2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.2正余弦函數(shù)的周期性練習(xí)含解析新人教A版必修4

PAGE1-第10課時(shí)正、余弦函數(shù)的周期性對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P21學(xué)問(wèn)點(diǎn)一周期函數(shù)的定義1．下列是定義在R上的四個(gè)函數(shù)圖象的一部分，其中不是周期函數(shù)的是()答案D解析明顯D中函數(shù)圖象不是經(jīng)過(guò)相同單位長(zhǎng)度，圖象重復(fù)出現(xiàn)．而A，C中每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位長(zhǎng)度，圖象重復(fù)出現(xiàn)．B中圖象每經(jīng)過(guò)2個(gè)單位，圖象重復(fù)出現(xiàn)．所以A，B，C中函數(shù)是周期函數(shù)，D中函數(shù)不是周期函數(shù)．2．下列函數(shù)中，不是周期函數(shù)的是()A．y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|答案D解析畫(huà)出y＝sin|x|的圖象(圖略)，易知選D．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二正、余弦函數(shù)的周期求法3．函數(shù)y＝sinx，y＝cosx的最小正周期分別是T1，T2，則taneq\f(T1＋T2,16)＝________．答案1解析T1＝T2＝2π，則taneq\f(T1＋T2,16)＝taneq\f(4π,16)＝taneq\f(π,4)＝1．4．若函數(shù)y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的最小正周期為π，則ω的值為_(kāi)_______．答案±2解析由已知得3coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ωx＋π＋\f(π,4)))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))，即3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)＋ωπ))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))，易知ωπ＝±2π，解得ω＝±2．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三周期函數(shù)的應(yīng)用5．函數(shù)y＝|cosx|－1的最小正周期是________．答案π解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝|cosx|－1的周期同函數(shù)y＝|cosx|的周期一樣，由函數(shù)y＝|cosx|的圖象知其最小正周期為π，所以y＝|cosx|－1的最小正周期也為π．6．已知f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋3)＝f(x)，則f(2024)＝________．答案0解析因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又因?yàn)閒(x＋3)＝f(x)，所以T＝3，所以f(2024)＝f(672×3)＝f(0)＝0．7．已知f(n)＝sineq\f(nπ,4)(n∈Z)，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．答案eq\r(2)＋1解析∵f(n)＝sineq\f(nπ,4)(n∈Z)，∴f(1)＝eq\f(\r(2),2)，f(2)＝1，f(3)＝eq\f(\r(2),2)，f(4)＝0，f(5)＝－eq\f(\r(2),2)，f(6)＝－1，f(7)＝－eq\f(\r(2),2)，f(8)＝0，…，不難發(fā)覺(jué)，f(n)＝sineq\f(nπ,4)(n∈Z)的周期T＝8，且每一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值之和為0．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝eq\f(\r(2),2)＋1＋eq\f(\r(2),2)＋0＝eq\r(2)＋1．8．已知函數(shù)y＝5coseq\f(2k＋1π,3)x－eq\f(π,6)(其中k∈N)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，在區(qū)間[a，a＋3]上要使函數(shù)值eq\f(5,4)出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，求k的值．解由5coseq\f(2k＋1π,3)x－eq\f(π,6)＝eq\f(5,4)，得coseq\f(2k＋1π,3)x－eq\f(π,6)＝eq\f(1,4)．∵函數(shù)y＝cosx在每個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值eq\f(1,4)有兩次，而區(qū)間[a，a＋3]長(zhǎng)度為3，為了使長(zhǎng)度為3的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值eq\f(1,4)不少于4次且不多于8次，必需使3不小于2個(gè)周期長(zhǎng)度且不大于4個(gè)周期長(zhǎng)度．即2×eq\f(2π,\f(2k＋1π,3))≤3，且4×eq\f(2π,\f(2k＋1π,3))≥3．∴eq\f(3,2)≤k≤eq\f(7,2)．又k∈N，故k＝2，3．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P22一、選擇題1．定義在R上的函數(shù)f(x)，存在多數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)x滿意f(x＋2)＝f(x)，則f(x)()A．是周期為1的周期函數(shù)B．是周期為2的周期函數(shù)C．是周期為4的周期函數(shù)D．不肯定是周期函數(shù)答案D解析依據(jù)周期函數(shù)的定義可知f(x＋T)＝f(x)中的x必需是定義域中的隨意值，否則不肯定為周期函數(shù)．2．下列函數(shù)中，周期為eq\f(π,2)的是()A．y＝cos4|x|B．y＝－sin2xC．y＝coseq\f(x,4)D．y＝sinx－eq\f(π,2)答案A解析對(duì)于A，∵y＝cos4|x|＝cos4x，∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)；對(duì)于B，T＝eq\f(2π,2)＝π；對(duì)于C，T＝eq\f(2π,4)＝8π；對(duì)于D，y＝sinx－eq\f(π,2)＝－cosx，T＝2π．故選A．3．函數(shù)y＝coseq\f(k,4)x＋eq\f(π,3)(k>0)的最小正周期不大于2，則正整數(shù)k的最小值應(yīng)是()A．10B．11C．12D．13答案D解析∵T＝eq\f(2π,\f(k,4))＝eq\f(8π,k)≤2，∴k≥4π，又k∈Z，∴正整數(shù)k的最小值為13．4．函數(shù)y＝cos(sinx)的最小正周期是()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π答案B解析cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)，∴T＝π，故選B．5．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin3x＋|sin3x|，則f(x)為()A．周期函數(shù)，最小正周期為eq\f(π,3)B．周期函數(shù)，最小正周期為eq\f(2π,3)C．周期函數(shù)，最小正周期為2πD．非周期函數(shù)答案B解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，sin3x≤0，,2sin3x，sin3x>0，))大致圖象如圖所示，由圖可知f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為eq\f(2π,3)．二、填空題6．設(shè)函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以eq\f(π,2)為最小正周期．若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝eq\f(9,5)，則sinα的值為_(kāi)_______．答案±eq\f(4,5)解析由題意知eq\f(π,2)＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝4，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＋\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝3cosα＝eq\f(9,5)∴cosα＝eq\f(3,5)，∴sinα＝±eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝±eq\f(4,5)．7．函數(shù)f(x)＝sinωx＋eq\f(π,4)(ω>0)的周期為eq\f(π,4)，則ω＝________．答案8解析由題意，eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,4)，∴ω＝8．8．已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________個(gè)實(shí)數(shù)根．答案5解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)以2為周期，所以f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－f1，,f－1＝f1，))解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5個(gè)實(shí)數(shù)根．三、解答題9．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)f(x)＝1，求證：f(x)是周期函數(shù)．證明∵f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝eq\f(1,fx＋2)＝eq\f(1,\f(1,fx))＝f(x)．∴函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4是一個(gè)周期．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝asinkx－eq\f(π,3)和函數(shù)g(x)＝bcos2kx－eq\f(π,6)(a＞0，b＞0，k＞0)，若它們的最小正周期之和為eq\f(3π,2)，且feq\f(π,2)＝geq\f(π,2)，feq\f(π,4)＝－eq\r(3)geq\f(π,4)－1，求這兩個(gè)函數(shù)的解析式．解∵f(x)和g(x)的最小正周期和為eq\f(3π,2)，∴eq\f(2π,k)＋eq\f(2π,2k)＝eq\f(3π,2)，解得k＝2．∵feq\f(π,2)＝geq\f(π,2)，∴asin2×eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝bcos4×eq\f(π,2)－eq\f(π,6)，即a·sinπ－eq\f(π,3)＝b·cos2π－eq\f(π,