第02講 有理數(shù)及其運算（解析版）

2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)【贏在寒假】同步精講精練系列第02講有理數(shù)及其運算【考點梳理】考點1：數(shù)軸、絕對值、相反數(shù)1.數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，并能靈活運用。1）任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示2）在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大3）正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)2.相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零1）數(shù)a的相反數(shù)是-a（a是任意一個有理數(shù)）2）0的相反數(shù)是0.3）若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.3.倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。絕對值：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。數(shù)a的絕對值記作︱a︱1)對任何有理數(shù)a,總有︱a︱≥0.2）零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3）若a＞0，則︱a︱=a;若a＜0，則︱a︱=-a;若a=0，則︱a︱=0;5.有理數(shù)比較大?。?）正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；2）數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；3）兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小?？键c2：有理數(shù)的加減運算有理數(shù)加法法則①同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加；②異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0；2.有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-b)考點3：有理數(shù)的乘除1.有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)同0相乘，都得0.①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0.有理數(shù)除法法則①除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù);②兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相除;0除以任何一個不等于0的數(shù),都得0.考點4：有理數(shù)的乘方和科學(xué)計數(shù)法1.有理數(shù)的乘方定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．（1）乘方與冪不同，乘方是幾個相同因數(shù)的乘法運算，冪是乘方運算的結(jié)果．（2）底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個數(shù)時，要用括號括起來．（3）一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方．例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫．2.乘方運算的符號法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)，如≥0．(1)有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．(2)任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)．3.科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，l≤||<10，是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，如＝.（1）負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示，“”照寫，其它與正數(shù)一樣，如=；（2）把一個數(shù)寫成形式時，若這個數(shù)是大于10的數(shù)，則n比這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.考點5：有理數(shù)的混合運算1.五種運算：加、減、乘、除、乘方2.有理數(shù)的運算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的，對只含乘除，或只含加減的運算，應(yīng)從左往右運算。3.運算律加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法對加法的分配律4.有理數(shù)的混合運算有理數(shù)混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．(1)有理數(shù)運算分三級，并且從高級到低級進(jìn)行運算，加減法是第一級運算，乘除法是第二級運算，乘方和開方(以后學(xué)習(xí))是第三級運算；(2)在含有多重括號的混合運算中，有時根據(jù)式子特點也可按大括號、中括號、小括號的順序進(jìn)行．(3)在運算過程中注意運算律的運用．【題型歸納】題型一：有理數(shù)、數(shù)軸和絕對值1．下列各數(shù)：0，，1.010010001，，，4.2，，其中有理數(shù)的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．52．在有理數(shù)中，負(fù)數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．?dāng)?shù)軸上A，B兩點表示實數(shù)，，則下列選擇正確的是（）A． B． C． D．4．下列各數(shù)中，比﹣1大的數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．05．已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+b|﹣|c﹣b|的結(jié)果是（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)+c C．c﹣a D．a(chǎn)+2b﹣c題型二：有理數(shù)的加減6．已知a、b、c為有理數(shù)，且a＋b＋c＝0，b≥﹣c＞|a|，則a、b、c與0的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0C．a(chǎn)≥0，b＜0，c＞0 D．a(chǎn)≤0，b＞0，c＜07．若a＞0，b＜0，a+b＜0，下列結(jié)論正確的是（）A．b＜﹣a＜0＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜﹣b＜a C．﹣a＜b＜0＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜b＜a8．a(chǎn)，b，c三個數(shù)的位置如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（）A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a(chǎn)＋b＜0 D．a(chǎn)＋c＞09．若，，且，同號，則式子的值是（

）A． B． C．或 D．或10．如圖，數(shù)軸上4個點表示的數(shù)分別為a、b、c、d．若|a－c|＝9，|a－d|＝11，|b－d|＝7，則|b－c|＝（）A．1 B．3 C．5 D．7題型三：有理數(shù)的乘除11．已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)+b＜0 C．b－a＞0 D．a(chǎn)·b＞012．下列各組算式中，其值最小的是（）A．﹣3﹣2 B．﹣|﹣3|×（﹣2） C．﹣（﹣3）﹣2 D．﹣（﹣3）×（﹣2）13．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上表示如圖所示，則下列各式中正確的是（）A． B． C． D．14．若x與互為倒數(shù)，則的值是（）A．2 B．3 C．4 D．515．若，則代數(shù)式的值為（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣2題型四：有理數(shù)的乘方與科學(xué)計數(shù)法16．下列對數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．與 B．與C．與 D．與17．下列說法不正確的是（）A．相反數(shù)等于本身的數(shù)是0 B．絕對值最小的數(shù)是0C．平方最小的數(shù)是0 D．最小的整數(shù)是0.18．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如下，那么下面正確的是（）A． B． C． D．19．若，則的值為（）A． B． C． D．20．第24屆冬季奧林匹克運動會即2022年北京冬季奧運會計劃于2022年2月4日至2022年2月20日召開，屆時總建筑面積約為333000平方米的北京冬奧村將迎來北京賽區(qū)運動員及隨行官員在此居住．將數(shù)字333000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A． B． C． D．題型五：有理數(shù)的混合運算21．計算等于（）．A． B． C． D．22．按下圖所示的操作步驟，若輸入的值為4，則輸出的值為（）A．28 B．90 C．-100 D．-7023．計算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的結(jié)果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣22014 D．2201524．定義運算，如，則的值為（）A．8 B．-8 C．16 D．-1625．定義☆運算：觀察下列運算：（+3）☆（+15）=+18（－14）☆（－7）=+21（－2）☆（+14）=－16（+15）☆（－8）=－230☆（－15）=+15（+13）☆0=+13請你認(rèn)真思考上述運算，歸納☆運算的法則，并計算：（－11）☆［0☆（–12）]等于（）A．132 B．0 C．－132 D．－23【雙基達(dá)標(biāo)】1．如果a+b＜0，并且ab＞0，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0 C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＞0，b＜02．下列運算正確的是（）A． B．C． D．3．如圖，數(shù)軸上的三點所表示的數(shù)分別為．如果，那么該數(shù)軸的原點的位置應(yīng)該在（）A．點A的左邊 B．點A與點B之間 C．點B與點C之間 D．點C的右邊4．一根1米長的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的繩子長度為（）A．米 B．米 C．米 D．米5．下列說法中，不正確的是（）A．一個數(shù)與它的倒數(shù)之積為1； B．一個數(shù)與它的相反數(shù)之商為-1；C．兩數(shù)商為-1，則這兩個數(shù)互為相反數(shù)； D．兩數(shù)積為1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù)6．在數(shù)軸上，與表示-2的點的距離是4個單位的點所對應(yīng)的數(shù)是___________.7．若│x－1│+│y+2│=0，則x－y=__________.8．?dāng)?shù)軸上A，B兩點所表示的有理數(shù)的絕對值的和是_______________9．截止2018年，我國約有2.3×108輛民用汽車，按平均每輛車的車身約為5m計算，讓這些汽車頭尾相接排列，相當(dāng)于______座萬里長城的長度（長城的長度按5.13×103km計算）．10．若a、b、c為整數(shù)，且|ab|19|ca|991，則|ca||ab||bc|=________．【高分突破】1．下列各式中，計算結(jié)果等于的是（）A． B． C． D．2．若，則的值是（）A． B． C． D．3．經(jīng)專家測算，北京的網(wǎng)絡(luò)速度基本上能夠保證在

左右，最高峰值時曾達(dá)到

，將

用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A． B． C． D．4．有理數(shù)，，按從小到大的順序排列是（）A． B．C． D．5．若，，則的值是（）A．-4 B．4 C．2n-2m+4 D．無法確定6．在數(shù)軸上表示-1和2018的兩點分別為A和.B，則A，B兩點間的距離為_______________7．計算：_________