2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例教學(xué)案文含解析北師大版

PAGE1-第三節(jié)平面對(duì)量的數(shù)量積與平面對(duì)量應(yīng)用舉例[考綱傳真]1.理解平面對(duì)量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面對(duì)量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.駕馭數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積推斷兩個(gè)平面對(duì)量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)潔的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)潔的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題．1．兩個(gè)向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b，則∠AOB叫作向量a與b的夾角．(2)范圍：0°≤∠AOB≤180°.(3)向量垂直：∠AOB＝90°時(shí)，a與b垂直，記作a⊥b.規(guī)定：零向量可與任一向量垂直．2．平面對(duì)量的數(shù)量積(1)射影的定義設(shè)θ是a與b的夾角，則|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cosθ叫作向量a在b方向上的射影．(2)平面對(duì)量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)向量a和b，它們的夾角為θ，把|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.(3)數(shù)量積的幾何意義a與b的數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的射影|b|·cosθ的乘積，或b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上射影|a|cosθ的乘積．3．平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面對(duì)量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))eq\o([常用結(jié)論])1．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．2．平面對(duì)量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3．當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up13(→))與eq\o(BC,\s\up13(→))的夾角為∠B． ()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量． ()(3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角． ()(4)a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)設(shè)a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，則t的值為()A．－4B．4C．eq\f(32,7)D．－eq\f(32,7)A[a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故選A．]3．(教材改編)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6eq\r(3)，則a與b的夾角θ為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)D[cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6\r(3),2×6)＝－eq\f(\r(3),2)，又0≤θ≤π，則θ＝eq\f(5π,6)，故選D．]4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，則m＝________.2[由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，解得m＝2.]5．(教材改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為_(kāi)_______．－2[由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算1．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿意|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[因?yàn)閨a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故選B．]2．已知eq\o(AB,\s\up13(→))＝(2,1)，點(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，則向量eq\o(AB,\s\up13(→))在eq\o(CD,\s\up13(→))方向上的投影為()A．－eq\f(3\r(2),2) B．－3eq\r(5)C．eq\f(3\r(2),2) D．3eq\r(5)C[因?yàn)辄c(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又eq\o(AB,\s\up13(→))＝(2,1)，所以向量eq\o(AB,\s\up13(→))在eq\o(CD,\s\up13(→))方向上的投影為|eq\o(AB,\s\up13(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(CD,\s\up13(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up13(→))·\o(CD,\s\up13(→)),|\o(CD,\s\up13(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，故選C．]3．已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則eq\o(AF,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))的值為()A．－eq\f(5,8)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,4)D．eq\f(11,8)B[如圖所示，eq\o(AF,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→)).又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE＝2EF，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(DF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))，所以eq\o(AF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→)).又eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))，則eq\o(AF,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up13(→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up13(→))))·(eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))2－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→)).又|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝1，∠BAC＝60°，故eq\o(AF,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)×1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).故選B．][規(guī)律方法]平面對(duì)量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解．平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用?考法1求向量的?！纠?】(1)已知平面對(duì)量a，b的夾角為eq\f(π,6)，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝2a＋2b，eq\o(AC,\s\up13(→))＝2a－6b，D為BC中點(diǎn)，則|eq\o(AD,\s\up13(→))|等于()A．2B．4C．6D．8(2)(2024·廣州模擬)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，則|b|等于()A．4B．2C．eq\r(2)D．1(1)A(2)D[(1)因?yàn)閑q\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|eq\o(AD,\s\up13(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2×2×\r(3)×cos\f(π,6)＋4))＝4，則|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝2.(2)由|a－2b|＝2，得(a－2b)2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4，即|a|2－4|a||b|cos60°＋4|b|2＝4，即|b|2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故選D．]?考法2求向量的夾角【例2】(1)已知向量a，b滿意(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，則a與b的夾角θ為()A．eq\f(3π,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．(1)C(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3))[(1)∵(a＋2b)·(5a－4b)＝0，∴5a2＋6a·b－8b2＝0.又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3)，故選C．(2)因?yàn)?a－3b與c的夾角為鈍角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，所以4k－6－6＜0，所以k＜3.又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－eq\f(9,2).當(dāng)k＝－eq\f(9,2)時(shí)，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b與c反向．綜上，k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3)).]?考法3平面對(duì)量的垂直問(wèn)題【例3】(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______．(2)已知向量eq\o(AB,\s\up13(→))與eq\o(AC,\s\up13(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up13(→))＝λeq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))，且eq\o(AP,\s\up13(→))⊥eq\o(BC,\s\up13(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______．(1)－5(2)eq\f(7,12)[(1)∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．又a⊥(ta＋b)，則a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.(2)由eq\o(AP,\s\up13(→))⊥eq\o(BC,\s\up13(→))得eq\o(AP,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＝0，即(λeq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))·(eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→)))＝0，∴(λ－1)eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))－λeq\o(AB,\s\up13(→))2＋eq\o(AC,\s\up13(→))2＝0，即－3(λ－1)－9λ＋4＝0.解得λ＝eq\f(7,12).][規(guī)律方法]平面對(duì)量數(shù)量積求解問(wèn)題的策略(1)求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，要留意θ∈[0，π]．(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(1)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.(2)(2024·山東高考)已知e1，e2是相互垂直的單位向量．若eq\r(3)e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是________．(1)2eq\r(3)(2)eq\f(\r(3),3)[(1)法一：|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).(2)由題意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|eq\r(3)e1－e2|＝eq\r(\r(3)e1－e22)＝eq\r(3e\o\al(2,1)－2\r(3)e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(3－0＋1)＝2.同理|e1＋λe2|＝eq\r(1＋λ2).所以cos60°＝eq\f(\r(3)e1－e2·e1＋λe2,|\r(3)e1－e2||e1＋λe2|)＝eq\f(\r(3)e\o\al(2,1)＋\r(3)λ－1e1·e2－λe\o\al(2,2),2\r(1＋λ2))＝eq\f(\r(3)－λ,2\r(1＋λ2))＝eq\f(1,2)，解得λ＝eq\f(\r(3),3).]平面對(duì)量與三角函數(shù)的綜合【例4】(2024·江蘇高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．[解](1)因?yàn)閍＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，a∥b，所以－eq\r(3)cosx＝3sinx.若cosx＝0，則sinx＝0，與sin2x＋cos2x＝1沖突，故cosx≠0.于是tanx＝－eq\f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝eq\f(5π,6).(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－eq\r(3))＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，從而－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2).于是，當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(x)取到最大值3；當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝π，即x＝eq\f(5π,6)時(shí)，f(x)取到最小值－2eq\r(3).[規(guī)律方法]平面對(duì)量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)的定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為eq\f(π,3)，求x的值．[解](1)因?yàn)閙＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因?yàn)閨m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因?yàn)?＜x＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)＜x－eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).1．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知向量eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°A[