高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第02講 圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征（解析版）

第02講8.1基本立體圖形（第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)

特征簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征）

課程標準學(xué)習目標

1.通過閱讀課本解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義；

①了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義.2.掌握2.在棱柱、棱錐與棱臺學(xué)習的基礎(chǔ)上，進一步掌握圓柱、

圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征。圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征；

②了解簡單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征。3.了解簡單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征．靈活運用各種知

③了解簡單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征識解決組合體問題；

知識點01：圓柱

（1）圓柱的定義

以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸

圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊

（2）圓柱的圖形

（3）圓柱的表示

圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱OO

【即學(xué)即練1】1（2024上·上海·高二上海師大附中?？计谀┯靡粋€平面截如圖所示圓柱體，截面的形狀

不可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【詳解】解：

對于選項A：當截面與軸截面垂直時，得到的截面形狀是圓；

對于選項B：當截面與軸截面平行時，得到的截面形狀是長方形；

對于選項C：當截面與軸截面斜交時，得到的截面形狀是橢圓；

對于選項D：截面的形狀不可能是等腰梯形；

故選：D

知識點02：圓錐

（1）圓錐的定義

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊

錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體

（2）圓錐的圖形

（3）圓錐的表示

用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐SO

【即學(xué)即練2】（2024·全國·高三專題練習）給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【詳解】①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；

②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，

它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；

③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相

等.

故選：A.

知識點03：圓臺

（1）圓臺的定義

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺

軸：圓錐的軸

底面：圓錐的底面和截面

側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分

母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分

臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體

（2）圓臺的圖形

（3）圓臺的表示

用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺OO

【即學(xué)即練3】（2024上·上海青浦·高二上海市朱家角中學(xué)?？计谀┮阎硤A臺上底面和下底面的半徑分

別為1和2，母線長為3，則該圓臺的高為

【答案】22

【詳解】根據(jù)題意，作出圓臺的圖形，如圖所示：

圓臺上下底面的半徑分別為1和2，母線長為3，

則圓臺的高h9122．

故答案為：22．

知識點04球的結(jié)構(gòu)特征

（1）定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做

球體，簡稱球

（2）相關(guān)概念：

球心：半圓的圓心

半徑：連接球心和球面上任意一點的線段

直徑：連接球面上兩點并經(jīng)過球心的線段

【即學(xué)即練4】（2024·全國·高一假期作業(yè)）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝

時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（）

A．一個球

B．一個球挖去一個圓柱

C．一個圓柱

D．一個球挖去一個正方體

【答案】B

【詳解】圓及其內(nèi)部旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為球，

而矩形及其內(nèi)部繞一邊旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱，

故題設(shè)中的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，

故選：B.

題型01圓柱的結(jié)構(gòu)特征

【典例1】（2023上·上海普陀·高二上海市宜川中學(xué)校考期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中的一個問

題，其意思為“圓木長2丈4尺，圓周長為一丈，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部

與圓木平齊，問葛藤最少長幾丈幾尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少長是．

【答案】461尺

【詳解】將圓柱形圓木沿一條母線剪開,兩個側(cè)面展開圖沿母線拼接，得如下長方形AB20尺，AD24尺，

所以葛藤最少長為ACAB2AD2461尺.

故答案為：461尺

【典例2】（2023·上海·高三專題練習）在圓柱中，底面圓半徑為1，高為2，上底面圓的直徑為AB,C是底

面圓弧上的一個動點，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則ABC的面積的范圍．

【答案】2,5

【詳解】解：如圖1，設(shè)上底面圓心記為O，下底面圓心記為O，

連接OC，過點C作CMAB，垂足為點M，

1

則S△ABCM，

ABC2

根據(jù)題意，AB為定值2，所以SABC的大小隨著CM的長短變化而變化，

如圖2所示，當點M與點O重合時，CMOC12225，

1

此時S取得最大值為255；

ABC2

如圖3所示，當點M與點B重合，CM取最小值2，

1

此時S取得最小值為222，

ABC2

綜上所述，SABC的取值范圍為[2,5].

故答案為：[2,5].

【變式1】（2023·高一課時練習）已知圓柱的母線長為l，底面半徑為r，O是上底面圓心，A,B是下底面

πl(wèi)

圓周上兩個不同的點，BC是母線.若直線OA與BC所成角的大小為，則.

3r

31

【答案】/3

33

【詳解】如圖，過點A作與母線BC平行的母線AD,

π

則DAO即為直線OA與BC所成角，故DAO，

3

OD

在Rt△ODA中，tanDAO3,

AD

lAD3

則,

rOD3

故答案為：3

3

【變式2】（2023下·全國·高一專題練習）軸截面為正方形的圓柱叫做等邊圓柱，已知某等邊圓柱的軸截面

面積為16cm2，求該等邊圓柱的底面周長和高.

【答案】該等邊圓柱的底面周長為4cm，高為4cm

【詳解】如圖所示，作出等邊圓柱的軸截面ABCD，由題意知，四邊形ABCD為正方形

設(shè)圖柱的底面半徑為r，則ABAD2r.

軸截面ABCD的面積SABAD2r2r4r216cm2，解得r2cm.

所以該等邊圓柱的底面周長為2r4cm，高為2r4cm

.

題型02圓柱截面有關(guān)計算

【典例1】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，某圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，P，

Q分別為線段BC，AC上的兩個動點，E為AB上一點，且BE1，則PQPE的最小值為（）

33323

A．3B．C．D．

222

【答案】C

【詳解】如圖，連接EC，將BCE沿直線BC旋轉(zhuǎn)到BCE的位置，

且E在AB的延長線上．則PEPE，

π

由于圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，故BACBCA，AEABBE213，

4

則PQPEPQPEEQ，當Q,P,E三點共線時取等號，

π32

當EQAC時，EQ最小，最小值為AEsin，

42

即PQPE的最小值為32，

2

故選：C

【典例2】（2023下·全國·高一專題練習）一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個高為x的內(nèi)接

圓柱．

(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；

(2)當x為何值時，S最大？

2

【答案】(1)S＝－x2＋4x(0<x<6)．

3

(2)當x＝3時，S最大，最大值為6.

詳解：畫出圓柱和圓錐的軸截面，

如圖所示，

設(shè)圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得

x2rx

＝，解得r＝2－.

623

(1)圓柱的軸截面面積

x2

S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0<x<6)．

33

22

(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)

33

2

＝－(x－3)2＋6，

3

∴當x＝3時，S最大，最大值為6.

【變式1】（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，圓柱的底面半徑為2，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，點E在圓

柱的下底面圓上，若圓柱的側(cè)面積為12π，且DE4，則CE（）

A．32B．4C．42D．23

【答案】A

【詳解】如下圖所示：

設(shè)圓柱的母線長為l，由圓柱的側(cè)面積為12π可得4πl(wèi)12π，得l3，

連接AE，則AEDE2AD27，

連接BE，則AEBE，故BEAB2AE23，

故CEBE2BC232.

故選：A.

【變式2】（2023上·上海浦東新·高二?？计谀囊粡埌霃綖?的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖

2

1陰影部分），并卷成一個深度為h米的圓錐筒（如圖2）.若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為rad.

3

（1）求圓錐筒的容積；

（2）在（1）中的圓錐內(nèi)有一個底面圓半徑為x的內(nèi)接圓柱（如圖3），求內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大時x的值.

22π1

【答案】（1）；（2）.

32

【詳解】（1）設(shè)圓錐筒的半徑為r，容積為V，

∵所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為2，

3

2

∴2r3，解得r1，

3

∴h9r222，

1122

∴VSh22.

333

22π

∴圓錐筒的容積為.

3

（2）設(shè)內(nèi)接圓柱高為h則有，由圓錐內(nèi)接圓柱的軸截面圖，

x22h

得h221x，

122

所以內(nèi)接圓柱側(cè)面積

1

S2xh42x2x=42(x)22,0x1，

2

1

所以當x時內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大.

2

題型03圓柱展開圖及最短距離問題

【典例1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，一個矩形邊長為1和4，繞它的長為4的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得

如圖的一開口容器（下表面密封），P是BC中點，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，若這

只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點P處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（）

A．π236B．π216C．4π236D．4π21

【答案】A

【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑r1，高h4

將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形ABCD，其中ABπ，AD4，

問題轉(zhuǎn)化為在CD上找一點Q，使AQPQ最短，

作P關(guān)于CD的對稱點E，連接AE，令A(yù)E與CD交于點Q，

2

則得AQPQ的最小值就是為AEπ242π236．

故選：A

【典例2】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，在圓柱OO中，AB，CD分別為圓O，O的直徑，AB//CD，

ABBC2，E為BC的中點，則一只螞蟻在圓柱表面從A爬到E的最短路徑的長度為（）

A．π21B．4π21C．3D．5

【答案】A

【詳解】如圖所示，把半圓柱側(cè)面展開，得到側(cè)面展開圖為矩形ABCD，

在圓柱OO中，因為ABBC2，可得ABπ，

即矩形ABCD中，ABπ，BE1，則最短路徑的長度為AEAB2BE2π21．

故選：A.

【典例3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，已知圓柱的高為h，底面半徑為R，軸截面為矩形A1ABB1，

在母線AA1上有一點P，且PAa，在母線BB1上取一點Q，使B1Qb，則圓柱側(cè)面上P、Q兩點的最短距

離為．

【答案】(πR)2(hab)2

【詳解】如圖，把圓柱的半個側(cè)面展開，是一個下長為πR，寬為h的矩形，

B1Qb，PAa，過P作PEBB1，E為垂足，所以QEhab，

即可把PQ放在一個直角邊為πR和hab的直角三角形PQE中，

根據(jù)勾股定理可得：PQPE2QE2(πR)2(hab)2.

故答案為：(πR)2(hab)2.

【變式1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖在一根長11cm，外圓周長6cm的圓柱形柱體外表面，用一根

細鐵絲纏繞，組成10個螺旋，如果鐵絲的兩端恰好落在圓柱的同一條母線上，則鐵絲長度的最小值為（）

A．61cmB．157cmC．2021cmD．1037cm

【答案】A

【詳解】圓柱形柱體的高為11，外圓周長6，

又鐵絲在柱體上纏繞10圈，且鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，

則我們可以得到將圓柱面展開后得到的平面圖形如下圖示：

其中每一個小矩形的寬為圓柱的周長6，高為圓柱的高11，

則大矩形的對稱線即為鐵絲的長度最小值．

此時鐵絲的長度最小值為：11260261．

故選：A．

【變式2】（2023·全國·高一專題練習）邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點沿圓柱的

側(cè)面到相對頂點G的最短距離是（）

A．10cmB．52cm

5

C．521cmD．24cm

2

【答案】D

【詳解】圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，

155

展開后EF2(cm)，

222

55

∴EG52()224(cm)，即為所求最短距離．

22

故選:D.

【變式3】（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，圓柱高為2，底面半徑為1，則在圓柱側(cè)面上從A出發(fā)

經(jīng)過母線BB1到達A1的最短距離為.

【答案】221

【詳解】把圓柱側(cè)面沿母線AA1剪開攤平為一個矩形AA1NM，如圖，

，所求最短距離為22222．

AM2π12πA1MAMAA1(2π)22π1

故答案為：2π21．

題型04圓錐的結(jié)構(gòu)特征

【典例1】（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為4，其

側(cè)面展開圖為一個四分之一圓，則該圓錐的母線長為（）

A．12B．14C．16D．18

【答案】C

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，

π

則2πrl，解得l16.

2

故選：C.

【典例2】（2023·全國·高一專題練習）圓錐的軸截面有多少個？母線有多少條？圓錐頂點和底面圓周上任

意一點的連線都是母線嗎？

【答案】答案見解析

【詳解】如圖，

因為所有過直線PO與圓錐所截的面，都是圓錐的軸截面，例如圖中面PAB與面PCD，

所以圓錐的軸截面有無窮多個，

因為圓錐頂點和底面圓周上任意一點的連線稱為圓錐的母線，

所以圓錐的母線有無窮多條，例如圖中PA,PB,PC,PD等，

故此，圓錐頂點和底面圓周上任意一點的連線都是母線.

【變式1】（2023上·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）如圖，直角三角形ABC繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)360，所得的旋轉(zhuǎn)

體為（）

A．圓錐B．圓柱C．圓臺D．球

【答案】A

【詳解】由圓錐的定義可得直角三角形ABC繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)360，所得的旋轉(zhuǎn)體為圓錐

故選：A

【變式2】（2023上·上?！じ叨ｎ}練習）已知圓錐的軸截面是正三角形，它的面積是3，則圓錐的高

為；母線的長為.

【答案】32

3

【詳解】設(shè)正三角形的邊長為a，因為軸截面的面積為3，可得a2＝3，解得a2，

4

3

由于圓錐的高即為圓錐的軸截面三角形的高，所以所求的高為a3，

2

圓錐的母線即為圓錐的軸截面正三角形的邊，所以母線長為2.

故答案為：3；2；

題型05圓錐截面有關(guān)計算

【典例1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切

球的半徑為（）

13131515

A．B．C．D．

29910

【答案】D

π

【詳解】側(cè)面展開圖扇形的弧長為2π，

2

1

圓錐底邊的半徑r滿足2πrπ，解得r，

2

所以該圓錐軸截面是一個兩腰長為2，

15

底邊長為1的等腰三角形，底邊上的高為，

2

15

設(shè)內(nèi)切球半徑為R，則R1221，

2

15

R.

10

故選：D.

4

【典例2】（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）圓錐的母線長為4，側(cè)面積是底面積的倍，

3

過圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是（）

A．8B．47C．37D．36

【答案】A

44

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，軸截面頂角為(0π)，則πrlπr2，得lr，

33

r32π

所以sinsin，

2l424

πππ

因為為銳角，所以，即π，則θ為鈍角，

24222

11

所以當圓錐兩條母線互相垂直時，截面面積最大，最大值為l2428.

22

故選：A.

【典例3】（2023上·重慶·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓錐的底面面積為96π，高h5，則該圓錐的母線長

為

【答案】11

【詳解】

如圖，作出圓錐的軸截面，點O為底面圓心.

設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l

由已知可得，πr296π，解得r46，所以O(shè)A46.

又VOh5，

所以，VA2VO2OA22596121，

解得VA11，即l11.

故答案為：11.

【變式1】（2024·全國·高三專題練習）已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖的中心角為3π，則過圓錐

頂點的截面面積最大值為（）

A．1B．3C．2D．23

【答案】C

【詳解】設(shè)底面圓的半徑為r，2r23，解得r3，由圓錐母線長為2，可得圓錐軸截面的頂角為

2π

，

3

π1

當截面頂角為時，過圓錐頂點的截面面積最大，此時S222.

22

故選：C.

2

【變式2】（2024·廣東惠州·統(tǒng)考一模）某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3，圓心角為的扇形，則該圓錐

3

的軸截面的面積是.

【答案】22

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，

2

因為圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3，圓心角為的扇形，

3

12

所以l23，解得l3，

23

2

因為2rl，

3

2

所以2r3，得r1，

3

所以圓錐的高為hl2r29122，

11

所以圓錐的軸截面的面積是2rh22222，

22

故答案為：22

【變式3】（2023上·全國·高三專題練習）在半徑為30m的圓形廣場中央上空，設(shè)置一個照明光源，射向地

面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為120．若要光源恰好照亮整個廣場，則其高度應(yīng)為m（精確到

0.1m）．

【答案】17.3

【詳解】如下圖所示：

在圓錐SO中，AB為圓O的一條直徑，由題意可知SASB，AO30m，ASB120，

SO3

所以，SAO30，由tanSAO，故SOAOtan303010317.3m.

AO3

故答案為：17.3.

題型06圓錐展開圖及最短距離問題

【典例1】（2023下·山東泰安·高一泰安一中?？计谥校┠尘皡^(qū)為提升游客觀賞體驗，搭建一批圓錐形屋頂

的小屋（如圖1）．現(xiàn)測量其中一個屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長為12m，母線SA長為18m（如圖

2）．若C是母線SA的一個三等分點（靠近點S），從點A到點C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，則燈光帶

的最小長度為（）

A．67mB．16mC．613mD．12m

【答案】C

【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線SA展開，其側(cè)面展開圖為如圖所示的扇形SAA，則AC的長度即為燈光帶的最

小長度，

12π2π

AA2πr12π，ASA，

183

1

在△ASC中，SCSA6，SA18，

3

222221

ACASSC2ASSCcosASA1862186468，

2

解得：AC613，即燈光帶的最小長度為613m.

故選：C.

【典例2】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12，底面圓的半徑等

于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則小蟲爬行的最短路

程為（）

A．123B．16C．24D．243

【答案】A

【詳解】如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為，

2

則由題可得2412，則，

3

在RtPOP中，OPOP12，

221

則小蟲爬行的最短路程為PP121221212123.

2

故選：A.

【典例3】（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）如圖，在圓錐SO中，AC為底面圓O的直徑，SOOC1，點

B在底面圓周上，且ABBC.若E為線段AB上的動點，則SEC的周長最小值為

【答案】321

【詳解】連接OB，依題意SO平面ABC，而OA,OB,OC平面ABC，

所以SOOA,SOOB,SOOC，ABBC，O是AC的中點，則OBAC，

由于SOOC1，所以SASCSBAB2，

則三角形SAB是等邊三角形，三角形ABC是等腰直角三角形，

將三角形SAB和三角形ABC展開在同一個平面，如下圖所示，

連接SC，交AB于E，在三角形SAC中，

由余弦定理得SC24222cos6045

642cos60cos45sin60sin45

2

4233131，

所以SEC的周長最小值為321.

故答案為：321

【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點

A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C，則小蟲爬行的最短距離為（）

A．25B．23C．42D．23

【答案】A

【詳解】由題意，底面圓的直徑AB＝2，故底面周長等于2π.

設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，

4nπ

根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π＝，解得n＝90，

180

所以展開圖中∠PSC＝90°，故PC＝25，

所以小蟲爬行的最短距離為25.

故選：A

【變式2】（2023上·廣東佛山·高三佛山一中?？茧A段練習）如圖，一個立在水平地面上的圓錐形物體的母

線長為2，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的

最短路程為23，則圓錐底面圓的半徑等于．

【答案】2

3

【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線OA展開成如圖所示的扇形，則AB為小蟲爬行的最短路徑.

依題意：小蟲爬行的最短路程為AB23.

因為母線長OAOB2，

2π

所以在AOB中AOB．

3

2π4π

則由弧長公式得：AB2．

33

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r.

4π2

則2πr，解得r

33

故答案為：2

3

【變式3】（2023上·上海浦東新·高二上海市進才中學(xué)校考期中）如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓

錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，B母線SA一點，且AB10公里，為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)

一條最短的從A繞山一周到B的觀光鐵路，則這段鐵路的長度為公里.

【答案】50

【詳解】

如圖，將圓錐沿SA剪開，

則圓錐的母線即扇形的半徑SA40，

圓錐底面圓的周長即扇形的弧長為2π1020π，

20ππ

所以圓心角，即ASB90.

4021

又SA1SA40，SBSAAB30，

所以，22

A1BSA1SB50.

所以，這段鐵路的長度為50公里.

故答案為：50.

題型07圓臺的結(jié)構(gòu)特征

【典例1】（2023下·陜西榆林·高一校考期中）下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺的是

（）

A．B．C．D．

【答案】A

【詳解】由圖可知，A選項中的直角梯形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺，

B選項中的半圓繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成球體，

C選項中的矩形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓柱，

D選項中的直角三角形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓錐．

故選：A

【典例2】（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）設(shè)圓臺的上底面和下底面的半徑分別為r1和r2，母線長為l3，

則該該圓臺的高為.

【答案】22

【詳解】作出圓臺的軸截面，如圖示為等腰梯形，

梯形的高即為圓臺的高，即高為32(21)222，

故答案為：22

【變式1】（2023下·全國·高一隨堂練習）如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得

圓臺上、下底面的面積之比為1:16，截得圓臺的圓錐的母線長為12cm，求圓臺OO的母線長．

【答案】9cm．

【詳解】設(shè)圓臺OO的母線長為lcm，由截得圓臺上、下底面的面積之比為1:16，可設(shè)截得圓臺的上、下

底面的半徑分別為r，4r．過軸SO作截面，如圖所示．

則SOASOA，SA12cm，

SAOA12lr1

所以，所以，

SAOA124r4

解得l9，

即圓臺的母線長為9cm．

【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）—個圓臺的母線長為5，兩底面直徑分別為2和8，求圓臺的高.

【答案】4.

【詳解】圓臺的軸截面如圖所示，其中A1B12，A2B28，A1A25，

O1O2為高，過點A1作A1,HA2B2于點H，則A1HO1O2，

82

在RtA1A2H中，A1A25，AH3，

22

∴2222

A1HA1A2A2H534.

故圓臺的高為4.

題型08圓臺展開圖

【典例1】（2023下·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）如圖，圓臺OO1的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180，其中

SA2,SB4，則該圓臺的高為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【詳解】因為圓臺OO1的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180，

1

所以在圓錐SO中有：2πAO2πSA2π，

112

所以AO11，

1

又在圓錐SO中有：2πOB2πSB4π，

2

所以O(shè)B2，

所以該圓臺的高為：

22

hABOBO1A

22

SBSAOBO1A

22

4221

3，

故選：C.

【典例2】（2023·江蘇·高一專題練習）如圖所示，圓臺的上底面半徑為2cm，下底面半徑為4cm，母線

長為6cm.求軸截面相對頂點A、C在圓臺側(cè)面上的最短距離.

【答案】63cm.

【詳解】如圖所示：

沿母線AD剪開將圓臺側(cè)面展開，問題轉(zhuǎn)化為求展開圖中線段AC的長.

設(shè)圓臺的上底面、下底面半徑分別為r1、r2，因為側(cè)面展開圖圓心角，

rr422π

213602π，且B、C分別為所在弧的中點，

l63

π

所以在等腰三角形AOB中，AOB，

3

則AOB是等邊三角形，

π

因為DCDC2π，

3

所以O(shè)C6，而BC6，C為OB的中點，

所以AC63，

即A、C兩點在圓臺側(cè)面上的最短距離為63cm.

【變式1】（2023下·全國·高一專題練習）如圖所示，圓臺母線AB長為20cm，上、下底面半徑分別為5cm

和10cm，從母線AB的中點M拉條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點，求這條繩長的最小值．

【答案】50cm．

【詳解】作出圓臺的側(cè)面展開圖，如圖所示，

OA5

由軸截面中RtOPA與RtOQB相似，得，可求得OA20cm．

OAAB10

設(shè)BOB，由于BB的長與底面圓Q的周長相等，而底面圓Q的周長為210cm,扇形OBB的半徑為

OAAB202040cm，

扇形OBB所在圓的周長為24080cm．

1

所以BB的長度20cm為所在圓周長的，所以O(shè)BOB．

4

所以在Rt△BOM中，BM2402302，

所以BM50cm，即所求繩長的最小值為50cm．

【變式2】（2023下·高一課時練習）如圖，圓臺上、下底面半徑分別為5cm，10cm，母線長為20cm，從

母線AB的中點M拉一條細繩，圍繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)至下底面的B點，求BM間細繩的最短長度.

【答案】50cm

【詳解】如圖所示：圓臺的展開圖，設(shè)SAx，S，MB為最短距離，

π

則x2π510π，x202π1020π，解得，x=20，

2

故MB30240250.

故BM間細繩的最短長度為50cm.

題型09球的結(jié)構(gòu)特征

【典例1】（2023上·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（）

A．圓柱B．圓錐C．圓臺D．球

【答案】D

【詳解】對于A：圓柱的軸截面是矩形，故A不符合題意；

對于B：由于圓錐的軸截面是一個等腰三角形，故B不符合題意；

對于C，圓臺軸截面是等腰梯形，故C不符合題意；

對于D：用任意的平面去截球，得到的截面均為圓，故D符合題意．

故選：D．

【典例2】（2023下·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習）半徑為1的球放在教室的墻角，緊靠兩墻面和

地面，墻角頂點到球面上的點的最遠距離是（）

3

A．2B．21C．1D．31

2

【答案】D

【詳解】設(shè)球心到墻角的距離為d，球心半徑為R，則R1，

則距離d為棱長為1的正方體的對角線長，即d1212123，

則墻角頂點到球面上的點的最遠距離等于dR31.

故選：D.

【變式1】（2023下·山東棗莊·高一?？茧A段練習）下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是（）

A．五棱柱B．六棱錐C．八棱臺D．球

【答案】D

【詳解】根據(jù)一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，判斷球是旋轉(zhuǎn)

體；

一個幾何體圍成它的各個面都是多邊形，這個幾何體是多面體，由此判斷五棱柱、六棱柱、八棱臺都是多

面體．

故選：D

【變式2】（2024上·全國·高三專題練習）東方明珠廣播電視塔是上海的標志性文化景觀之一，塔高約468

米，上球體的直徑為45米，且上球體的球心O到塔底的距離與塔高的比值為黃金分割比(約為0.618)．若P

為上球體球面上一點，且PO與地平面(塔頂與O的連線垂直地平面)所成的角為30，P在上球體的上半部

分，則P到地平面的距離約為()

A．297米B．300米C．303米D．306米

【答案】B

【詳解】∵上球體的球心O到塔底的距離d4680.618289.22米，

45

∴P到地平面的距離為dsin30=289.2211.25300米．

2

題型10球的截面性質(zhì)及計算

【典例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期末）已知某圓臺的上底面圓心為O1，半徑為r，

h

下底面圓心為O，半徑為2r，高為h，若該圓臺的外接球球心為O，且OO2OO，則（）

212r

A．3B．3C．2D．2

【答案】B

【詳解】由圓臺的上底面圓心為O1，半徑為r，下底面圓心為O2，半徑為2r，高為h，

2hh

如圖所示，因為OO2OO，所以O(shè)O,OO，

121323

222

22h2h2hh

所以r(2r)，解得3r，所以3.

333r

故選：B.

【典例2】（2023下·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知球O的半徑為5，球心O到平面的距離為3，

則平面截球O所得的小圓O1的半徑長是（）

A．2B．3C．32D．4

【答案】D

【詳解】如圖所示，C為球面上一點，則OC5，

球心O到平面的距離為3，即OO13，且OO1O1C，

則小圓O1的半徑長即為O1C，

222

在OO1C中，由勾股定理可得OCOO1O1C，解得O1C4.

故選：D

【典例3】（2024·全國·高三專題練習）毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩為“坐地日行八萬里，巡天

遙看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不動，由于地球的自轉(zhuǎn)，每晝夜會隨著地面經(jīng)過八萬里路程.

詩中所提到的八萬里，指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯090（即地

7

球球心O和該地的連線與赤道平面所成的角為），且sin.若將地球近似看作球體，則某人在該地每

4

晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過的路程約為萬里.

【答案】6

8

【詳解】由題意可知，赤道周長為8萬里，則地球半徑r萬里.

2π

設(shè)某地隨著地球自轉(zhuǎn)，所形成圓的半徑為r0，

8833

則rrcos1sin2萬里，則該圓的周長l2πr6萬里.

02π2π4π0

故答案為：6.

【變式1】（2023上·北京·高二清華附中校考期中）已知平面與平面間的距離為3，定點A，設(shè)集

合SBAB5，則S表示的曲線的長度為（）

A．6πB．8πC．10πD．12π

【答案】B