高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第05講 向量的數(shù)量積（解析版）

第05講6.2.4向量的數(shù)量積

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過閱讀課本在向量前面知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解向

①了解向量數(shù)量積的物理背景，即物

量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所

體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的

做的功；

功。

2.理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義；

②掌握向量數(shù)量積的定義及投影向

3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的意義，

量。

為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量數(shù)量積打好基礎(chǔ)；

③會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積。

4.平面向量是數(shù)量積運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的核心，對于提升

④會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，和邏輯推理能力有著十分重要的作用；

行計(jì)算或證明。

5.熟練運(yùn)用會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證

明，以及實(shí)際應(yīng)用有著十分重要的作用.

知識(shí)點(diǎn)01：平面向量數(shù)列積的物理背景

如圖,一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的功

W|F||s|cos.

其中|F|cos是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量,也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.

從物理角度來看數(shù)量積的意義,有利于理解數(shù)量積的概念,兩個(gè)向量的數(shù)量積可以運(yùn)算,其結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.

知識(shí)點(diǎn)02：向量的夾角

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作OAa,OBb,則AOB叫做向量a

與b的夾角.

(2)向量的夾角范圍0.

(3)特殊情況：

①0，a與b同向；

②，a與b垂直，記作ab；

2

③，a與b反向.

【即學(xué)即練1】（2023下·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期末）等邊三角形ABC中，AB與BC的夾角為（）

A．60B．60C．120D．150

【答案】C

【詳解】解：延長AB到D，則CBD為AB與BC的夾角，所以，AB與BC的夾角為120．

故選：C．

知識(shí)點(diǎn)03：平面向量數(shù)量積的概念

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為,我們把數(shù)量|a||b|cos叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積).

記作：ab，即ab|a||b|cos.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0

特別提醒:

（1）“·”是數(shù)量積的運(yùn)算符號(hào),既不能省略不寫,也不能寫成“×”；

(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量,不再是向量；

(3)向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個(gè)向量的夾角決定:當(dāng)是銳角時(shí),數(shù)量積為正；當(dāng)是鈍角時(shí),數(shù)量積為負(fù)；

當(dāng)是直角時(shí),數(shù)量積等于零.

【即學(xué)即練2】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，ABAC1，A90，則

ABBC.

【答案】1

【詳解】根據(jù)題意易得ABC為等腰直角三角形，

BC2,

3π

則ABBCABBCcosAB,BC12cos1，

4

故答案為：1.

（2）投影

如圖,設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,ABa,CDb,作如下變換:過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分

別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量

CDA1B1A1B1ab

投影,叫做向量在向量上的投影向量.

A1B1ab

特別提醒:

①|(zhì)a|cos為向量a在b上的投影的數(shù)量；

②|b|cos為向量b在a上的投影的數(shù)量；

③投影的數(shù)量|a|cos（|b|cos）是一個(gè)值，不是向量.

【即學(xué)即練3】（2023下·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a3，b4，且aab，

則向量a在向量b上的投影數(shù)量為.

9

【答案】

4

2

【詳解】因?yàn)閍ab，所以a(ab)aab0，

又因?yàn)閍3，b4，所以ab9，

ab99

所以向量a在向量b上的投影數(shù)量為acosa,ba3，

ab434

9

故答案為：.

4

知識(shí)點(diǎn)4：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是,e是與b方向相同的單位向量,則

①aeea|a|cos.

②abab0.

③當(dāng)a與b同向時(shí),ab|a||b|；

④當(dāng)a與b反向時(shí),ab|a||b|；

22

⑤aaa|a|2或|a|aaa；

⑥|ab||a||b|；

ab

⑦cos.

|a||b|

知識(shí)點(diǎn)5：向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①交換律：abba

②對數(shù)乘的結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)

③分配律：(ab)cacbc

22

④(ab)2a2abb

22

⑤(ab)(ab)ab

題型01平面向量數(shù)量積有關(guān)的定義及辨析

【典例1】（2022上·河北邯鄲·高二?？计谥校┤鬭,b均為非零向量，則abab是a與b共線的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】一方面：由abab，可得a,b0，此時(shí)a與b共線;

另一方面：由a與b共線，可得a,b0或a,bπ，此時(shí)有abab或abab，

即此時(shí)abab不一定成立.

結(jié)合以上兩方面有abab是a與b共線的充分不必要條件.

故選：A.

【典例2】（多選）（2023上·四川成都·高二成都七中?？计谥校┫铝姓f法正確的是（）

A．對任意向量a,b，都有abba

B．若abac且a0，則bc

C．對任意向量a,b,c，都有abcabc

D．對任意向量a,b,c，都有abcacbc

【答案】AD

【詳解】ababcosa,b，baabcosa,b，

可得abba，故選項(xiàng)A正確；

由abac可得abc0，

又a0，可得bc或abc，

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

abcabcosa,bccR,

abccbcosc,baaR

所以abcabc不一定成立，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；

故選：AD.

【變式1】（2023下·上海黃浦·高一上海市敬業(yè)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，則命題

“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形”是“ABAC0”的（）

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】當(dāng)A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形時(shí)，ABAC0，

從而命題“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形”是“ABAC0”的充分條件，

當(dāng)三個(gè)點(diǎn)A，B，C共線且BAC180時(shí)，滿是ABAC0，但是A，B，C不能構(gòu)成三角形，

從而命題“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形”不是“ABAC0”的不必要條件.

故選：A

【變式2】（多選）（2023下·四川樂山·高一期末）已知平面向量a，b，c，則下列說法正確的是（）

rrrrr

rrrrrrr22

A．a(chǎn)bcabcB．a(chǎn)babab

rrr

rrrrr

C．若acab，a0，則bcD．a(chǎn)bab，則ab

【答案】BD

rrr

rrrrr

【詳解】對于A：abcabcosa,bc表示與c共線的一個(gè)向量，

rrr

rrrrr

abcabccosb,c表示與a共線的一個(gè)向量，故A錯(cuò)誤；

rrrr

rrr2r22

對于B：ababa2bab，故B正確；

rrrrrrrrrrrr

對于C：因?yàn)閍cab，即accosa,cabcosa,b，

rr

rrrr

又a0，所以ccosa,cbcosa,b，

即向量c與b在向量a方向上的投影相同，故C錯(cuò)誤；

rrrrrr2rr2

對于D：若abab，則abab，

rrrr2rrrr2

即a22abba22abb，

所以ab0，則ab，故D正確；

故選：BD

題型02平面向量數(shù)量積的幾何意義

【典例1】（2022下·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知ABC是邊長為2的正三角形，則向量AB在BC上

的投影數(shù)量是．

【答案】1

【詳解】向量AB在BC上的投影數(shù)量為ABcosAB,BC2cos1201，

故答案為：1

【典例2】（2023·山西·校考模擬預(yù)測）美術(shù)課對于陶冶人的情操?發(fā)展學(xué)生的藝術(shù)興趣和愛好?培養(yǎng)學(xué)生的

藝術(shù)特長?提高學(xué)生的審美素養(yǎng)具有積極作用.如圖，這是某學(xué)生關(guān)于“杯子”的聯(lián)想創(chuàng)意圖，它是由一個(gè)正方

形和三個(gè)半圓組成的，其中A，B是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，P是三段圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，若AB4，則ABAP的

取值范圍是（）

A．24,24B．8,24

C．162,162D．8,162

【答案】B

【詳解】如圖，作CDAB,EFAB，垂足分別為D,F，且CD與左半圓相切，

切點(diǎn)為C,EF與右半圓相切，切點(diǎn)為E.

ABAP|AB||AP|cosAB,AP，其中|AP|cosAB,AP為AP在AB上的投影，

因?yàn)锳B4，所以ADBF2.

當(dāng)P與E重合時(shí)，|AP|cosAB,AP最大，最大值為426，

此時(shí)ABAP取得最大值，最大值為4624；

當(dāng)P與C重合時(shí)，|AP|cosAB,AP最小，最小值為2，

此時(shí)ABAP取得最小值，最小值為4(2)8；

故ABAP的取值范圍是8,24，

故選：B

【變式1】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)P是邊長為2的正ABC的內(nèi)部（不包括邊界）的一

個(gè)點(diǎn)，則APAB的取值范圍為（）

A．0,2B．1,2C．0,4D．2,4

【答案】C

【詳解】解：如圖所示：

因?yàn)辄c(diǎn)P是邊長為2的正ABC的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，

由圖象知：APcosAP,ABAD0,2，

所以APABAPcosAP,ABAB0,4，

故選；C

題型03用定義法求向量數(shù)量積

【典例1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知等邊三角形ABC的邊長為1，則ABBC（）

1313

A．B．C．D．

2222

【答案】C

2π2π1

【詳解】因?yàn)锳BBC1，且向量AB與BC的夾角為，所以ABBC11cos，

332

故選：C．

【典例2】（2023上·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，兩塊斜邊長均等于2的直角三

角板拼在一起，則ODBA的值為.

【答案】1

6

【詳解】根據(jù)題意可知，OAOB1，AD；

2

所以可得

6

ODBAOAADBAOABAADBA12cos452cos901，

2

即ODBA的值為1.

故答案為：1

【變式1】（2023上·山東濰坊·高三?？计谥校┮阎獆a|8,|b|6,a,b150，則ab（）

A．243B．-24C．243D．16

【答案】A

【詳解】解：因?yàn)閍8,b6,a,b150，

3

所以ababcosa,b86243.

2

故選：A.

3π

【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a1，b2，a,b，則aab.

4

【答案】0

223π2

【詳解】由題意aabaabaabcos12120.

42

故答案為：0.

題型04已知數(shù)量積求模

rr

【典例1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知平面向量a，b滿足a2b1，ab1，則a2b（）

A．3B．22C．3D．23

【答案】C

【詳解】因?yàn)閍2b1，ab1，

22

2222

所以a2ba4ab4ba4ab4b8aba2b8ab9，

即a2b3.

故選：C

【典例2】（2023上·廣東佛山·高三校考階段練習(xí)）已知向量a，b滿足|a|3，|b|2，a與b的夾角為120，

則|a2b|．

【答案】1

13/132

222

【詳解】由題意得|a2b|a4ab4b9432cos1201613，

故|a2b|13，

故答案為：13

【變式1】（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知ab1，a2，a，b的夾

角為，則a2b（）

3

A．1B．2C．2D．4

【答案】C

【詳解】因?yàn)閍b1，a2，a，b的夾角為，

3

π

所以ababcosa,b2bcos1，

3

解得b1，

22

a2ba2ba4ab4b24414122，

故選：C.

【變式2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a，b滿足a2b2，且b(ba)，則ba

（）

A．1B．2C．2D．3

【答案】D

2

【詳解】因?yàn)閎(ba)，所以b(ba)bab0，

因?yàn)閍2b2，所以a2,b1，

解得ab1，

22

ba(ba)2ab2ab3.

故選：D

題型05向量夾角問題

【典例1】（2023上·北京海淀·高三北大附中校考階段練習(xí)）已知向量a，b，c滿足abc1，且

abc0，則cosac,bc（）

3113

A．B．C．D．

2222

【答案】C

【詳解】設(shè)aOA,bOB,cOC，

因?yàn)閍bc1，abc0，

可知A,B,C三點(diǎn)不共線，且O既是ABC的重心也是ABC的外心，

所以ABC為等邊三角形，

則acOAOCCA,bcOBOCCB，

rrrruuruur1

所以cosac,bccosCA,CBcosACB.

2

故選：C.

【典例2】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量a2，b1，a2b2，

則a,b.

2π

【答案】

3

2

【詳解】由|a2b|2可得a2b4，

22

即a4ab4b4，即ab1，

ab1

所以cosa,b，又a,b0,π，

ab2

2π

所以a,b.

3

2π

故答案為：

3

【典例3】（2023上·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a1，b2，ab1，若atb與tab的

夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．

3535

【答案】,11,

22

(atb)(tab)

【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，又cosatb,tab，

atbtabatbtab

222

所以(atb)(tab)ta(1t)abtb0，

又a1，b2，ab1，所以t(1t2)2tt23t10，

3535

解得t，又因atb,tab0,π，

22

當(dāng)atb,tab0時(shí)，也滿足(atb)(tab)0，此時(shí)不合題意，

1t

當(dāng)atb與tab共線同向時(shí)，有atb(tab)，從而得到，解得t1，

t

353535

又1，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是,11,，

222

3535

故答案為：,11,.

22

【變式1】（2024上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量a、b滿足b2a2，若aab，則a

與b的夾角為（）

π5ππ2π

A．B．C．D．

6633

【答案】D

2

【詳解】因?yàn)閎2a2，且aab，所以aab0，即aab0，

2

所以aba1，

ab11

設(shè)a與b的夾角為，則cos，因?yàn)?,π，

ab212

2π2π

所以，即a與b的夾角為.

33

故選：D

【變式2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知非零向量a,b滿足2a3b,b2ab，則向量a,b夾角

的余弦值為．

1

【答案】

3

【詳解】因?yàn)?a3b且a,b為非零向量，設(shè)a3tt0，則b2t，

2

又b2ab，所以b2ab0，則2bab0，

2

解得ba2t，

2

ba2t1

設(shè)向量a,b的夾角為，則cos，

ba3t2t3

1

即向量a,b夾角的余弦值為.

3

1

故答案為：

3

【變式3】（2023上·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量a，b滿足ab1，

a與b的夾角為60，若ab與tab的夾角為鈍角，則一個(gè)滿足條件的t的值可以為．

【答案】0（答案不唯一，只要滿足t,11,1即可）

【詳解】因?yàn)閍b1，a與b的夾角為60，

1

所以ab，

2

因?yàn)閍b與tab的夾角為鈍角，

所以abtab0且這兩個(gè)向量不共線，

2233

abtabtat1abbt0，解得t1，

22

當(dāng)ab//tab時(shí)，

存在唯一實(shí)數(shù)，使得tababab，

t

所以，所以t1，

1

又ab,tab不共線，所以t1，

綜上所述，t,11,1，

所以滿足條件的t的值可以為0.

故答案為：0.（答案不唯一，只要滿足t,11,1即可）

題型06向量垂直關(guān)系

【典例1】（2024上·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量a，b，a5，b4，a與b的夾角

為120°，若ka2bab，則k（）

4343

A．B．-C．D．

5555

【答案】C

1

【詳解】因?yàn)閍5，b4，a與b的夾角為120，所以ab|a||b|cos12054()10.

2

由ka2bab，

22

得ka2babka2b(k2)ab25k21610(k2)15k120，

4

解得k.

5

故選:C.

【典例2】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a4，b8，a

與b的夾角是120.

(1)計(jì)算a2b；

(2)當(dāng)k為何值時(shí)，a2bkab？

【答案】(1)421

(2)－7

【詳解】（1）a4，b8，a與b的夾角是120，

則ab48cos12016，

2

22

即有a2ba2ba4ab4b16416464421；

（2）由a2bkab

22

可得a2bkab0，即ka2k1ab2b0，

即16k162k11280，解得k7.則當(dāng)k為－7時(shí)，a2bkab；、

綜上，（1）a2b421，（2）k7.

【變式1】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量a2,1,b為單位向量，且aba3b，

則b在a方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

21

【答案】,

55

【詳解】由題意可知a22125，b1，

因?yàn)閍ba3b，

22

所以aba3ba2ab3b0，解得ab1，

abaa21

則則b在a方向上的投影向量的坐標(biāo)為2,，

aaa55

21

故答案為：,

55

【變式2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知a,b是非零向量，a1，aba，a

2b

在b方向上的投影向量為，則|ab|．

2b

【答案】5

【詳解】已知a,b是非零向量，a1，

rrr

2

由aba，有abaaab0，可得ab1，

2bab2

a在b方向上的投影向量為，則有，得b2，

2bb2

222

由abab2ab5，所以ab5．

故答案為：5

題型07已知模求數(shù)量積

【典例1】（2022上·陜西安康·高二?？计谀┰O(shè)向量a，b滿足|ab|10，|ab|6，則ab（）

A．1B．2C．3D．5

【答案】A

【詳解】由|ab|10，得|ab|2|a|22ab|b|210，

由|ab|6，得|ab|2|a|22ab|b|26，兩式相減得ab1，

所以ab1.

故選：A

【典例2】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知向量a、b滿足a2，b5，且a與b夾

1

角的余弦值為，則a2b2ab（）

5

A．36B．28C．33D．12

【答案】A

1

【詳解】依題意，ab|a||b|cosa,b252，

5

22

所以(a2b)(2ab)2a2b3ab2222523236.

故選：A

r

rr

【變式1】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a,b滿足aba，且b2，則ab的值為（）

A．2B．2C．1D．1

【答案】B

rrr

【詳解】因?yàn)閍ba

rr2rrrrrr

所以aba2，即a2b22aba2，

2

則b2ab0

b2，

b2

ab2.

2

故選：B．

【變式2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)向量a和b滿足|ab|23，|ab|2，則ab的值

為.

【答案】2

【詳解】因?yàn)閨ab|23，|ab|2

2222

所以a2abb12，a2abb4，

所以a×b=2.

故答案為：2

題型08已知模求參數(shù)

【典例1】（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知平面向量|a|2，|b|1，a,b的夾角為60，

atb3tR，則實(shí)數(shù)t（）

1

A．1B．1C．D．1

2

【答案】A

22

【詳解】因?yàn)閍tb3，所以a2abtt2b3，

即422cos60tt23，解得t1.

故選：A.

【典例2】（2022·福建·高三專題練習(xí)）已知a2b，b0，且關(guān)于x的方程x2axab0有實(shí)根，則

a與b的夾角的取值范圍是（）

ππ

A．0,B．,π

63

π2ππ

C．,D．,π

336

【答案】B

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2axab0有實(shí)根，

2222

所以a4aba4abcos4b8bcos0，

1

所以cos，0,π，

2

π

所以π，

3

π

即a與b的夾角的取值范圍是,π.

3

故選：B.

【變式1】（2023下·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期中）已知向量a,b，若|a||b|1,a與b的夾角為60；若ab

與tab的夾角為鈍角，則t取值范圍為（）

A．,1B．1,

C．1,11,D．,11,1

【答案】D

【詳解】ab與tab的夾角為鈍角，

22

abtabtaabtabb0，

又|a||b|1,a與b的夾角為60，

221133

所以taabtabbtt10，即t0，解得t1，

2222

又ab與tab不共線，所以t1，

所以t取值范圍為,11,1.

故選：D

【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量a,b滿足a2b6,akb37,ab9，則實(shí)數(shù)k的值

為．

【答案】1或3

2

22

【詳解】將akb37兩邊平方，得a2kabkb63，

得3618k9k263，即k22k30，解得k1或3．

故答案為：1或3.

題型09向量的投影

【典例1】（2023上·陜西西安·高二高新一中?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b不共線，滿足|ab||ab|，則

ab在b方向上的投影向量為（）

A．a(chǎn)B．bC．a(chǎn)D．b

【答案】D

【詳解】因?yàn)閨ab||ab|，

22

2222

所以abab，即a2abba2abb，得ab0，

22

abbabbb

則ab在b方向上的投影向量為2b2b2bb.

bbb

故選：D