《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計

13/134.1圓的方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（熊用兵）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握圓的定義，并根據(jù)此定義得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會利用條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（三）學(xué)習(xí)重點利用各種條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（四）學(xué)習(xí)難點根據(jù)圓的定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)讀一讀：閱讀教材第118頁到119頁，填空：確定一個圓的最基本的要素是圓心和半徑；圓心為點，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2.預(yù)習(xí)自測（1）圓心在點，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】由條件知，代入標(biāo)準(zhǔn)方程得：【思路點撥】熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，明確各字母的具體含義.【答案】D（2）若點在圓上，則實數(shù)（）A.B.C.D.【知識點】點與圓的位置關(guān)系.【解題過程】由條件，將點的坐標(biāo)代入圓的方程得，故【思路點撥】點與圓：的位置關(guān)系：（1）點在圓上；（2）點在圓內(nèi)；（3）點在圓外；【答案】B（3）已知點，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】由線段為直徑，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【思路點撥】求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是要找出圓心坐標(biāo)和半徑.【答案】C（二）課堂設(shè)計1.知識回顧：（1）在直角坐標(biāo)平面中確定一條直線的方法有哪些？兩點可以確定一條直線；一點和傾斜角可以確定一條直線；橫、縱截距可以確定一條直線等等.（2）直角坐標(biāo)平面中兩點間的距離公式：設(shè)點，則這兩點間的距離2.問題探究探究一圓的定義?活動=1\*GB3①在直角坐標(biāo)平面中，如何確定一個圓？顯然，當(dāng)圓心位置和半徑大小確定后，這個圓也就唯一確定了.因此，確定一個圓的最基本的要素就是圓心和半徑.【設(shè)計意圖】通過和直線的類比，引導(dǎo)學(xué)生分析出圓的基本要素，為后面圓的定義打基礎(chǔ).?活動=2\*GB3②當(dāng)圓心位置C和半徑r的大小確定后，如何定義一個圓？平面上到定點C的距離等于半徑r的點M的集合，叫做以C為圓心，為半r徑的圓.【設(shè)計意圖】從理性分析到感性認(rèn)識，得出圓的定義.探究二圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?活動=1\*GB3①如果圓心C的坐標(biāo)為(a,b)，半徑大小為r，那么圓的方程是什么？設(shè)圓上任意一點M(x,y)，則M到圓心C的距離等于半徑r，圓心為C的集合就是，由兩點間的距離公式，點M適合的條件可以表示為兩邊平方，得：……=1\*GB2⑴若點M(x,y)在圓上，由上述討論可知，點M的坐標(biāo)適合方程(1)；反之，若點M(x,y)的坐標(biāo)適合方程(1)，這說明點M到圓心C的距離等于半徑r，即點M在圓心為C的圓上.我們就把方程(1)稱為圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【設(shè)計意圖】利用兩點間的距離公式和圓的定義推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，實現(xiàn)從幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化.探究三點和圓的位置關(guān)系?活動=1\*GB3①由探究二我們知道，如果點在圓上，則滿足.那么點在圓內(nèi)又要滿足什么條件呢？在圓外呢？點與圓C：的位置關(guān)系：（1）點在圓C上；（2）點在圓C內(nèi)；（3）點在圓C外；【設(shè)計意圖】掌握點與圓的位置關(guān)系和刻化方法.鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.B.C.D.【知識點】圓的圓心坐標(biāo)和半徑.【解題過程】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓心坐標(biāo)為，半徑【思路點撥】比較該方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【答案】A同類訓(xùn)練圓的圓心到直線的距離為（）A.B.C.D.【知識點】由圓的方程得圓的圓心坐標(biāo)以及點到直線距離公式的使用.【解題過程】由圓的方程可知該圓的圓心為，由點到直線的距離公式得所求距離為.【思路點撥】比較方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式即可求解.【答案】C例2.已知點A(0,-1)，B(2,1)，則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【知識點】求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】因為線段AB為直徑，所以圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑，所以圓的方程為【思路點撥】找圓心坐標(biāo)和半徑大小是求得方程的關(guān)鍵.【答案】C同類訓(xùn)練圓心在直線上，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【知識點】求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】圓過點，所以圓心必在線段的垂直平分線上，即在直線上.由條件圓心必為與的交點，所以由，所以圓心為，半徑，所以所求圓的方程為【思路點撥】如果圓過兩個點，那么圓心一定在過這兩點的弦的中垂線上.【答案】A強化提升、靈活應(yīng)用例3、已知圓與x軸相切，圓心在直線y=2x上，且被直線x+y-3=0平分周長，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【知識點】由條件確定圓心坐標(biāo)和半徑大小，進而確定圓的方程.【解題過程】∵圓被直線平分周長，∴圓心必在直線x+y-3=0上，所以由條件可知圓心為直線y=2x和x+y-3=0的交點，即圓心C(1,2)；又圓與x軸相切，所以半徑即為圓心縱坐標(biāo)，即r=2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【思路點撥】直線平分圓周長，則圓心必在該直線上.【答案】例4.已知點在圓的外部，則實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及點與圓的位置關(guān)系.【解題過程】條件等價于，解得：【思路點撥】要注意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中等號后面是半徑的平方（容易遺漏）【答案】D同類練習(xí)已知過點的直線始終與圓相交，則實數(shù)的取值范圍是___________.【知識點】點與圓的位置關(guān)系.【解題過程】條件等價于點在圓的內(nèi)部，所以有，解得【思路點撥】過定點的直線始終與圓相交等價于定點必在圓內(nèi)部.【答案】3.課堂總結(jié)知識梳理（1）確定圓的基本要素是圓心和半徑；（2）圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（3）點與圓C：的位置關(guān)系：點在圓C上；點在圓C內(nèi)；點在圓C外重難點歸納（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)思想和過程；（2）在各種條件下會求圓的圓心坐標(biāo)和半徑大小，進而求出圓的方程.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)性自主突破1.經(jīng)過點，圓心為的圓的方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解題過程】有條件知，圓的半徑為，所以圓的方程為【思路點撥】圓上一點到圓心的距離即為半徑.【答案】B2.已知圓，則點與該圓的位置關(guān)系是（）A.在圓內(nèi)B.在圓上C.在圓外D.以上都不對【知識點】點和圓的位置關(guān)系.【解題過程】由于，所以在圓內(nèi).【思路點撥】點和圓的位置關(guān)系由點到圓心的距離和半徑的關(guān)系決定.【答案】A3.圓關(guān)于原點對稱的圓的方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓關(guān)于點的對稱圓.【解題過程】圓的圓心關(guān)于原點的對稱點即為所求圓的圓心，半徑保持不變?nèi)螢?，故所求圓的方程為【思路點撥】圓關(guān)于點的對稱圓只是圓心對稱，半徑不變.【答案】C4.已知點在圓的內(nèi)部，則（）A.B.C.D.【知識點】點與圓的位置關(guān)系【解題過程】由點與圓的位置關(guān)系可知【思路點撥】點和圓的位置關(guān)系由點到圓心的距離和半徑的關(guān)系決定.【答案】D5.已知圓的圓心在直線上，且圓與軸交于兩點，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解題過程】線段為圓的弦，圓心在線段的中垂線上，又圓心在直線上，圓心為，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【思路點撥】求圓的方程就是想辦法確定圓心坐標(biāo)和半徑大小.【答案】A6.已知的三個頂點分別為，則的外接圓的方程為（）A.B.C.D.【知識點】線段的垂直平分線和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】線段為所求圓的兩條弦，圓心在的垂直平分線的交點，即在直線和的交點，半徑，所以所求圓的方程為【思路點撥】圓的圓心必在弦的垂直平分線上.【答案】C能力型師生共研7.與圓有相同的圓心，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【知識點】同心圓問題.【解題過程】由條件知所求圓的圓心為，半徑為另解：由條件設(shè)圓的方程為，將點代入可求得【思路點撥】同心圓問題可以直接找圓心和半徑求解，也可以用同心圓系方程解決.【答案】B8.圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓關(guān)于直線的對稱圓問題.【解題過程】設(shè)對稱圓的圓心為，則由條件有，半徑不變?nèi)詾椤舅悸伏c撥】圓關(guān)于直線的對稱圓，只需將圓心對稱，半徑不變.【答案】A探究型多維突破9.已知圓過點和，且圓在兩坐標(biāo)軸上的截得的弦長相等，則圓的方程為（）A.B.C.或D.或【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和弦長問題.【解題過程】如圖，由于截得的弦長相等，即，所以它們的一半也相等，即，又，所以直角，，設(shè)圓心，則……=1\*GB3①，又圓心在線段的垂直平分線上，所以……=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②解得：或，半徑或5.【思路點撥】根據(jù)幾何關(guān)系，用待定系數(shù)法求圓心坐標(biāo)是關(guān)鍵.【答案】C10.已知四點，那么這四點共圓嗎？如果共圓，求出圓的方程；如果不共圓，說明理由.【知識點】圓的方程和點共圓問題.【解題過程】設(shè)的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，把點的坐標(biāo)代入得到：，即外接圓為，將代入圓的方程得，即點不在圓上，故四點不共圓.【思路點撥】多點共圓問題可以先求三點所共的圓的方程，在用點與圓的位置關(guān)系判斷其他的點在不在圓上.【答案】不共圓自助餐1.已知點，則以線段為直徑的圓的方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】由于線段為直徑，所以圓心為的中點即，半徑，所以圓的方程為【思路點撥】【答案】B2.過點，且圓心在直線上的圓的方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】線段的垂直平分線與直線的交點即為所求圓的圓心，半徑，所以圓的方程為【思路點撥】圓的弦的垂直平分線必過圓心.【答案】C3.若點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.或D.【知識點】點與圓的位置關(guān)系.【解題過程】由條件有【思路點撥】點在圓內(nèi)即點到圓心的距離小于半徑.【答案】A4.已知圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（）A.B.C.D.【知識點】圓關(guān)于直線的對稱圓.【解題過程】設(shè)圓的圓心為，則依題意有，對稱圓的半徑保持不變?nèi)螢?，故圓的方程為【思路點撥】圓關(guān)于直線的對稱圓，即為圓心的對稱，半徑不變.【答案】B5.設(shè)點，若線段為外接圓的直徑，則點的坐標(biāo)為（）A.B.