2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象教案含解析新人教A版必修4

PAGEPAGE1第1課時正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入依據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P30～P33的內(nèi)容，回答下列問題．(1)視察教材P31圖1.4－3，你認(rèn)為正弦曲線是如何畫出來的？提示：利用單位圓中的正弦線可以作出y＝sin_x，x∈[0,2π]的圖象，將y＝sin_x在[0,2π]內(nèi)的圖象左右平移即可得到正弦曲線．(2)在作正弦函數(shù)的圖象時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？提示：作正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象時，起關(guān)鍵作用的點有以下五個：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(3)作余弦函數(shù)的圖象時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？提示：作余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象時，起關(guān)鍵作用的點有以下五個：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)正弦曲線正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象叫正弦曲線．(2)正弦函數(shù)圖象的畫法①幾何法：(ⅰ)利用正弦線畫出y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象；(ⅱ)將圖象向左、向右平行移動(每次2π個單位長度)．②五點法：(ⅰ)畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個關(guān)鍵點(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲線連接；(ⅱ)將所得圖象向左、向右平行移動(每次2π個單位長度)．(3)余弦曲線余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫余弦曲線．(4)余弦函數(shù)圖象的畫法①要得到y(tǒng)＝cosx的圖象，只需把y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度即可，這是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五點法”：畫余弦曲線y＝cosx在[0,2π]上的圖象時，所取的五個關(guān)鍵點分別為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．[問題思索](1)正弦曲線和余弦曲線是向左右兩邊無限延長的嗎？提示：是．(2)余弦曲線與正弦曲線完全一樣嗎？提示：余弦曲線與正弦曲線形態(tài)相同，但在同一坐標(biāo)系下的位置不同．[課前反思](1)正弦曲線的定義：；(2)正弦曲線的畫法：；(3)余弦曲線的定義：；(4)余弦曲線的畫法：.學(xué)問點1用“五點法”作簡圖講一講1．用“五點法”作出下列函數(shù)的簡圖：(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．[嘗試解答](1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描點、連線，如圖．(2)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－1012＋cosx32123描點、連線，如圖．類題·通法用“五點法”畫函數(shù)y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的簡圖的步驟：(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx或cosx0或11或00或－1－1或00或1yy1y2y3y4y5(2)描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列五個點：(0，y1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來．練一練1．利用“五點法”作出下列函數(shù)的簡圖：(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；(2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)．解：(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10－sinx0－1010描點、連線，如圖．(2)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－1011＋cosx21012描點、連線，如圖．學(xué)問點2利用正、余弦函數(shù)的圖象解不等式講一講2．利用正弦曲線，求滿意eq\f(1,2)＜sinx≤eq\f(\r(3),2)的x的集合．[嘗試解答]首先作出y＝sinx在[0,2π]上的圖象．如圖所示，作直線y＝eq\f(1,2)，依據(jù)特別角的正弦值，可知該直線與y＝sinx，x∈[0,2π]的交點橫坐標(biāo)為eq\f(π,6)和eq\f(5π,6)；作直線y＝eq\f(\r(3),2)，該直線與y＝sinx，x∈[0,2π]的交點橫坐標(biāo)為eq\f(π,3)和eq\f(2π,3).視察圖象可知，在[0,2π]上，當(dāng)eq\f(π,6)＜x≤eq\f(π,3)，或eq\f(2π,3)≤x＜eq\f(5π,6)時，不等式eq\f(1,2)＜sinx≤eq\f(\r(3),2)成立．所以eq\f(1,2)＜sinx≤eq\f(\r(3),2)的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|\f(π,6)＋2kπ＜x≤\f(π,3)＋))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ，))或eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ≤x＜\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)).類題·通法用三角函數(shù)圖象解三角不等式的步驟(1)作出相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象；(2)寫出適合不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集；(3)依據(jù)公式一寫出定義域內(nèi)的解集．練一練2．使不等式eq\r(2)－2sinx≥0成立的x的取值集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))解析：選C不等式可化為sinx≤eq\f(\r(2),2).法一：作圖，正弦曲線及直線y＝eq\f(\r(2),2)如圖(1)所示．由圖(1)知，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(k∈Z)).故選C.法二：如圖(2)所示不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(＋\f(π,4)，k∈Z)).故選C.學(xué)問點3正、余弦曲線與其他曲線的交點問題講一講3．推斷方程sinx＝lgx的解的個數(shù)．[嘗試解答]建立坐標(biāo)系xOy，先用五點法畫出函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象，再依次向左、右連續(xù)平移，得到y(tǒng)＝sinx的圖象．在同一坐標(biāo)系內(nèi)描出eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，－1))，(1,0)，(10,1)并用光滑曲線連接得到y(tǒng)＝lgx的圖象，如圖．由圖象可知方程sinx＝lgx的解有3個．類題·通法(1)確定方程解的個數(shù)問題，常借助函數(shù)圖象用數(shù)形結(jié)合的方法求解．(2)三角函數(shù)的圖象是探討函數(shù)的重要工具，通過圖象可較簡便的解決問題，這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用．練一練3．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]，若直線y＝k與其僅有兩個不同的交點，求k的取值范圍．解：由題意知f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π].))圖象如圖所示：若函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點，則由圖可知k的取值范圍是(1,3)．[課堂歸納·感悟提升]1．本節(jié)課的重點是“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，難點是圖象的應(yīng)用．2．本節(jié)課要重點駕馭正、余弦函數(shù)圖象的三個問題(1)正、余弦函數(shù)圖象的畫法，見講1；(2)利用正、余弦函數(shù)的圖象解不等式，見講2；(3)正、余弦曲線與其他曲線的交點問題，見講3.3．本節(jié)課要牢記正、余弦函數(shù)圖象中五點的確定y＝sinx，x∈[0,2π]與y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上的關(guān)鍵五點分為兩類：①圖象與x軸的交點；②圖象上的最高點和最低點．其中，y＝sinx，x∈[0,2π]與x軸有三個交點：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，圖象上有一個最高點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，一個最低點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))；y＝cosx，x∈[0,2π]與x軸有兩個交點：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，圖象上有兩個最高點：(0,1)，(2π，1)，一個最低點(π，－1)．課下實力提升(八)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1用“五點法”作簡圖1．用“五點法”作y＝sin2x的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標(biāo)是()A．0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2πB．0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)解析：選B分別令2x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，可得x＝0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)，π.2．以下對正弦函數(shù)y＝sinx的圖象描述不正確的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)時的圖象形態(tài)相同，只是位置不同B．介于直線y＝1與直線y＝－1之間C．關(guān)于x軸對稱D．與y軸僅有一個交點解析：選C由正弦函數(shù)y＝sinx在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)時的圖象可知C項不正確．3．函數(shù)y＝sin|x|的圖象是()解析：選By＝sin|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,sin－x，x＜0.))作出y＝sin|x|的簡圖知選B.4．用“五點法”作出函數(shù)y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的圖象．解：列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋2sinx131－11在直角坐標(biāo)系中描出五點(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，1)，然后用光滑曲線順次連接起來，就得到y(tǒng)＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的圖象．題組2利用正、余弦函數(shù)的圖象解不等式5．不等式cosx＜0，x∈[0,2π]的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))解析：選A由y＝cosx的圖象知，在[0,2π]內(nèi)使cosx＜0的x的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).6．函數(shù)y＝eq\r(2cosx－\r(2))的定義域是________．解析：要使函數(shù)有意義，只需2cosx－eq\r(2)≥0，即cosx≥eq\f(\r(2),2).由余弦函數(shù)圖象知(如圖)．所求定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))，k∈Z.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))，k∈Z7．求函數(shù)y＝eq\r(sinx－\f(1,2))＋eq\r(cosx)的定義域．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)≥0，,cosx≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，,2kπ－\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z.))∴2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即函數(shù)y＝eq\r(sinx－\f(1,2))＋eq\r(cosx)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．題組3正、余弦曲線與其他曲線的交點問題8．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝eq\f(3,2)交點的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：選C畫出y＝eq\f(3,2)與y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的圖象，由圖象可得有2個交點．9．方程x＋sinx＝0的根有()A．0個B．1個C．2個D．多數(shù)個解析：選B設(shè)f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同始終角坐標(biāo)系中畫出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示．由圖知f(x)和g(x)的圖象僅有一個交點，則方程x＋sinx＝0僅有一個根．10．推斷方程sinx＝eq\f(x,10)的根的個數(shù)．解：因為當(dāng)x＝3π時，y＝eq\f(x,10)＝eq\f(3π,10)＜1；當(dāng)x＝4π時，y＝eq\f(x,10)＝eq\f(4π,10)＞1.所以直線y＝eq\f(x,10)在y軸右側(cè)與曲線y＝sinx有且只有3個交點(如圖所示)，又由對稱性可知，在y軸左側(cè)也有3個交點，加上原點(0,0)，一共有7個交點．所以方程sinx＝eq\f(x,10)有7個根．[實力提升綜合練]1．與圖中曲線(部分)對應(yīng)的函數(shù)解析式是()A．y＝|sinx|B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|解析：選C留意圖象所對的函數(shù)值的正負(fù)，可解除選項A，D.當(dāng)x∈(0，π)時sin|x|>0，而圖中明顯小于零，因此解除選項B.故選C.2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)()A．沒有根B．有且只有一個根C．有且僅有兩個根D．有無窮多個根解析：選C在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝|x|與y＝cosx的圖象，易得兩個圖象在第一、二象限各有一個交點，故原方程有兩個根，選C.3．函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是()解析：選D∵y＝－xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點對稱，∴解除A，C項；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，y＝－xcosx<0，∴解除B項，故選D.4．在(0,2π)上使cosx＞sinx成立的x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))解析：選A以第一、三象限角平分線為分界線，終邊在下方的角滿意cosx＞sinx.∵x∈(0,2π)，∴cosx＞sinx的x的范圍不能用一個區(qū)間表示，必需是兩個區(qū)間的并集．5．函數(shù)y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝4的交點坐標(biāo)為____________．解析：作出函數(shù)y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的圖象(圖略)，簡單發(fā)覺它與直線y＝4的交點坐標(biāo)為eq\f(π,2)，4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4))6．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0,x＋2，x<0，))則不等式f(x)>eq\f(1,2)的解集是____________________．解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和函數(shù)y＝eq\f(1,2)的圖象，如圖所示．當(dāng)f(x)>eq\f(1,2)時，函數(shù)f(x)的圖象位于函數(shù)y＝eq\f(1,2)的圖象的上方，此時－eq\f(3,2)<x<0或eq\f(π,6)＋2kπ<x<eq\f(5π,6)＋2kπ(k∈N)．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)<x<0或\f(π,6)＋2kπ<x<\f(5π,6)＋2kπ，k∈N))7．方程sinx＝eq\f(1－a,2)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))上有兩個實數(shù)根，求a的取值范圍．解：首先作出y＝sinx，x∈eq\b\lc