)為彈簧秤殼受到的拉力等于彈簧秤上的

彈簧受到的拉力。

類型二：求與彈簧相連物體的瞬時(shí)加速度南

求解這類問題的方法是：（1）由物體所處的

運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求出彈簧的彈力；（2）去掉某一個(gè)力后

（通常是剪斷繩子）的瞬間，認(rèn)為彈簧的彈力不

變化，求出物體受到的合力；（3）由牛頓第二定

律列方程求解。

05.如圖(A)所示，一質(zhì)量為m的物體

系于長度分別為小兒的兩根細(xì)線上，八的一端懸

掛在天花板上，與豎直方向夾角為0,水平拉

直，物體處于平衡狀態(tài).現(xiàn)將線剪斷，求剪斷瞬

時(shí)物體的加速度向

(1)下面是某同學(xué)對(duì)該題的一種解法：

解：設(shè)九線上拉力為T1，“線上拉力為T2,

重力為mg,物體在三力作用下保持平衡：

Ticos0=mg,Tisin0=T2,T2=mgtan0

剪斷線的瞬間，T2突然消失，物體即在T2

反方向獲得加速度.因?yàn)閙gtan0=ma,所以加速

度2=812皿，方向在T2反方向.

你認(rèn)為這個(gè)結(jié)果正確嗎?請(qǐng)對(duì)該解法作出評(píng)

價(jià)并說明理由.

(2)假設(shè)將圖A中的細(xì)線八改為長度相同、

質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，如圖(B)所示，其他條件

不變，求解的步驟與⑴完全相同，即a=gtanO,

你認(rèn)為這個(gè)結(jié)果正確嗎?請(qǐng)說明理由.

解析：

(1)結(jié)果不正確.因?yàn)椋?被剪斷的瞬間，八

上張力的大小發(fā)生了突變，此瞬間T2=mgcos0,

a=gsin。

(2)結(jié)果正確，因?yàn)椋?被剪斷的瞬間、彈

簧八的長度不能發(fā)生突變、n的大小和方向都不

變.

總結(jié)升華：不可伸長的繩子或者輕桿上的力

是可以突變的，當(dāng)彈簧或橡皮條的兩端都有其他

物體或力的約束且使其發(fā)生形變時(shí)，彈簧或者橡

皮條上的力是不能突變的。

舉一反三：

【變式1】A、B球質(zhì)量均為m,AB間用輕

彈簧連接，將A球用細(xì)繩懸掛于O點(diǎn)，如圖示,

剪斷細(xì)繩的瞬間，試分析A、B球產(chǎn)生的加速度

大小與方向.

QJB

解析：開始A球與B球處于平衡狀態(tài)，其

受力圖如圖：

剪斷繩OA瞬間，A、B球均未發(fā)生位移變

化，故彈簧產(chǎn)生的彈力kx也不會(huì)變化，kx=mg,

所以剪斷繩瞬間，B受力沒發(fā)生變化，其加速度

aB=0；A球受到合外力為kx+mg,其加速度aA

kx+mg

=僧=2g豎直向下

答案：aB=0>aA=2g豎直向下

【變式2】如下圖，豎直光滑桿上套有一個(gè)

小球和兩根彈簧，兩彈簧的一端各與小球相連，

另一端分別用銷釘M、N固定與桿上，小球處于

平衡狀態(tài)，設(shè)拔除銷釘M的瞬間，小球加速度

M

2

的大小為12m/s假設(shè)QN不拔除銷釘M而拔

除銷釘N瞬間,小球的加速度可能是(g=10m/s2)

A、22m/s2,方向豎直向上

B、22m/s2,方向豎直向下

C、2m/s2,方向豎直向上

D>2m/s2,方向豎直向下

解析：此題要明白彈簧可能所處的不同的狀

態(tài)，可能拉伸、壓縮，利用彈簧的瞬時(shí)問題很容

易得出答案：B、Co

類型三：與彈簧相關(guān)的臨界問題或極值問題施

這類問題是彈簧問題中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，它往

往能夠比擬全面的考察考生的分析綜合能力。解

決這類問題的方法是：根據(jù)物體所處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

運(yùn)用牛頓定律、功能關(guān)系或者能量守恒定律、胡

克定律等列出方程——以彈簧的伸長量或彈簧

的彈力為自變量進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，從中找出臨界狀

態(tài)、極值狀態(tài)、轉(zhuǎn)折狀態(tài)以及對(duì)應(yīng)的條件——計(jì)

算并進(jìn)行必要的討論。

1、勻變速運(yùn)動(dòng)過程中彈力變化引起的臨界狀態(tài)國

仍6、一根勁度系數(shù)為k,質(zhì)量不計(jì)的輕彈

簧，上端固定，下端系一質(zhì)量為m的物體，有

一水平板將物體托住，并使彈簧處于自然長度。

如下圖?，F(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度a(a<g

=勻加速向下移動(dòng)。求經(jīng)過多長時(shí)間木板開始與

物體別離。國

思路點(diǎn)撥：對(duì)物體受力分析，由牛頓第二定

律列出方程，明確勻變速運(yùn)動(dòng)過程中合力大小方

向不變，分析板對(duì)物體的支持力和彈力的變化情

況，找出板與物體別離的條件進(jìn)行求解。

解析：設(shè)物體與平板一起向下運(yùn)動(dòng)的距離為

x時(shí)，物體受重力mg,彈簧的彈力F=kx和平板

的支持力N作用。

據(jù)牛頓第二定律有：mg-kx-N=ma整理得

N=mg-kx-ma

物體勻變速運(yùn)動(dòng)，其加速度a恒定不變，隨

著物體向下運(yùn)動(dòng)X變大，板對(duì)物體的支持力N

變小，當(dāng)N=0時(shí)，物體與平板別離。

雙g-a)

所以此時(shí)x=k

1,2,l2m(g-a)

由x=得經(jīng)過'y一^的時(shí)間板與物體

別離。

答案：

總結(jié)升華：(1)板與物體別離的狀態(tài)也就是

物體勻變速運(yùn)動(dòng)的末狀態(tài)，別離之后物體做簡(jiǎn)諧

振動(dòng)，不再是勻變速運(yùn)動(dòng)。動(dòng)態(tài)分析是解決綜合

問題尋找隱含條件和臨界條件的重要方法，動(dòng)態(tài)

分析的要點(diǎn)是：找出不變量、明確自變量和自變

量的變化范圍。

舉一反三：

【變式】如下圖，一個(gè)彈簧臺(tái)秤的秤盤質(zhì)量

和彈簧質(zhì)量都不計(jì)，盤內(nèi)放一個(gè)物體P處于靜

止，P的質(zhì)量m=12kg,彈簧的勁度系數(shù)

k=300N/mo現(xiàn)在給P施加一個(gè)豎直向上的力F,

使P從靜止開始向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在

t=0.2s內(nèi)F是變力，在0.2s以后F是恒力，

g=10m/s2,那么F的最小值是，F(xiàn)的最大值是。

解析：因?yàn)樵趖=0.2s內(nèi)F是變力，在t=0.2s

以后F是恒力，所以在t=0.2s時(shí)，P離開秤盤。

此時(shí)P受到盤的支持力為零，由于盤和彈簧的質(zhì)

量都不計(jì)，所以此時(shí)彈簧處于原長。在

00.2s這段時(shí)間內(nèi)P向上運(yùn)動(dòng)的距離：

x=mg/k=0.4m

12

因?yàn)閤=L，所以P在這段時(shí)間的加速度

a=K=20w/s2

r

當(dāng)P開始運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力最小，此時(shí)對(duì)物體P

有：N-mg+Fmm=ma,又因此時(shí)N=mg,所以有

Fmin=ma=240N.

當(dāng)P與盤別離時(shí)拉力F最大，

Fmax=m(a+g)=360N.

答案：240N、360N

2、極值問題與彈力功的特點(diǎn)國

。7、如下圖，一勁度系數(shù)為k=800N/m的

輕彈簧兩端各焊接著兩個(gè)質(zhì)量均為m=12kg的

物體A、Bo物體A、B和輕彈簧豎立靜止在水

平地面上,現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體

A上，使物體A開始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)0.4s

物體B剛要離開地面,設(shè)整個(gè)過程中彈簧都處于

彈性限度內(nèi)，取gulOm/s?,求：由

(1)此過程中所加外力F的最大值和最小

值。

(2)此過程中外力F所做的功。

解析：

(1)A原來靜止時(shí)：kxi=mg①

當(dāng)物體A開始做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力F最

小，設(shè)為F1，對(duì)物體A有：

Fi+kxi-mg=ma②

當(dāng)物體B剛要離開地面時(shí)，拉力F最大，

設(shè)為F2,對(duì)物體A有：

——

F2kx2mg=ma③

對(duì)物體B有：kx2=mg④

12_

對(duì)物體A有：XI+X2=5"⑤

由①、④兩式解得a=3.75m/s2,分別由②、

③得Fi=45N,F2=285N

(2)在力F作用的0.4s內(nèi)，初末狀態(tài)的彈性

勢(shì)能相等，由功能關(guān)系得：

WF=mg(Xi+x2)+5羽3)=49.5J

答案：⑴45N,285N⑵49.5J

總結(jié)升華：拉力F的功是變力的功，不能直

接用功的計(jì)算公式求解，要用功能關(guān)系求解；彈

簧彈力的功與路徑無關(guān)，只取決于初、末狀態(tài)的

形變量，這一點(diǎn)必須引起注意。

類型四：與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相關(guān)的問題一動(dòng)力學(xué)中一類重要的問題誦

與彈簧相聯(lián)系的物體的運(yùn)動(dòng)大都是簡(jiǎn)諧運(yùn)

動(dòng)，解決這類問題最好的方法就是運(yùn)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

的根本規(guī)律和結(jié)論去分析問題解決問題。為了使

問題分析更加準(zhǔn)確和快捷，畫好運(yùn)動(dòng)過程中一些

典型狀態(tài)圖是非常必要的，因?yàn)榉治鑫锢磉^程的

關(guān)鍵常常需要分析其中的典型狀態(tài)，所以畫好典

型狀態(tài)圖可以幫助我們輕松解決彈簧類問題。

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和結(jié)論：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是變加速

運(yùn)動(dòng)，物體靠近平衡位置時(shí)速度增大加速度減

??；遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)速度減小，加速度增大；描

寫運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量具有對(duì)稱性和周期性；簡(jiǎn)諧

運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒等。

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性和功能關(guān)系的運(yùn)用施

08、勁度系數(shù)為k的輕彈簧兩端分別連接

質(zhì)量都是m的木塊P、Q如下圖，處于靜止?fàn)?/p>

態(tài)?，F(xiàn)用豎直向下的力F緩慢壓P,最終使系統(tǒng)

處于靜止?fàn)顟B(tài)。撤去F后P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)而Q恰

好始終不離開地面。求：闌

(1)物體P的振幅A。

(2)物體P的最大加速度am。

(3)外力F壓物體p所做的功W。

T

ZP

Z

Z

Z

2

4

1

?.Q

思路點(diǎn)撥：畫出運(yùn)動(dòng)過程彈簧的幾個(gè)典型狀

態(tài)，形成清晰的物理情景，運(yùn)用規(guī)律求解。

狀態(tài)I:彈簧處于原長，如圖(1)。

狀態(tài)II：放上物體P后靜止時(shí)位于C點(diǎn)(彈

簧被壓縮)，如圖(2)。

狀態(tài)in：用豎直向下的力后F緩慢壓p至D

點(diǎn),剛撤去F時(shí)(彈簧被壓縮至最短)，如圖(3)。

狀態(tài)IV：物體P向上運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)E時(shí)(彈

簧伸長至最長)，如圖(4)。

P

2)3)(3)(4)

畫出上列四個(gè)狀態(tài)圖后，此題的物理情境就

非常清晰了。

解析：

(1)設(shè)放上物體P后，當(dāng)P靜止于C點(diǎn)時(shí)

彈簧的壓縮量為X1，那么kx產(chǎn)mg①

C點(diǎn)即為P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置。

現(xiàn)用力F緩慢壓P至D撤去F,C、

D間的距離即為振幅A。

又Q恰好始終不離開地面，故P運(yùn)動(dòng)

至最高點(diǎn)E時(shí)，地面對(duì)Q的支持力為零，即

kx2=mg②

又因?yàn)锳=xi+x2③

由①②③得A=2mg/k④

(2)由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)知，P在最高點(diǎn)和

最低點(diǎn)的加速度最大，由牛頓第二定律得

kA=mam⑤

由④⑤得am=2g

(3)由①②得x1=X2

即物體在C、E兩點(diǎn)處彈簧的彈性勢(shì)

能相等。

又物體P在C、E兩點(diǎn)的動(dòng)能均為零,

故P從C到E的過程中，力F壓P做的功

22

WF=mg(xi+x2)=2mg/k.

2、有恒定摩擦力的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的計(jì)算國

。9.一皮帶傳動(dòng)裝置如下圖，皮帶的速度

v足夠大。一根質(zhì)量不計(jì)、勁度系數(shù)為k的輕彈

簧一端固定，另一端連一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊，

滑塊與皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為2當(dāng)滑塊放到皮

帶上時(shí)，彈簧的軸線恰好水平，假設(shè)滑塊放到皮

帶上的瞬間，滑塊的速度為零，且彈簧正好處于

自由長度，那么當(dāng)彈簧第一次伸長到最長時(shí)，滑

塊與皮帶間所產(chǎn)生的熱量是多少？（：簡(jiǎn)諧振動(dòng)

周期丁=2可反）面

m定板

解析：由于皮帶的速度V足夠大，故以皮帶

為參照物，滑塊始終是向右運(yùn)動(dòng)，滑塊所受到的

滑動(dòng)摩擦力方向始終是向左的?；瑝K實(shí)際上是向

左運(yùn)動(dòng)，只要彈簧對(duì)它的拉力小于摩擦力，滑塊

是加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)彈簧對(duì)它的拉力大于摩擦力，滑

塊做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑塊的速度減小到零時(shí)，彈簧

的伸長量最大，以后，滑塊在彈簧拉力和摩擦力

的作用下向右運(yùn)動(dòng)。由于滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中所受

到的摩擦力的大小和方向都不變，故此滑塊在皮

帶上的運(yùn)動(dòng)類似于豎直的彈簧振子，此處的摩擦

力相當(dāng)于豎直彈簧振子的重力，所以滑塊的運(yùn)動(dòng)

是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其振幅為人A下—，彈簧伸長的

最大長度也就是滑塊運(yùn)動(dòng)的位移（對(duì)地）為：

s=2A=2gmg/k,滑塊在這段位移是所經(jīng)歷的時(shí)

間為4=772=壟,

滑塊在皮帶上的相對(duì)路徑為

所以在這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量

.,伽2"g、

Q=Rm山=//Wg(V7TJ----------)

￥fVf\ro

,..\m

答案:Q="冽gAz=〃冽g(y叼三一)

總結(jié)升華：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)受到恒力的作用

時(shí)仍然為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且其周期不發(fā)生變化。運(yùn)

用類比的思維方式往往會(huì)使問題解決方便一些O

3、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的對(duì)稱性和臨界問題贏

010.如下圖，輕彈簧的一端固定在地面

上，另一端與木塊B相連，木塊A放在木塊B

上，兩木塊質(zhì)量均為m,在木塊A上施有豎直

向下的力F,整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).由

(1)突然將力F撤去，假設(shè)運(yùn)動(dòng)中A、B

不別離，那么A、B共同運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，B對(duì)

A的彈力有多大？

(2)要使A、B不別離，力F應(yīng)滿足什么

條件？

i

f

思路點(diǎn)撥：力F撤去后，系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),

該運(yùn)動(dòng)具有明顯的對(duì)稱性，該題利用最高點(diǎn)與最

低點(diǎn)的對(duì)稱性來求解，會(huì)簡(jiǎn)單的多.

解析：

(1)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)有相同大小的回復(fù)力,

只有方向相反,這里回復(fù)力是合外力.在最低點(diǎn),

即原來平衡的系統(tǒng)在撤去力F的瞬間，受到的合

外力應(yīng)為F/2,方向豎直向上；當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí),

A受到的合外力也為F/2,但方向向下，考慮到

重力的存在，所以B對(duì)A的彈力為館

(2)力F越大越容易別離，討論臨界情況,

也利用最高點(diǎn)與最低點(diǎn)回復(fù)力的對(duì)稱性.最高點(diǎn)

時(shí)，A、B間雖接觸但無彈力，A只受重力，故

此時(shí)恢復(fù)力向下，大小位mg.那么，在最低點(diǎn)

時(shí)，即剛撤去力F時(shí)，A受的回復(fù)力也應(yīng)等于

mg,但根據(jù)前一小題的分析,此時(shí)回復(fù)力為F/2,

這就是說F/2=mg.那么F=2mg.因此，使A、

B不別離的條件是F<2mg.

答案：⑴館《(2)F<2mg.

總結(jié)升華：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在對(duì)稱的位置上，位移

以及與位移成正比的回復(fù)力、回復(fù)加速度大小相

等方向相反，其余的物理量其方向不一定相反；

回復(fù)力是物體在振動(dòng)方向上的合力，不是某一個(gè)

力。

類型五：彈簧傳感器贏

011.慣性制導(dǎo)系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于彈道式

導(dǎo)彈工程中，這個(gè)系統(tǒng)的重要元件之一是加速度

計(jì)，加速度計(jì)的構(gòu)造原理示意圖如以下圖所示。

沿導(dǎo)彈長度方向安裝的固定光滑桿上套一質(zhì)量

為m的滑塊，滑塊兩側(cè)分別與勁度系數(shù)為K的

彈簧相連，彈簧處于自然長度，滑塊位于中間，

指針指示0刻度，試說明該裝置是怎樣測(cè)出物體

的加速度的?而

解析：當(dāng)加速度計(jì)固定在待測(cè)物體上，具有

一定的加速度時(shí)，例如向右的加速度a,滑塊將

會(huì)相對(duì)于滑桿向左滑動(dòng)一定的距離x而相對(duì)靜

止，也具有相同的加速度a,由牛頓第二定律可

知：a0cF而Fax,所以a0cx。因此在標(biāo)尺相應(yīng)

地標(biāo)出加速度的大小，而0點(diǎn)兩側(cè)就表示了加速

度的方向，這樣它就可以測(cè)出物體的加速度了。

舉一反三：

【變式】在科技活動(dòng)中某同學(xué)利用自制的電

子秤來稱量物體的質(zhì)量。如下圖，托盤和彈簧的

質(zhì)量均不計(jì)，滑動(dòng)變阻器的滑動(dòng)端通過一水平絕

緣輕桿與彈簧上端相連，當(dāng)托盤中沒有放物體

時(shí)，電壓表示數(shù)為零。設(shè)變阻器的總電阻為R,

總長度為L,電源電動(dòng)勢(shì)為E,內(nèi)阻r,限流電

阻的阻值為R。，彈簧勁度系數(shù)為k,不計(jì)一切摩

擦和其他阻力，電壓表為理想電壓表。當(dāng)托盤上

放上某物體時(shí)，電壓表的示數(shù)為U,求此時(shí)稱量

物體的質(zhì)量。

解析：設(shè)托盤上放上質(zhì)量為m的物體時(shí)，

彈簧的壓縮量為x,那么mg=kx①

一E

由全電路歐姆定律知：氏+凡+廣

②（4分）

X

由局部電路歐姆定律知:U=I?R，=I?森

③

_kL^+R+r)

聯(lián)立①②③求解得：一如

④

kL(R0+R+r)

答案：

總結(jié)升華：電壓表的內(nèi)阻很大，通過它的電

流很小，在計(jì)算時(shí)可以將其忽略以簡(jiǎn)化計(jì)算。

類型六：彈簧彈力的功'彈性勢(shì)能'能的轉(zhuǎn)化和守恒問題贏

與彈簧相關(guān)的綜合問題無一不涉及彈力做

功和能量轉(zhuǎn)化問題，解決這類問題最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)

是：

(1)分析物體的受力情況并結(jié)合初始條件

明確物體做什么運(yùn)動(dòng)

(2)根據(jù)功的計(jì)算公式分析在每一個(gè)過程

或者階段中有哪些力做功、哪些力不做功、哪些

力做正功或者做負(fù)功。

(3)著眼系統(tǒng)根據(jù)功能關(guān)系明確哪些能量

在增加或者減少

(4)注意到重力的功和彈力的功的重要特

點(diǎn)列方程求解。

1、一個(gè)物體與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒的問

題國

012、如下圖，輕質(zhì)彈簧豎直放置在水平

II%=0

地面上，它的正上方有一金屬塊從力高

處自由下落，從金屬塊自由下落到第一次速度為

零的過程中國

A.重力先做正功，后做負(fù)功

B.彈力沒有做正功

C.金屬塊的動(dòng)能最大時(shí)，彈力與重力相平

衡

D.金屬塊的動(dòng)能為零時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能

最大

解析：要確定金屬塊的動(dòng)能最大位置和動(dòng)能

為零時(shí)的情況，就要分析它的運(yùn)動(dòng)全過程弄清楚

物體的運(yùn)動(dòng)情況。為了物體弄清運(yùn)動(dòng)情況，必須

做好受力分析?？梢詮膱D3-19看出運(yùn)動(dòng)過程中

的情景。

N

(c)(d)

從圖上可以看到在彈力N<mg時(shí)，a的方

向向下，v的方向向下，金屬塊做加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)

彈力N等于重力mg時(shí)，a=0加速停止，此時(shí)速

度最大。所以C選項(xiàng)正確。彈力方向與位移方

向始終反向，所以彈力沒有做正功，B選項(xiàng)正確。

重力方向始終與位移同方向，重力做正功，沒有

做負(fù)功，A選項(xiàng)錯(cuò)。速度為零時(shí)，恰是彈簧形變

最大時(shí)，所以此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能最大，故D正

確。

所以B,C,D為正確選項(xiàng)。

答案：BCD

誤區(qū)警示：(1)錯(cuò)解思維過程分析：金屬塊

自由下落，接觸彈簧后開始減速，當(dāng)重力等于彈

力時(shí)，金屬塊速度為零。所以從金屬塊自由下落

到第一次速度為零的過程中重力一直做正功，故

A錯(cuò)。而彈力一直做負(fù)功所以B正確。因?yàn)榻饘?/p>

塊速度為零時(shí)，重力與彈力相平衡，所以C選

項(xiàng)錯(cuò)。金屬塊的動(dòng)能為零時(shí)，彈力最大，所以形

變最大，彈性勢(shì)能最大。故D正確。(2)錯(cuò)

解原因分析：形成以上錯(cuò)解的原因是對(duì)運(yùn)動(dòng)過程

認(rèn)識(shí)不清。對(duì)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的判斷不正確。金屬塊做

加速還是減速運(yùn)動(dòng)，要看合外力方向(即加速度

方向)與速度方向的關(guān)系。

總結(jié)升華：

(1)對(duì)于較為復(fù)雜的物理問題，認(rèn)清物理

過程，建立物情景是很重要的。做到這一點(diǎn)往往

需畫出受力圖，運(yùn)動(dòng)草圖，這是應(yīng)該具有的一種

解決問題的能力。

(2)分析問題可以采用分析法和綜合法：

如C選項(xiàng)中動(dòng)能最大時(shí)，速率最大，速率最大

就意味著它的變化率為零，即a=0,加速度為零,

即合外力為零，由于合外力為mg-N,因此得

mg=N,D選項(xiàng)中動(dòng)能為零，即速率為零，單方

向運(yùn)動(dòng)時(shí)位移最大，即彈簧形變最大，也就是彈

性勢(shì)能最大。

(3)題中金屬塊和彈簧在一定時(shí)間和范圍

內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)是一種簡(jiǎn)運(yùn)振動(dòng)。從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象

可以看出位移變化中速度的變化，以及能量的關(guān)

舉一反三：

【變式】如下圖，水平地面上沿豎直方向固

定一輕質(zhì)彈簧，質(zhì)量為M的小球，由彈簧上高

H處自由落下，剛接觸到彈簧時(shí)的速度為V,在

彈性限度內(nèi)，彈簧被小球作用的最大壓縮量為h,

那么彈簧在被壓縮上了h時(shí)，彈性勢(shì)能為()

A>mgHB、mghC、

mgh+2mv2

2

D>mgH+2mv2E>mg(h+H)

思路點(diǎn)撥：這類問題較簡(jiǎn)單，從能的轉(zhuǎn)化上

看只是彈簧的彈性勢(shì)能與物體的動(dòng)、勢(shì)能之間的

轉(zhuǎn)化，明確系統(tǒng)的初末狀態(tài)由動(dòng)能定理或能量守

恒等知識(shí)即可解決。

解析：以系統(tǒng)機(jī)械能守恒為依據(jù)解題

(1)將物體剛接觸彈簧時(shí)作為系統(tǒng)的初狀

態(tài)，彈簧最大壓縮時(shí)作為末狀態(tài)，那么這一過程

系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能和動(dòng)能mgh+Bm，全部轉(zhuǎn)

化為彈性勢(shì)能EP,所以選項(xiàng)C正確；

(2)從著眼系統(tǒng)從全過程看，物體從彈簧

上方高H處自由下落至彈簧的最大壓縮量h時(shí)，

重力勢(shì)能減少了：△辱=mg(h+H),由于末

態(tài)系統(tǒng)速度為零，減少的重力勢(shì)能最終全部轉(zhuǎn)化

為彈簧的彈性勢(shì)能，所以選項(xiàng)E正確。正確答

案為案、E)o

答案：C、E

2、兩個(gè)物體和彈簧組成的系統(tǒng)一一能量守恒與

臨界狀態(tài)相結(jié)合的問題國

013.如下圖，質(zhì)量分別為m和M的A、

B兩重物用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧豎直地連接

起來，使彈簧為原長時(shí)，兩物從靜止開始自由下

落，下落過程中彈簧始終保持豎直狀態(tài)。當(dāng)重物

A下降距離h時(shí)，重物B剛好與地面相碰，假

定碰后的瞬間重物B不離開地面(B與地面做完

全非彈性碰撞)但不粘連。為使重物A反彈時(shí)

能將重物B提離地面，試問下落高度h至少應(yīng)

為多少？（提示：彈簧形變量為X時(shí)的彈性勢(shì)能

為EP=5"）國

思路點(diǎn)撥：系統(tǒng)在B物體著地之后A物體

做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，先壓縮彈簧后被反彈，當(dāng)A上升

過程中彈簧的拉力等于B的重力時(shí)，B開始離

開地面，此運(yùn)動(dòng)過程系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

解析：B觸地時(shí)，彈簧為原長，A的速度為:

V=^2gh

A壓縮彈簧，后被向上彈起彈簧又恢復(fù)原長

時(shí)，因機(jī)械守恒，可知A的速度仍為：1同

A繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)拉伸彈簧，設(shè)法VA=O時(shí)彈

簧伸長量為x,那么要使此時(shí)B能被提前離地面,

應(yīng)有：kx=Mg

而在此彈簧被拉伸的過程對(duì)A和彈簧有：

2

L羽=幽gx+—Arx

22

MgM+2m

由上幾式可解得："

MgM+2fn

答案：k—FT

總結(jié)升華：抓住臨界狀態(tài)解題往往會(huì)使得解

題過程簡(jiǎn)化，如此題中VA=O時(shí)彈簧伸長量為x,

B恰好被提前離地面，就是一個(gè)臨界狀態(tài)，對(duì)應(yīng)

的臨界條件是：kx=Mg

3、兩個(gè)或兩個(gè)以上物體與輕質(zhì)彈簧相連問題：

——?jiǎng)恿渴睾愣赡芰渴睾愣傻膽?yīng)用國

1）由彈簧的系統(tǒng)動(dòng)量守恒和能量守恒的判

?T

解決此類問題的關(guān)鍵所在是：真正理解動(dòng)量

守恒定律和能量守恒定律適用的條件及其區(qū)別，

能夠根據(jù)實(shí)際問題適當(dāng)?shù)倪x取系統(tǒng)為研究對(duì)象

014、如圖，木塊B與水平桌面間的接觸

是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后留在

木塊內(nèi)，將彈簧壓縮到最短。現(xiàn)將子彈、木塊和

彈簧合在一起作研究對(duì)象，那么此系統(tǒng)在從子彈

A』E

開始射………入木塊到彈簧壓縮到最

短的過程中口國

A.動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒B.動(dòng)

量不守恒，機(jī)械能不守恒

C.動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒D.動(dòng)

量不守恒，機(jī)械能守恒

解析：以子彈、彈簧、木塊為研究對(duì)象，分

析受力。在水平方向，彈簧被壓縮是因?yàn)槭艿酵?/p>

力，所以系統(tǒng)水平方向動(dòng)量不守恒。由于子彈射

入木塊過程，發(fā)生劇烈的摩擦，有摩擦力做功，

系統(tǒng)機(jī)械能減少，也不守恒，故B正確。

答案：B

誤區(qū)警示：（1）錯(cuò)誤解法：以子彈、木塊和

彈簧為研究對(duì)象。因?yàn)橄到y(tǒng)處在光滑水平桌面

上，所以系統(tǒng)水平方向不受外力，系統(tǒng)水平方向

動(dòng)量守恒。又因系統(tǒng)只有彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能

守恒。故A正確。（2）錯(cuò)解原因：錯(cuò)解原因有

兩個(gè)一是思維定勢(shì)，一見光滑面就認(rèn)為不受外

力。二是沒有弄清楚題目特指的研究對(duì)象和物理

過程；三是規(guī)律適用條件不清楚，忽略了子彈和

木塊短暫的相互作用過程有滑動(dòng)摩擦力做功，有

機(jī)械能的損失。

2）多物體一一彈簧系統(tǒng)，應(yīng)用守恒定律進(jìn)

行計(jì)算的問題

這類問題一般比擬復(fù)雜，兩個(gè)物體或三個(gè)物

體與輕彈簧相互作用的題目比擬常見，在高考

壓軸題中時(shí)有出現(xiàn)，解決這類問題除了運(yùn)用動(dòng)力

學(xué)的一般方法外還要特別注意如下幾個(gè)方面：

①研究對(duì)象的選取——應(yīng)取哪幾個(gè)物體組

成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，因?yàn)榭床坏较到y(tǒng)就看不到

守恒；

②物理過程的選取——必須明確系統(tǒng)在哪

一個(gè)過程或者哪一個(gè)階段上哪一個(gè)物理量是守

恒的，尤其不能無視短暫的相關(guān)過程可能會(huì)有機(jī)

械能的損失；

③分析臨界狀態(tài)或極值狀態(tài)——通過分析

過程找出特殊狀態(tài)的條件

015.質(zhì)量均為m的A、B兩球，一輕彈

簧連接后放在光滑水平面上，A被一水平速度為

m

Vo,質(zhì)量為不的泥丸P擊中并粘合，求彈簧能具

有的最大勢(shì)能

思路點(diǎn)撥：泥丸與A相互作用的過程彈簧

的作用力可以忽略，動(dòng)量守恒，泥丸與A共速

后的運(yùn)動(dòng)過程中整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能都守恒，

最大的彈性勢(shì)能必定發(fā)生在AB不存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)

的狀態(tài)即共速的狀態(tài)。

解析:如上分析圖，整個(gè)過程有三局部組成:

(1)P與A作用獲瞬間速度。(2)P與A一起

運(yùn)動(dòng)后于彈簧作用再與B作用，P與A減速運(yùn)

動(dòng),B加速運(yùn)動(dòng)。(3)當(dāng)P、A、B有共同速度

時(shí)，彈簧有最大壓縮量，具有Epmax.

mm

從狀態(tài)1”狀態(tài)2有動(dòng)量守恒：7vo=(7+m)vi

得：Vi==Vo①

m

從狀態(tài)2一狀態(tài)3有動(dòng)量守恒：(7+m)v產(chǎn)

m

(m+7+m)v2②

m

(或從狀態(tài)1-狀態(tài)3有動(dòng)量守恒：7v0=

m

(m+4+m)v2)

所損失的機(jī)械能在過程1一2中，而2—3中

機(jī)械能守恒。

1m1m1

——2—/—、2—2

-=2?4'Vo_2I4+mJV1=iomv0

③

由能量守恒得：彈簧具有的最大彈性勢(shì)能為

Ep

1m19m

2

2?7?Vo-=2?TV2+Ep

④

由①-④得：EP=^

1m

2

或用從2—3過程求解：EP=2(7+m)Vi—

I,竺、2竺^

2lm+4+mJv2=9

答案：9

誤區(qū)警示：認(rèn)為最大的彈性勢(shì)能

2

\m1m1Owvo

22

EP=2?7?VO-2(m+7+m)v2=si是錯(cuò)誤的，因

為泥丸與A相互作用的短暫的過程中有機(jī)械能

的損失。

舉一反三：

【變式1】如圖示，兩相同物塊靜止在光滑

水平面上，中間連著一根彈簧，現(xiàn)有一質(zhì)量為

m。的子彈以水平速度V。射進(jìn)一物塊中未穿出，

在以后的作用過程中速度均與V。在同一直線上,

物塊質(zhì)量3繆以3均4m0,那么由子彈、

彈簧、兩物塊組成的系統(tǒng)在子彈射入物塊1后

A.產(chǎn)生的內(nèi)能為尹4B.物塊

2的最大速度為：

C.系統(tǒng)的最大動(dòng)能為如評(píng)D.最大

7

彈性勢(shì)能為方叫

解析：

(1)系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒；子彈射入

物塊1的過程中，內(nèi)力為摩擦力，機(jī)械能減小，

減少的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；然后由子彈、彈

簧、兩物體組成的系統(tǒng)內(nèi)力為彈簧的彈力，系統(tǒng)

機(jī)械能守恒。

=(m。+4m0)vi

Q=W,=-j(m0+4m0)v^

2

解得：°=釬。*A正確

子彈射入前動(dòng)能為如與射入1時(shí)損失了

71

”%故系統(tǒng)最大動(dòng)能為小山。

(2)由于子彈射入物塊1后系統(tǒng)機(jī)械能守

恒，當(dāng)彈性勢(shì)能最小(為零)時(shí)動(dòng)能最大，此時(shí)物

塊1、2動(dòng)物才具有最大速度。從子彈射入物塊

1到彈簧第一次恢復(fù)原長(此時(shí)物塊2速度最大)

相當(dāng)于一動(dòng)一靜的彈性碰撞，有

{(mo+4mo)vi+4mo)vi+m2V2

|g+4moM=°+4moM*+g股崎解得.

(叫+打)一如v

--------------------V]=—0

+4如+m?--45

2(m0+4m0)2

----:-------丹=T-VO

+4嘰+叫9

2

即B、C錯(cuò)

(3)當(dāng)彈簧形變最大時(shí)彈性勢(shì)能最大，由

運(yùn)動(dòng)學(xué)知，當(dāng)兩物塊速度相等時(shí)彈簧有最大形變

量(追擊問題中的相距)。從子彈打入物塊1后到

物塊有共同速度v的過程相當(dāng)于完全非彈性碰

撞。有

（m0+咕1>1=+加1+

112

｛=5（嘰+小1）埒-至（9+砌+如）力解得.E小，=4jm（,“D正

確

答案：AD

總結(jié)升華：（1）、當(dāng)彈簧處于自然長度時(shí)，

系統(tǒng)具有最大動(dòng)能；系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中彈簧從自然長度

開始到再次恢復(fù)自然長度的過程相當(dāng)于彈性碰

撞過程。（2）、當(dāng)彈簧具有最大形變量時(shí)，兩端

物體具有相同的速度，系統(tǒng)具有最大的彈性勢(shì)

能。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中，從任意狀態(tài)到彈簧形變量最大

的狀態(tài)的過程相當(dāng)于完全非彈性碰撞的過程。

（實(shí)際上應(yīng)為機(jī)械能守恒）

【變式2］（全國高考題）質(zhì)量為m的鋼板

與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地

上.平衡時(shí),彈簧的壓縮量為x。,如下圖1915.一

物塊從鋼板正上方距離為3而的A處自由落下，

打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘

連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng).物塊質(zhì)量也

為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn).假設(shè)物塊質(zhì)量為

2m,仍從A處自由落下，那么物塊與鋼板回到

O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度.求物塊向上運(yùn)動(dòng)到

達(dá)的最高點(diǎn)與o點(diǎn)的距離.

解析：質(zhì)量為m的物塊運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)分為三

個(gè)階段：第一階段為自由落體運(yùn)動(dòng)；第二階段為

和鋼板碰撞；第三階段是和鋼板一道向下壓縮彈

簧運(yùn)動(dòng)，再一道回到O點(diǎn).質(zhì)量為2m的物塊運(yùn)

動(dòng)過程除包含上述三個(gè)階段以外還有第四階段，

即2m物塊在O點(diǎn)與鋼板別離后做豎直上拋運(yùn)

動(dòng).彈簧的初始?jí)嚎s量都是而，故有益=與

對(duì)于m：

第一階段，根據(jù)自由落體規(guī)律有V。=J6gx0①

第二階段，根據(jù)動(dòng)量守恒有mv0=2mvi

②

第三階段，根據(jù)機(jī)械能守恒有耳(2m)vf=2mgx0③

對(duì)于2m物塊：

第二階段，根據(jù)動(dòng)量守恒有2mv0=3mv2

④

第三階段，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒有

2

E1+33mM=3mgx0+-(3m)v⑤

第四階段，根據(jù)豎直上拋規(guī)律有⑥

又因馬=%

⑦

上幾式聯(lián)立起來可求出：，=Xo/2

答案：=Xo/2

總結(jié)升華：分析綜合性的問題時(shí)，必須重視

分析不同過程的共性和不同之處，找出共性可以

使得解題過程簡(jiǎn)潔，找出不同可以防止錯(cuò)誤發(fā)

生。如此題的兩個(gè)過程運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和遵守的規(guī)律是

相同的，其聯(lián)系是以=%不同的是質(zhì)量為2m的物體

返回0點(diǎn)后還要繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，且與鋼板別離。

類型七'以平拋運(yùn)動(dòng)為情景與動(dòng)量定理、動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒定律相聯(lián)系的問題而