重慶市第十一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題

重慶市第十一中學(xué)校高屆（下）數(shù)學(xué)試卷85分在每題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.3名男生和2名女生排成一隊(duì)照相，要求女生相鄰，共有排法（）種A.120B.24C.48D.96【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法可得答案.【詳解】將兩名女生當(dāng)成一個(gè)元素和3名男生全排列得種排法，兩名女生排序有種排法，所以共有種排法.故選：C.2.設(shè)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式：，；故當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)為，故．故選：D．3.函數(shù)（）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.B.C.D.和【答案】B第1頁(yè)/共16頁(yè)【解析】【分析】求導(dǎo)可得，求即可得解.【詳解】（令，解得，故在上單調(diào)遞增，故選：B．4.如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”．現(xiàn)提供4種顏色給“弦圖”的5個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有（）A.48種B.72種C.96種D.144種【答案】B【解析】【分析】區(qū)域與其他區(qū)域都相鄰，從開(kāi)始分步進(jìn)行其它區(qū)域填涂可解【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，假設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為，分4步分析：①，對(duì)于區(qū)域，有4種涂法，②，對(duì)于區(qū)域，與相鄰，有3種涂法，③，對(duì)于區(qū)域，與相鄰，有2種涂法，④，對(duì)于區(qū)域，若其與區(qū)域同色，則有2種涂法，若區(qū)域與區(qū)域不同色，則有1種涂法，則區(qū)域有2+1＝3種涂色方法，則不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72種；故選：B．第2頁(yè)/共16頁(yè)【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合問(wèn)題“”為若干個(gè)“既不重復(fù)也不遺漏”“完整的步驟”數(shù)，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)．5.北山中學(xué)在學(xué)?！?36展．現(xiàn)有高一新生中的五名同學(xué)打算參加“地理行知社”“英語(yǔ)ABC”“籃球之家”“生物研啟社”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“生物研啟社”，則不同的參加方法的種數(shù)為（）A.72B.108C.180D.216【答案】C【解析】【分析】根據(jù)甲參加的社團(tuán)分類，分甲參加的社團(tuán)只有1人和參加的社團(tuán)有2人，由分步和分類計(jì)數(shù)原理可得．【詳解】根據(jù)題意分析可得，必有2人參加同一社團(tuán).首先分析甲，甲不參加“生物研啟社”，則有3種情況，再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個(gè)社團(tuán)，則有（種）情況；若甲是單獨(dú)1個(gè)人參加一個(gè)社團(tuán)，則有（種）情況．則除甲外的4人有（種）參加方法．故不同的參加方法的種數(shù)為故選：C6.已知函數(shù)，則的大致圖像為（）第3頁(yè)/共16頁(yè)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)特殊點(diǎn)的函數(shù)值，用排除法選擇正確選項(xiàng).【詳解】，，，排除選項(xiàng)ABD.故選：C.7.在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A.30B.45C.60D.90【答案】B【解析】【分析】先求的通項(xiàng)公式為，再求出的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件列式即可得解.【詳解】在的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，對(duì)于，通項(xiàng)公式為，，，r、k，令，可得，故，，故項(xiàng)的系數(shù)為，第4頁(yè)/共16頁(yè)故選：B.8.設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】、、，利用導(dǎo)數(shù)可求得，，，由此可得大小關(guān)系.【詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，，即，則；令，則，在上單調(diào)遞減，，即，則；，即；令，則，在上的單調(diào)遞增，，即，則，即；綜上所述：.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系的比較問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性后，即可得到函數(shù)值的大小.二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.[多選題]下列說(shuō)法正確的是（）A.可表示為B.若把英文“hero”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種C.10個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)蓚€(gè)人握手一次，一共握手45次第5頁(yè)/共16頁(yè)D.老師手里有3張參觀游園的門票分給7人中的3人，則分法有種【答案】ABC【解析】【分析】由排列數(shù)公式可判斷A；由排列定義可判斷B；由組合定義可判斷CD．【詳解】A項(xiàng)，，正確；Bhero的全排列為1種，故可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有確；C項(xiàng)，10個(gè)朋友，兩個(gè)人握手一次，共握手D項(xiàng)，3張門票屬于相同元素，故應(yīng)有種分法，D不正確．故選：ABC.10.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A.B.C.D.2【答案】ABC【解析】【分析】由題意得在上恒成立，由判別式小于等于0求出參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，開(kāi)口向下，總會(huì)存在負(fù)值，由題意得在上恒成立，則，解得．故選：ABC.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則有3個(gè)零點(diǎn)B.過(guò)上任一點(diǎn)至少可作兩條直線與相切C.若，則只有一個(gè)零點(diǎn)D.【答案】ACD第6頁(yè)/共16頁(yè)【解析】【分析】根據(jù)三次函數(shù)性質(zhì)，對(duì)參數(shù)的正負(fù)進(jìn)行分類討論畫(huà)出其大致圖象可知當(dāng)，則有3個(gè)零點(diǎn)，即A正確；顯然在極值點(diǎn)處只能作一條直線與相切，可知B錯(cuò)誤；若，結(jié)合的正負(fù)進(jìn)行分類討論可知只有一個(gè)零點(diǎn)，即C正確；利用三次函數(shù)的對(duì)稱中心以及導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可得，所以D正確.詳解】根據(jù)題意可得，且；當(dāng)時(shí)，易知時(shí)，；時(shí)，；此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；且當(dāng)趨近于時(shí)，也趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，也趨近于；利用三次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)，其函數(shù)圖象如下圖所示：此時(shí)由圖象可知有3個(gè)零點(diǎn)；同理當(dāng)時(shí)，易知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且當(dāng)趨近于時(shí)，也趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，也趨近于；利用三次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)，其函數(shù)圖象如下圖所示：第7頁(yè)/共16頁(yè)此時(shí)由圖象可知有3個(gè)零點(diǎn)；所以若，則有3個(gè)零點(diǎn)，即A正確；由題意知，所以過(guò)或有且僅有一條直線與相切，且切線為水平直線，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)A易知在處取得極大值，在處取得極小值，且；若，則，即；此時(shí)其圖象如下圖所示：由圖可知，只有一個(gè)零點(diǎn)；同理當(dāng)時(shí)，易知在處取得極小值，在處取得極大值，且；若，則，即；此時(shí)其圖象如下圖所示：由圖可知，只有一個(gè)零點(diǎn)；第8頁(yè)/共16頁(yè)綜上可知，若，則只有一個(gè)零點(diǎn)，即C正確；由三次函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，所以滿足，又是方程的兩根，則滿足；所以，即，所以D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究三次函數(shù)性質(zhì)時(shí)，需要記憶三次函數(shù)圖象的幾種常見(jiàn)模型以及對(duì)稱中心坐標(biāo)的表達(dá)式，結(jié)合極值、極值點(diǎn)等概念綜合考慮可判斷結(jié)論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則______.【答案】##【解析】【分析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，將代入求即可.【詳解】由題設(shè)，則.故答案為：13.已知集合，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意，可得所取的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為正數(shù)，結(jié)合所給集合列舉分析即可得答案【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，且該點(diǎn)表示第二象限內(nèi)的點(diǎn)，所以所取的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為正數(shù)，若橫坐標(biāo)為2，則縱坐標(biāo)可為5、6，即點(diǎn)為，第9頁(yè)/共16頁(yè)若橫坐標(biāo)為4，則縱坐標(biāo)可為1、3，即點(diǎn)為，若橫坐標(biāo)為7，則縱坐標(biāo)可為1、3，即點(diǎn)為，所以點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6.故答案為：614.關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】令，則有，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將問(wèn)題化為恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，令，則，且，令，則，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，則，即在R上單調(diào)遞增，所以且，故恒成立，令，則，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，則，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).第10頁(yè)/共16頁(yè)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）76【解析】1）求導(dǎo)后根據(jù)極值點(diǎn)的定義與滿足的關(guān)系式求解即可；（2）分析區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與左端點(diǎn)再判斷大小即可【小問(wèn)1詳解】，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，，，令，解得或；令，解得.所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1），又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)在的極大值為，又，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.16.已知展開(kāi)式中的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求n的值；（2）將展開(kāi)式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率.【答案】（1）7（2）【解析】1）利用第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為等差數(shù)列可求；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可得展開(kāi)式中共有3項(xiàng)有理項(xiàng)，利用插空法和古典概型的概率計(jì)算公式可求概第11頁(yè)/共16頁(yè)率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈诙?xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、、，由題意可知：，即，顯然，整理可得，解得或．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可知展開(kāi)式共8項(xiàng)，當(dāng)為有理項(xiàng)，共3項(xiàng)，所以由插空法可得有理項(xiàng)不相鄰的概率．17.已知，，過(guò)原點(diǎn)作圖像的切線，切點(diǎn)為M，已知（1）求的解析式；（2）若的圖像與的圖像有一條通過(guò)原點(diǎn)的公切線，求a的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)求；(2)由(1)可得與曲線相切，由此可求a的值．【小問(wèn)1詳解】設(shè)切點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，又；∴，∴第12頁(yè)/共16頁(yè)【小問(wèn)2詳解】此公切線即為（1）中的切線，∵，∴切線為，設(shè)與的圖像切于點(diǎn)，又∵，∴，解得，∴18.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)最大值；（3）證明：.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線在切點(diǎn)處的切線方程；（2）求出函數(shù)在時(shí)的值域，可求實(shí)數(shù)的最大值；（3）依題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【小問(wèn)1詳解】，，在處的切線為.【小問(wèn)2詳解】，第13頁(yè)/共16頁(yè)，則，所以，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，因?qū)θ我夂愠闪?，所以，則，的最大值為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，在上單調(diào)遞增，，，使，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)在處的階帕德近似定義為：且滿足：第14頁(yè)/共16頁(yè).注：.已知函數(shù)在處的階帕德近似.（1）求的表達(dá)式；（2）記，當(dāng)時(shí)，證明不等式；（3）當(dāng)，且時(shí)，證明不等式.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）根據(jù)的定義，即可利用求導(dǎo)以及待定系數(shù)求解系數(shù)，進(jìn)而可求解，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得單調(diào)性，即可求解最值求解，（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可得，由放縮法得，即可裂項(xiàng)相加，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，.因?yàn)?，所以，所?因，且，所以.因?yàn)椋?，所?所以.第15頁(yè)