《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（第2課時）》教學(xué)設(shè)計

1/162.1指數(shù)函數(shù)2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(周明星)第二課時一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握指數(shù)函數(shù)的定義域和值域．2．指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（冪的大小比較、解指數(shù)不等式等）．3．深入理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并靈活應(yīng)用其圖像和性質(zhì)．（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1．指數(shù)函數(shù)的定義域和值域．2．指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)．（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1．指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．2．指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用．二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）填一填：指數(shù)函數(shù)的定義域為R．指數(shù)函數(shù)的值域為．指數(shù)函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)．（2）寫一寫：指數(shù)函數(shù)且的單調(diào)性．①當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)；②當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)．2．預(yù)習(xí)自測（1）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義域．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】，得，故B正確．【思路點(diǎn)撥】直接由指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域求得．【答案】B．（2）求函數(shù)的值域．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義域、值域．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】因為，所以，故值域為．【思路點(diǎn)撥】由指數(shù)型復(fù)合函數(shù)先求內(nèi)層的值域，再過渡到外層的值域．【答案】．（3）函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性是（）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．常數(shù) D．有時是增函數(shù)，有時是減函數(shù)【知識點(diǎn)】復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合的思想．【解題過程】設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，又因為為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．【思路點(diǎn)撥】先判斷外層和內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”進(jìn)行求解．【答案】A．（4）比較和的大小【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的冪的大小比較．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，，即，，故．【思路點(diǎn)撥】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性找一個中間值作為橋梁進(jìn)行比較．【答案】．(二)課堂設(shè)計1．知識回顧 （1）一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction），其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R．（2）①若a=0，則當(dāng)x>0時，；當(dāng)x≤0時，無意義．②若a<0，則對于x的某些數(shù)值，可使無意義．③若a=1，則對于任意的,是一個常量，沒有研究的必要性．（3）指數(shù)函數(shù)的圖像和解析式之間滿足“底大圖高”的原則．2．問題探究探究一指數(shù)函數(shù)的定義域和值域●活動①整合新知（求解指數(shù)函數(shù)的定義域）你能迅速回答下列函數(shù)的定義域嗎？（搶答）（1）（2）（3）（4）答：（1）；（2）；（3）；（4）．【設(shè)計意圖】通過對比指數(shù)函數(shù)的各種形式，發(fā)現(xiàn)復(fù)合型指數(shù)函數(shù)和一般指數(shù)函數(shù)的異同，并熟悉求指數(shù)函數(shù)的定義域和值域．●活動②夯實(shí)基礎(chǔ)（求解指數(shù)函數(shù)值域）函數(shù)，，，中，值域是有哪些呢？設(shè)，則此函數(shù)的值域是R，故函數(shù)的值域是．【設(shè)計意圖】求出和的范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；由和再進(jìn)行判斷．探究二指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用★▲●活動①大膽操作累積經(jīng)驗★試比較不同冪與；與；以及與的大小，通過三組不同冪的比較，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？對于與，可構(gòu)造函數(shù)，易知在R上是增函數(shù)，且，則．對于與，因為在y軸右側(cè)滿足底大圖高原則，所以．對于與，因為在R上是減函數(shù)，所以；又因為在y軸右側(cè)滿足底大圖高原則，所以，故．對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷；對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的圖像的變化規(guī)律判斷；對于底數(shù)不同，且指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，則應(yīng)通過中間值來比較．【設(shè)計意圖】通過簡單的指數(shù)函數(shù)相同底數(shù)比較，到最后的底數(shù)和指數(shù)都不相同的延伸，歸納出冪的大小比較規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會由特殊到一般的思想方法．●活動②鞏固理解發(fā)現(xiàn)特征★你能快速回答出下列指數(shù)不等式的解集嗎？（搶答）（1）；（2）；（3）．答：（1）；（2）；（3）．【設(shè)計意圖】通過從不等式中抽取指數(shù)函數(shù)的值域問題，培養(yǎng)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力，以及圖象的運(yùn)用能力．●活動③反思過程深化基礎(chǔ)★▲已知，試探究x的取值范圍．利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，需注意底數(shù)的取值范圍．∵，∴函數(shù)在在R上是增函數(shù)，∴，解得，∴x的取值范圍是．【設(shè)計意圖】通過從指數(shù)不等式中抽出對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的另外一種理解，培養(yǎng)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力、發(fā)散思維，以及性質(zhì)的運(yùn)用能力．●活動④發(fā)散思維重新認(rèn)識▲函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間相同嗎？若不相同，那單調(diào)區(qū)間分別是什么？對于函數(shù)來說：∵，∴的單調(diào)性與的單調(diào)性相反；又∵，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．對于函數(shù)來說：∵，∴的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；又∵，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【設(shè)計意圖】通過討論和觀察指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，掌握復(fù)合函數(shù)的同增異減的原則，培養(yǎng)學(xué)生的類比歸納思想．探究三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用★▲●活動①鞏固基礎(chǔ)檢查反饋例1求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）（2）（3）【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義域和值域的求法．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】（1）由得定義域為，值域為；（2）由得定義域為，值域為；（3）由得定義域為，又由得值域為．【思路點(diǎn)撥】由指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和值域直接求解．【答案】（1）定義域為，值域為；（2）定義域為，值域為；（3）定義域為，值域為．同類訓(xùn)練求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）（2）．【知識點(diǎn)】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、值域．【數(shù)學(xué)思想】換元法思想．【解題過程】（1）由得定義域為，值域為；（2）令，則，其定義域為，值域為．【思路點(diǎn)撥】由換元法將其復(fù)合指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)一元二次函數(shù)，再求其定義域和值域．【答案】（1）定義域為，值域為；（2）定義域為，值域為．●活動②強(qiáng)化提升靈活應(yīng)用例2若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值之和為3，求實(shí)數(shù)a的值．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的值域、單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【數(shù)學(xué)思想】分類討論的思想．【解題過程】當(dāng)0<a<1，函數(shù)在區(qū)間[0,1]上為單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值分別為1，a，故1+a=3，則a=2（舍去）；當(dāng)a>1時，函數(shù)在區(qū)間[0,1]上為單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值分別為a，1，故1+a=3，則a=2．【思路點(diǎn)撥】分情況0<a<1和a>1討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出a即可．【答案】2．同類訓(xùn)練若函數(shù)的值域為[1,7]，試確定x的取值范圍．【知識點(diǎn)】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】換元法思想．【解題過程】令，則t>0，；則有，解該雙向不等式，解得，即，也即.【思路點(diǎn)撥】由換元法將其復(fù)合指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)一元二次函數(shù)，求其定義域范圍即可．【答案】●活動③深入探究實(shí)際應(yīng)用例3解不等式【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)不等式．【數(shù)學(xué)思想】換元和分類討論思想．【解題過程】當(dāng)a>1時，以a為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以由得，即，解得；當(dāng)0<a<1時，以a為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)在R上是減函數(shù)，所以由得，即，解得．【思路點(diǎn)撥】理解指數(shù)型復(fù)合函數(shù)內(nèi)層和外層函數(shù)遵循“同增異減”的原則．【答案】當(dāng)a>1時，；當(dāng)0<a<1時，．同類訓(xùn)練設(shè)，解關(guān)于的不等式．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)不等式．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】因為，所以在上是減函數(shù)，又因為，所以，解得．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【答案】．例4求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C．D．【知識點(diǎn)】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】換元思想．【解題過程】令，且，由于f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則二次函數(shù)t在區(qū)間上是增函數(shù)，故對稱軸，也即．【思路點(diǎn)撥】理解指數(shù)型復(fù)合函數(shù)內(nèi)層和外層函數(shù)遵循“同增異減”的原則．【答案】C．同類訓(xùn)練已知函數(shù)的單調(diào)性是（）A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．常數(shù)函數(shù) D．與a,b取值無關(guān)【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想．【解題過程】化簡，f(x)上下同時除以，則：，若a=b，則f(x)=a，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，不單調(diào)；若a>b，則，則為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知f(x)為增函數(shù)；若a<b，則，則為減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知f(x)為增函數(shù)，綜上當(dāng)a≠b時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．【思路點(diǎn)撥】將原復(fù)合函數(shù)變形（分子分母同時除以），再根據(jù)指數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性．【答案】A．【設(shè)計意圖】以函數(shù)作為基礎(chǔ)，從而延伸到指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力，以及分類討論的思想，綜合解答指數(shù)函數(shù)單調(diào)性題型．3.課堂總結(jié)知識梳理（1）指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和值域：形如的函數(shù)的定義域就是放f(x)的值域，再由單調(diào)性求出的值域，若a的范圍不確定，則需對a進(jìn)行討論；形如的值域，要先求出的值域，再結(jié)合y=f(u)確定出的值域．（2）比較指數(shù)冪大小的方法：①異指同底：構(gòu)造函數(shù)法（一個），利用函數(shù)的單調(diào)性，若底數(shù)參變量要注意分類討論；②異底同指：構(gòu)造函數(shù)法（多個），利用函數(shù)圖像在y軸左右兩側(cè)的特點(diǎn)．（3）同底的指數(shù)不等式的解法：①當(dāng)a>1時，，②當(dāng)0<a<1時，．（4）復(fù)合型指數(shù)函數(shù)單調(diào)性遵循“同增異減”原則，列表如下：增增增減減增增減減減增減重難點(diǎn)歸納（1）在解決含參指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和值域時，一定要記得討論0<a<1和a>1的兩種討論情況．（2）在求解復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，一定要注意遵循“同增異減”原則，并且要掌握解指數(shù)不等式和冪的大小比較．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．若函數(shù)的定義域、值域分別是（）A．定義域是，值域是 B．定義域是，值域是C．定義域是，值域是 D．以上都不對【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義、定義域和值域．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由指數(shù)函數(shù)的定義得．【思路點(diǎn)撥】由指數(shù)函數(shù)的定義和解析式即可求解．【答案】C．2．已知全集為，集合，集合，則（）A． B．C． D．【知識點(diǎn)】集合、因式分解、指數(shù)不等式．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過程】由題意可得，集合，集合，那么有．【思路點(diǎn)撥】綜合利用集合交集補(bǔ)集、因式分解、指數(shù)不等式的求解．【答案】C．3．函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義域．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由題可得，解得，即，故選B．【思路點(diǎn)撥】直接利用函數(shù)存在得到指數(shù)不等式，求解定義域即可．【答案】B．4．下列函數(shù)中，值域是的是（）A． B．C． D．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義域、值域．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由于且所以，故選C．【思路點(diǎn)撥】直接利用指數(shù)函數(shù)的定義域求得其值域．【答案】C．5．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合的思想．【解題過程】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，又因為，可得，綜上可得，故選A．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)“異底同指”和“異指同底”的冪的大小比較法比較即可得出大小關(guān)系．【答案】A．6．已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想．【解題過程】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得．【思路點(diǎn)撥】．由指數(shù)函數(shù)的解析式和單調(diào)性可得．【答案】當(dāng)時，的取值范圍是；當(dāng)時，的取值范圍是．能力型師生共研7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】外層函數(shù)為增函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【思路點(diǎn)撥】正確理解復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)，根據(jù)同增異減原則求解．【答案】．8．已知，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【知識點(diǎn)】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】換元法和轉(zhuǎn)化思想．【解題過程】令，設(shè)，則，則，∴當(dāng)時，取最小值，即的最小值為；若不等式恒成立，只需．【思路點(diǎn)撥】利用換元法將其不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的形式進(jìn)行求解．【答案】．探究型多維突破9．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想．【解題過程】解法一：運(yùn)用函數(shù)值的大小關(guān)系．設(shè),則∵，則，當(dāng)時，,這時,即∴，函數(shù)單調(diào)遞增．當(dāng)時，，這時,即∴，函數(shù)單調(diào)遞減．∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．解法二：用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．設(shè),則,即對任意的，有，又∵是減函數(shù)，則，∴在是減函數(shù)．對任意的，有，又∵是減函數(shù)．∴∴在是增函數(shù)．【思路點(diǎn)撥】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷．【答案】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．10．若，則（）A． B． C． D．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】構(gòu)造法的思想．【解題過程】設(shè)，由于和均為增函數(shù)，則為增函數(shù)，又因為，即，所以，即．【思路點(diǎn)撥】把握不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，最后利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．【答案】C．自助餐1．若函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的值域．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由得，即，故選B．【思路點(diǎn)撥】直接利用函數(shù)的存在性解指數(shù)等式即可．【答案】B．2．已知在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由題知，，解得，故選C．【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【答案】C．3．函數(shù)的值域是________．【知