數(shù)值計(jì)算方法馬東升等第版習(xí)題解答

第1章數(shù)值計(jì)算引論

1.1內(nèi)容提要

一、誤差的來(lái)源

數(shù)值計(jì)算主要研究以下兩類誤差。

1.截?cái)嗾`差

數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與用數(shù)值方法求得的解的差稱為截?cái)嗾`差，又稱為方法誤差。這種誤

差常常是由用有限過(guò)程代替無(wú)窮過(guò)程時(shí)產(chǎn)生的誤差。例如，要計(jì)算級(jí)數(shù)

,111三1

2!3!nlMk\

的值，當(dāng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)，用前n項(xiàng)(有限項(xiàng))的和

,111/1

2!3!nl怎k\

來(lái)代替無(wú)窮項(xiàng)之和，即舍棄了n項(xiàng)后邊的無(wú)窮多項(xiàng)，因而產(chǎn)生了截?cái)嗾`差

2.舍入誤差

由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)為有限位，原始數(shù)據(jù)和四則運(yùn)算過(guò)程中進(jìn)行舍入所產(chǎn)生的誤差稱為舍

入誤差。例如，用3.14159表示圓周率乃時(shí)產(chǎn)生的誤差0.0000026-,用0.33333表示

1+3的運(yùn)算結(jié)果時(shí)所產(chǎn)生的誤差1+3-0.33333=0.0000033…都是舍入誤差。

二.近似數(shù)的誤差表示

1.絕對(duì)誤差

設(shè)X,是準(zhǔn)值x的一個(gè)近似值，稱

?*

e(x)=x-x

為近似值X*的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。

令|e(/)|的一個(gè)上界為小,即

|e(x)|=|x-x|<￡

把屋稱為近似數(shù)『的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱誤差限。

1/233

2.相對(duì)誤差

設(shè)/是精確值x的一個(gè)近似值，稱

?*

e(x)x-x

xx

為近似值X,的相對(duì)誤差。在實(shí)際應(yīng)用中常取

為X*的相對(duì)誤差。

令相對(duì)誤差絕對(duì)值的一個(gè)上界為￡：,即

把￡:稱為近似數(shù)x*的相對(duì)誤差限。

3.有效數(shù)字

對(duì)有多位數(shù)字的準(zhǔn)確值四舍五入原則得到其前若干位的近似值時(shí)，該近似值的絕對(duì)誤差

不超過(guò)末位的半個(gè)單位。

設(shè)數(shù)x的近似值x*=±0.x,x2x?x10"'，其中，匕是0~9之間的任一個(gè)數(shù)，但匕手0,

/?=1,2，…”是正整數(shù)，m是整數(shù)，若

Ix-|<—x10"1"

2

則稱一為x的具有n位有效數(shù)字的近似值，x*準(zhǔn)確到第n位，/，與，…，x”是/的有效數(shù)

字。

有效數(shù)字位數(shù)越多，絕對(duì)誤差越小。

4.有效數(shù)字和相對(duì)誤差

若近似值/=±0.占M…貓'I?！本哂衝位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差

1/|<—xl0-(n-1)

2匹

有效數(shù)字位數(shù)越多，相對(duì)誤差越小。

若近似值/=±0)/2…乙X10W的相對(duì)誤差

2/233

Ier|<-------------X10

2（.+1）

則該近似數(shù)，至少有n位有效數(shù)字。

三.數(shù)值計(jì)算誤差分析

1.函數(shù)運(yùn)算誤差

設(shè)一元函數(shù)f（x）,自變量X的近似值為X*,函數(shù)/（X）的近似值為/（X*）,則函數(shù)“X）

的絕對(duì)誤差限

￡"（/）]刈f'（x）\￡（x）

相對(duì)誤差限

*/'（X*）*

￡r[f（x）]）

f（x）

設(shè)多元函數(shù)y=/（占，巧，…，匕），自變量芭x”的近似值為x：,x；,…，"，函數(shù)

y的近似值為y*=/（x；,x；」-x：）,則函數(shù)y的絕對(duì)誤差限

相對(duì)誤差限

上二式中

且）*=以叢9

5xz5x.

2.算術(shù)運(yùn)算誤差

以"乙兩數(shù)為例，設(shè)x；,x；分別為準(zhǔn)確值的近似值，其誤差限分別為

￡（X；）,￡（X；）,則

￡（X1,±占）B￡（X[）+￡（4）

￡（X；X；）引X*|￡（X；）+|X；|￡（X：）

3/233

犬；|X*|2（無(wú)；）+|X；|￡（X；）*

￡（一）x-----------------------^豐0

/⑷）22

三.數(shù)值穩(wěn)定性和減小運(yùn)算誤差

1.數(shù)值穩(wěn)定性

在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，舍入誤差在一定條件下能得到控制，或者說(shuō)是舍入誤差的增長(zhǎng)不影

響產(chǎn)生可靠的結(jié)果，則該計(jì)算是數(shù)值穩(wěn)定的，否則是數(shù)值不穩(wěn)定。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，要選用數(shù)

值穩(wěn)定的方法，不穩(wěn)定的數(shù)值方法不能使用。

2.減小運(yùn)算誤差

(1)避免相近的數(shù)相減，防止有效數(shù)字位數(shù)損失。

(2)防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)，保護(hù)重要的物理參數(shù)。

(3)絕對(duì)值小的數(shù)不宜做除數(shù)。

(4)簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。

1.2習(xí)題及解答

1.已知乃=3.141592654S,問(wèn)：

(1)若其近似值取5位有效數(shù)字，則該近似值是多少？其誤差限是多少？

(2)若其近似值精確到小數(shù)點(diǎn)后面4位，則該近似值是什么？其誤差限是什么？

(3)若其近似值的絕對(duì)誤差限為0.5x10”,則該近似值是什么？

解(1)近似值，=3.1416,誤差限屋=1x10-4。

2

(2)和(1)相同，71"=3.1416,￡=—x104o

2

(3)—=3.14159。

2.下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值，求各數(shù)的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限和有效

數(shù)字的位數(shù)。

(1)3580

解絕對(duì)誤差限屋=Lx100=0.5。

2

c05

相對(duì)誤差限￡=；—=-----=1.4x10=0.014%o

r|x*|3580

經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值3580,其各位都是有效數(shù)字，故有4位有效數(shù)字。

（2）0.0476

解絕對(duì)誤差限=1x10-4=05x10-4。

2

4/233

L「r_L'口斗”口*￡0.5X10

相對(duì)誤差限凡=一二=---------?0.00105?0.11%o

|x|0.0476

經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值0Q476,其各位都是有效數(shù)字，故有效數(shù)字的位數(shù)為3位。

(3)30.120

解絕對(duì)誤差限￡*=1x10-3=0.0005

2

口將?？?￡0.0005

相對(duì)誤差限2=----=-------?0.0017%

r|x|30.120

經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值30.120,其各位都是有效數(shù)字，故有效數(shù)字的位數(shù)為5位。

(4)0.3012xlO-5

解絕對(duì)誤差限屋=1'1。一4'10一5=0.5x10一9

2

0.5x10"

相對(duì)誤差限工--=-------------?0.017%

|x|0.3012xlO'5

經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值0.3012xlO-5,其各位都是有效數(shù)字，故有效數(shù)字的位數(shù)為

4位。

1.確定圓周率乃如下近似值的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限，并求其有效數(shù)字的位數(shù)。

/、22

(1)—

7

22

解一=3.142857--,4=3.141592…。

7

22

|乃-一|=|3.141592--3.142857-|=0.001264-,取絕對(duì)誤差/二0.0013,則

7

相對(duì)誤差

e0.0013

=--=0.04138%

IxI71

或取絕對(duì)誤差限屋=0.005=-xl0-2o因?yàn)镮IFI,m-n=-2,所以n=3,有3位有效數(shù)

2

-X10-2

字。此時(shí)相對(duì)誤差限￡；=Z------=0.159%o又解，相對(duì)誤差限

lx|0.314

￡；=—xl0-,3-°=0.17%。前者比后者更精確。

2x3

223

(2)—

71

5/233

223

解^^=3.14084-,^-=3.14159-0

71

223

|71----|=|3.14159--3.14084-=0.00075…，取絕對(duì)誤差e"=0.00076,則相對(duì)

71

誤差

0.00()76

--------=0.02419%

lx|冗

或取絕對(duì)誤差限/=0.005=-x10一2。因?yàn)閙=l,m-n=-2,所以n=3,有3位有效數(shù)

2

1,

-xlO-2

2

字。此時(shí)相對(duì)誤差限￡：==0.159%o

1%10.314

又解，相對(duì)誤差限￡；=-^xl0-07=017%。前者比后者更精確。

2x3

113

切355

解——=3.14159292-,萬(wàn)=3.14159…。

113

355

|7C----|=|3.141592654--3.141592920-|=0.000000266—,取絕對(duì)誤差e

113

=0.000000267,

w0.000000267

則相對(duì)誤差er=——=------------=0.0000085%

I—I1

或取絕對(duì)誤差限屋=0.0000005=—x10-6o因?yàn)閙=Lm-n=-6,所以n=7,有7位有

2

*—x106

效數(shù)字。此時(shí)相對(duì)誤差限屋='一=------=0.00(X)159%o

r|/|0.314

又解，相對(duì)誤差限￡：=」一x10-<77=00(^017%。前者比后者更精確。

2x3

設(shè)x=108.571nt,其近似值/的相對(duì)誤差e(x)<0.1,證明/的相對(duì)誤差

3(/)v0.1%。

證e(x")=108.57(Int-lnt*)=108.57ln(—)<0.1

0」

0<—<e10857

6/233

*0.1

108574

er(/')=^―=—-1<e--1?9.21x10-<0.1%。

1.要使而近似值的相對(duì)誤差限小于0.1%,需取幾位有效數(shù)字？

解方法1：因?yàn)?=2.4494…，有與=2,設(shè)近似值,有n位有效數(shù)字，由定理

屋=」-xl0…

2毛

有-^―x10<0.1%

2x2

-X10|B-n<1X10-3

4

比較不等式上<1,所以n-l=3,n=4,故取4位有效數(shù)字，x*=2.449。

4

方法2：根據(jù)相對(duì)誤差限"=2-,有屋=￡；|/|,所以

IXI

-X10^3X2.449…=0.0012247???<0.0005=-x103=s'

22

即m-n=-3,由于m=l,所以n=4,故取x*=2.449。

方法3：解法1和解法2的結(jié)果都是偏于保守的。在解法1中，對(duì)定理所有具有n位有

效數(shù)字的近似值都正確，故對(duì)誤差估計(jì)偏大；在解法2中，取絕對(duì)誤差限確定有效數(shù)字n

位是偏大的。對(duì)于本例題，根據(jù)上述的結(jié)論，試取3位有效數(shù)字2.45進(jìn)行試算，其相對(duì)誤

差

|V6-2.45|

'-----------=0.000208<0.1%

2.45

實(shí)際已滿足要求。

1.已知近似數(shù)/的相對(duì)誤差限為0.3%,問(wèn)/至少有幾位有效數(shù)字？

解由"=0.3%,根據(jù)定理，有

0.3%=——'----x10'<n'I)

2(―+1)

X1的取值范圍是1~9,由于A未給出，取X1=l,n=2.92；取X1=9,n=2.22,按量不利的

情況，/至少有2位有效數(shù)字。

2.設(shè)x>0,其近似數(shù)x*的相對(duì)誤差限對(duì)6,求Inx*的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。

7/233

解由函數(shù)運(yùn)算的誤差限|屋，并考慮到X>0,有

￡

￡(ln(x,))?(hx')'屋=—=8

x

或解

**人人—人TA

￡(Inx)=|Inx-Inx|=|In—|=|In------；-----

xx

X-X

=|In——--+11=1ln(b+1)歸8

x

由函數(shù)運(yùn)算的相對(duì)誤差限￡,"（/）］刈/包2|屋，有

于（x）

Inx*xInx|Inx*|

4

8.計(jì)算球體積丫=上"3時(shí)，為使V的相對(duì)誤差不超過(guò)0.3%,問(wèn)半徑r的相對(duì)誤差允許

3

是多少？

解設(shè)r的近似值為r*,V的近似值為V。

434*3

—nr----nr

解法1:根據(jù)定義3?*）=^-------—

4*3

—九T

3

注意到有

e,(V.)Re,(/)三3r/-=3e,(r*)

令|e,"*）圖3e,（r*）區(qū)0.3%,可知半徑r允許的相對(duì)誤差e,（V*）區(qū)0.1%。

解法2：利用數(shù)值運(yùn)算誤差估計(jì)公式（下面公式用r和V表示也可）

43

￡（V）X（一乃廣）￡（廠）=4"廣2￡（八

3

47rr2

1*001=1=3|%(r)區(qū)0.3%

V43

—7ir

3

8/233

可得半徑r的允許相對(duì)誤差為

0.3%

|*(r)|<-----=0.1%

3

9.真空中自由落體運(yùn)動(dòng)距離s和時(shí)間t的關(guān)系s=-gt2,并設(shè)重力加速度g是準(zhǔn)確的。

2

而對(duì)t的測(cè)量有±0.1s的誤差，證明當(dāng)t增加時(shí)，距離s的絕對(duì)誤差增加，而相對(duì)誤差卻減

少。

解由s=—g/2得ds=gtdt,因而

2

eQ)?gte(t")

學(xué)gte(t)2,

)=亙;——=一外/)

1t

一gf

2

于是|e(s*)|=gt|e(r")|

2

l3(1)h—|e(八)l

可見(jiàn)，當(dāng)|e(r)|固定時(shí)，|e(s*)|隨著t的增加而增加，而Ie,⑺|卻隨著t的增加而減少。

1x”

10.求積分值/=f-----公,〃=()』,…,8。

"x+5

解由

n一

-i,xn+5uxI

I+5/-dx=\xN-1dx=-

x+5Jon

可得兩個(gè)遞推計(jì)算方法。

方法1:--5/〃_|,〃=L2

n

11

方法2：=—(---/“)，〃=8,7,?-?,1

5n

方法1的初值

Jx

I.=f-----dx=In1.2=0.1823

Jox+5

方法2的初值，利用廣義積分中值定理

1J?11

1=-----fxndx=-----------片￡[0』]

n4+5幾4+5〃+5

所以

9/233

11

<1<------------

6(/2+1)----“5(〃+1)

取

111

=-(—+——)=0.02037

25445

取4位有效數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果如表1-1所示。

表1-1計(jì)算結(jié)果

方法1方法2準(zhǔn)確值方法1方法2準(zhǔn)確值

0.18230.18230.18230.095750.028460.02847

10

0.088500.088390.08839-0.31210.024390.02433

>20.057500.058040.05804-1.7030.020930.02123

0.045830.043140.04314-8.3920.020370.01884

0.020850.034310.03431

從計(jì)算結(jié)果可以看出，方法1在八時(shí)已為負(fù)值，顯然與/矛盾，事實(shí)上乙和準(zhǔn)確

值相比已經(jīng)連1位有效數(shù)字也沒(méi)有了，這時(shí)因?yàn)楫?dāng)/。帶有1x10-的誤差時(shí)，這個(gè)初始數(shù)

據(jù)的誤差在以后的每次計(jì)算時(shí)順次乘以5,，5,…而傳播到/“中，使得算到/，就完全不準(zhǔn)

確了。方法2在初始值幾時(shí)1位有效數(shù)字也沒(méi)有，但倒推計(jì)算到"時(shí)各位都

是有效數(shù)字，這是因?yàn)檫f推公式的誤差是按L減少的，是穩(wěn)定的計(jì)算公式。

5”

9.設(shè)a=1000,取4位有效數(shù)字用如下兩個(gè)等價(jià)的式子

x---\/a+1-y[a和x=11---尸

yja+1+Ya

進(jìn)行計(jì)算，求x的近似值x*,并將結(jié)果與準(zhǔn)確值x=0.015807437s比較，各有多少位有效數(shù)

字■:

解將a=1000代入，取4位有效數(shù)字，有

x*=Ja+1-0=71000+1-71000=31.64-31.62=0.02

10/233

x=-!----產(chǎn)=.----,=-------------=0.01581

Ja+1+Ja<10()0+1+V1()0()31.64+31.62

與準(zhǔn)確值x=0Q15807437…比較，因前者出現(xiàn)相近似數(shù)相減，計(jì)算結(jié)果只有1位有效

數(shù)字，后者沒(méi)有相近數(shù)相減，有一4位有效數(shù)字。

10.計(jì)算/=(-，取*1.4,利用下列等價(jià)的式子計(jì)算，得到的哪一個(gè)結(jié)果最好？

(1)—----；(2)(3-2V2)3；(3)-----'-；(4)99-70VI

(V2+I)6(3+2j2/

解第⑷式和第(2)式出現(xiàn)相似數(shù)相減，且第(2)式計(jì)算量比第(4)式大，二者都不可能得

到好的運(yùn)算結(jié)果。第(1)式和第(3)式均不出現(xiàn)相近數(shù)相減，但第(1)式乘法運(yùn)算次數(shù)

比第(3)式多，而二都除法運(yùn)算次數(shù)相同，故第(1)式的計(jì)算量比第(3)式大，第次乘

除法運(yùn)算都可能引入新的舍入誤差，故只有第(3)式能給出好的運(yùn)算結(jié)果。

13.利用四位數(shù)學(xué)用表求1-cos2",比較不同方法計(jì)算所得結(jié)果的誤差。

1-cos2°?1-0.9994=0.0006

只有1位有效數(shù)字。

改用其它方法計(jì)算

.sin2200.034902_

1-cos2=---------?----------?6.092x104

1+cos2"1.9994

具有4位有效數(shù)字。

1-cos20=2sin21"=6.09x10-4

具有位為有效數(shù)字。

準(zhǔn)確值1-cos2°=6.0917…xIO-",故以上三種計(jì)算方法的誤差限分別是0.1X10-",

0.0003x10-4,0.002x10-4。

14.用消元法解線性方程組。

fx+1015y=1015

[x+y=2

若只用3位數(shù)計(jì)算，結(jié)果是否可靠？

解用方程組的上式，得

(1015-l)y=10”-2

即

1015-2

y

10-1

11/233

再將方程組的下式乘以IO'"減去上式，可得

(1015-l)x=1015

從面有

1015

X-.......

1015-1

假定只用3位計(jì)算，則通過(guò)上述消元過(guò)程分別得到的方程組是

1015y=1015

1015%=1015

從而得到原方程的解為

Jx=1

[y=i

這個(gè)結(jié)果顯然不可靠，因?yàn)樵谙^(guò)程中發(fā)生了大數(shù)“吃掉”小數(shù)的現(xiàn)象。

15.對(duì)反雙曲線正弦函數(shù)/(x)=ln(x-Jx2-I),求/(30)的值。若開平方用6

位函數(shù)表，問(wèn)求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大。若改用另一等價(jià)公式

l/?(x-ylx2-1)=-l"(x+Vx2-1)計(jì)算，問(wèn)求對(duì)數(shù)誤差有多大。

解對(duì)于反曲線正弦函數(shù)/(30)=1〃(30二F),記a=30-JT,若用6位的開平方

函數(shù)表，則有

?*=30-29.9833=0.0167

故有絕對(duì)誤差

4

￡(a*)=-x10,而/(30)R0.0167

2

于是有

1.0.54

￡"(30)]=?一s(a)=-------x10?0.003

a,0.0167

對(duì)于等價(jià)公式有

/(30)=-ln(30+^302-1)

記8=30+如丁，若用同樣的6位的開平方函數(shù)表，有

12/233

b*=30+29.9833=59.9833

進(jìn)而得到絕對(duì)誤差

.1

￡(b)=-x10

2

而/(30)=lnZ/,使用誤差傳播公式

s[f(30)]=￡(lnb*)?—￡(b*)=--------x104?0.834x106

b’59.9833

16.利用公式J菽427.982(有5位有效數(shù)字)，求方程/-56x-l=0的

兩個(gè)根，使其至少具有4位有效數(shù)字。

56

解求根公式x,,=±也6°-4=28土廊I

2

解出片=57.98

,---------no2_7M1

x2=28-7787=-----?=?-----=0.01786

28+,78355.98

?11

或x,=—=-----=0.01786

x,55.98

17.用秦九韻算法計(jì)算

p(x)=X3-3x-1

在X=2處的值。

解秦九韻算法

v=a

?°k=1,2...

=□&_/+%-?，

由已知，n=3

k=l時(shí)，匕=%=1,匕=vox+g=lx2+0=2

k=2時(shí)，v2=+勺=2x2+(-3)=1

k=3時(shí)，v3=v2x+=1x2+(-1)=1

所以，〃(2)=1o

或?qū)懗删o湊形式

13/233

O-3-1

X=2242

121l=p(2)

3同步練習(xí)題及解答

下列各數(shù)的是經(jīng)四舍五入得到的近似值，試指出它們各有幾位有效數(shù)字，并給出

其差限與相對(duì)差限。

X*=4.7021,君=0.067=280.20

.-xW4

解x；有5位有效數(shù)字，其誤差限屋=^xl0\相對(duì)誤差限￡；=------

24.7021

0.0010634%?

.—X10'

x：有2位有效數(shù)字，其誤差限屋=1x10-3,相對(duì)誤差限屋=------0746%。

-2卜*|0.067

.—X102

X：有5位有效數(shù)字，其誤差限屋='x10-2,相對(duì)誤差限屋=J=2------=001784%o

-2x*280.20

2.設(shè)下列各對(duì)近似值均為有效數(shù)字，問(wèn)它們是否一樣，若不一樣有何區(qū)別。

(1)45800和458x102

解不一樣，二者的有效數(shù)字和誤差限均不同。

45800的誤差限e*=有效數(shù)字的位數(shù)為5位。

2

458X102的誤差限￡*=Lx102,有效數(shù)字的位數(shù)為3位。

2

(2)0.00438和0.04380x10-'

解不一樣，二者的有效數(shù)字和誤差限均不同。

0.00438的誤差限屋=-x10'有效數(shù)字的位數(shù)為3位。

2

0.04380x10-的誤差限屋=-X10-6,有效數(shù)字的位數(shù)為4位。

2

(3)0.4015x10之和0.04015x103

14/233

解一樣，二者的有效數(shù)字和誤差限均相同。

0.4015x102和0.04015x10'的誤差限均為，屋=上x10、，有效數(shù)字位數(shù)均為4位。

2

⑷9800和98x102

解不一樣，二者的有效數(shù)字和誤差限均不相同。

9800的誤差限，屋=上，有效數(shù)字的位數(shù)為4位。

2

98x102的誤差限屋=lxl02,有效數(shù)字的位數(shù)為2位。

2

(5)0.8070和0.807

解不一樣，二者的有效數(shù)字和誤差限均不相同。

0.8070的誤差限屋有效數(shù)字的位數(shù)為4位。

2

0.807的誤差限屋=1x10-3,有效數(shù)字的位數(shù)為3位。

2

3.求師的有效近似值嗎，是相對(duì)誤差不超過(guò)0.1%。

解方法1：JTE"a3.1622776…，毛=3,當(dāng)有n位有效數(shù)字時(shí)。

<nn

f-=_LX1O=-L.xio--

'2x,2x3

----xlO<IO”

2x3

比較上不等式有-5-1)=-3,因此，〃=4,所以取x*=3.162。

方法2：根據(jù)相對(duì)誤差￡；:白，有卜］,所以

1,

-x10-x3.162???=0.0012247???

2

為確定有效數(shù)字的位數(shù)n,取屋=0.0005=lx10",即m-〃=-3，由于m=l,所以n=4。

2

故取x*=3.162。

方法3：解法1和解法2的結(jié)果都是偏于保守的。在解法1中，定理對(duì)所具有n位有

效數(shù)字的近似值都正確，故對(duì)誤差估計(jì)偏大。在解法2中，取絕對(duì)誤差限確定有效數(shù)字的位

數(shù)n也是偏大的。對(duì)于本例題，根據(jù)上述的結(jié)論試取3位有效數(shù)字2.45進(jìn)行試算，其相對(duì)

誤差

15/233

|V10--3.16|

------------------=0.0007210.1%

3.16

實(shí)際已滿足要求。

4.已測(cè)得某房間長(zhǎng)L=4.32相，寬4*=3.12機(jī)，己V0.015,卜-〃]

<0.01m,求房間的面積s=Id的誤差限與相對(duì)誤差限。

解因s=〃，故竺=d,—=/o由函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì)，有

alad

*as*as**

）p（7）卜（/）+（-y）￡（d）

其中，=d*=3.12,(])=/*=4.32,￡(/*)=￡(4*)=0.01。于是誤差限

€($?)=(3.12+4.32)x0.01m2=0.0744m2

相對(duì)誤差限

.e(s*)￡(s)0.0744

￡(s)=-^-=—―-=------------?0.55%

r|/|Id13.4784

序列卜」?jié)M足遞推關(guān)系

y,=i°y”T，"=i,2」“

若yo=5/2,yg=1.14,而

-2

\yo-=|V2-i.4i|x-xio=s

于是有

|月一%*|=10九-IT"：+1|=1。|九一％：41°屋

\y2-y；|=1-ioy；+“=io|%-y'<10%

類推之，有

|.Vio-y；oR1"

即計(jì)算到y(tǒng)“,，其誤差限為10'°屋，即若y"處有誤差限為小，則為。的誤差限將擴(kuò)大10‘°

可見(jiàn)這個(gè)計(jì)算過(guò)程是不無(wú)能定的。

16/233

6.如何計(jì)算下列函數(shù)值才比較精確？

(1)—-------—對(duì)HYY1

14-2x1+X

解要是計(jì)算精確，應(yīng)該避免兩近似數(shù)相減，故變換所給公式

11(14-X)—(1+2x)-X

-------------=----------------------------------

1+2x1+X(1+2x)(14-X)(1+2x)(1+X)

(2)-對(duì)1

解要是計(jì)算精確，應(yīng)該避免兩近似數(shù)相減，故變換所給公式

(3)\"+]—^dx,當(dāng)n充當(dāng)大時(shí)

Jn1+x"

解要是計(jì)算精確，應(yīng)該避免兩近似數(shù)相減，故變換所給公式

:九+11(〃+1)—〃1

|------dx=arctan(N+1)—arctanN=arctan-----------=arctan------------

Jn1+xl+(〃+l)〃1+(〃+1)〃

(4)日/X」1對(duì)"1

解要是計(jì)算精確，應(yīng)該避免兩近似數(shù)相減，故變換所給公式

22(ex-e~x)

第2章非線性方程的數(shù)值解法

2.1類容提要

一.初始近似值的搜索

1.方程的根

對(duì)于一元非線性方程/(X)=。，若"X)為代數(shù)多項(xiàng)式，則稱f(x)=。為代數(shù)方程;

是否稱為超越方程。

(1)若存在X*使f(x*)=o,則稱X?是方程的解或根，也稱X?是還是函數(shù)/(X)的

零點(diǎn)或根。

(2)若函數(shù)/5)可分解為

f(x)=(x-x］"'g(x),g(x，)豐0

其中，m是正整數(shù)；則稱x*是方程/(x)=。的m重根。當(dāng)m=l時(shí)，稱x*是方程/(x)-o

的單根。

(3)設(shè)函數(shù)/(x)有m階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，方程/(x)=0有m重根一的充要條件是

/(1)=/'(/)=…=尸>(/)=0,/'”>(一)工0

(4)若方程/(x)=0在區(qū)間［“，目?jī)?nèi)至少有一個(gè)根，則稱刈為有根區(qū)間。

定理2-1設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間以涉］上