高一數(shù)學必修第二冊同步學與練（人教版）第01講 棱柱、棱錐、棱臺的結構特征（解析版）

第01講8.1基本立體圖形（第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結構特征）

課程標準學習目標

1.通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺

①通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、

的結構特征；

棱錐、棱臺的結構特征。

2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系.學會用連續(xù)變化的

②.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系。

觀點，或者函數(shù)的思想找到他們之間的區(qū)別與聯(lián)系；

③能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述

3.在熟悉基本知識的基礎上，能運用棱柱、棱錐、棱臺

現(xiàn)實生活中簡單幾何體的結構并進行有關

的結構特征描述現(xiàn)實生活中簡單幾何體的結構并進行

計算。

有關計算，提升數(shù)學抽象和數(shù)學運算能力；

知識點01：空間幾何體的相關概念

（1）空間幾何體

如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其它因素，那么這些由物體抽象出來的空間圖形就叫做空間

幾何體.

（2）多面體

由若干平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體,圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；

相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.

（3）旋轉體

由一個平面圖形繞它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體.

知識點02：棱柱

（1）棱柱的定義

定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱

底面(底)：兩個互相平行的面

側面：其余各面

側棱：相鄰側面的公共邊

頂點：側面與底面的公共頂點

（2）棱柱的圖形

（3）棱柱的分類及表示

①按棱柱底面邊數(shù)分類:

②按棱柱側棱與底面位置關系分類:

③直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱

斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱

表示法：用各頂點字母表示棱柱，如圖棱柱ABCDEFABCDEF

【即學即練1】（2023上·四川內江·高二四川省內江市第二中學?？茧A段練習）觀察下面的幾何體，哪些是

棱柱？（）

A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）

C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）

【答案】A

【詳解】根據(jù)棱柱的結構特征：一對平行的平面且側棱相互平行的幾何體，

所以，棱柱有（1）（3）（5）.

故選：A

知識點03：棱錐

（1）棱錐的定義

定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐

底面：多邊形面

側面：有公共頂點的各三角形面

側棱：相鄰側面的公共邊

頂點：各側面的公共頂點

（2）棱錐的圖形

（3）棱錐的分類及表示

按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……

特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐

表示法：棱錐也用頂點和底面各頂點字母表示，如圖棱錐SABCD

【即學即練2】（2023下·高一課時練習）下列幾何體中不是棱錐的為（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【詳解】根據(jù)棱錐的定義，B、C、D中的幾何體是棱錐，A中的幾何體不是棱錐.

故選：A.

知識點04：棱臺

（1）棱臺的定義

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺

上底面：原棱錐的截面

下底面：原棱錐的底面

側面：除上下底面以外的面

側棱：相鄰側面的公共邊

頂點：側面與上(下)底面的公共頂點

（2）棱臺的圖形

（3）棱臺的分類及表示

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……

用各頂點字母表示棱柱，如棱臺ABCDABCD

【即學即練3】（2021·高一課時練習）下列空間圖形中是棱臺的為.(填序號)

【答案】③

【詳解】由棱臺的定義知，棱臺的上底面必須與下底面平行，且側棱延長后交于同一點.圖①中側棱延長后

不能交于同一點，圖②中上底面不平行于下底面，故圖①和圖②都不是棱臺.圖③符合棱臺的定義與結構

特征.

故答案為：③

題型01棱柱的結構特征

【典例1】（2023下·高一課時練習）下列命題中為真命題的是（）

A．長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體

B．棱柱的每個面都是平行四邊形

C．有兩個側面是矩形的四棱柱是直四棱柱

D．正四棱柱是平行六面體

【答案】D

【詳解】對于A，當?shù)酌娌皇蔷匦螘r，直四棱柱不是長方體，故A錯誤；

對于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四邊形，比如三棱柱，五棱柱等，故B錯誤；

對于C，可以是兩對稱面為矩形的平行六面體，故C錯誤；

對于D，正四棱柱是平行六面體，故D正確.

故選：D.

【典例2】（多選）（2022下·新疆喀什·高一新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學?？计谥校┫铝嘘P于棱柱的

說法正確的是()

A．所有的棱柱兩個底面都平行

B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰兩個面的公共邊互相平行

C．棱柱至少有五個面

D．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱

【答案】ABC

【詳解】根據(jù)棱柱的定義可知棱柱的兩個底面平行且全等，故A正確；

根據(jù)棱柱的定義可知棱柱的兩個底面平行且全等，側棱均平行，故B正確；

棱柱底面至少為三角形，故棱柱至少有2個底面+3個側面=5個面，故C正確；

如圖所示，

該幾何體滿足有兩個面互相平行且其余各面都是四邊形，但該幾何體不是棱柱，故D錯誤．

故選：ABC．

【變式1】（2022·高一課時練習）下列命題：

①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；

②有兩側面與底面垂直的棱柱是直棱柱；

③過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；

④所有側面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．

其中正確命題的個數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【詳解】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，

顯然不是棱柱，故①錯誤；

②如圖2，滿足兩側面ABB1A1與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；

③如圖3，四邊形ACC1A1為矩形，

即過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；

④所有側面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．

故選：A

【變式2】（多選）（2023下·安徽·高一安徽師范大學附屬中學校考階段練習）下列關于棱柱的說法正確的

是（）

A．棱柱的兩個底面一定平行

B．棱柱至少有五個面

C．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱

D．正四棱柱一定是長方體

【答案】ABD

【詳解】選項A：由棱柱定義可得棱柱的兩個底面一定平行.判斷正確；

選項B：三棱柱是最簡單的棱柱，三棱柱有五個面，

則棱柱至少有五個面.判斷正確；

選項C：在正四棱柱上面放置一個與其底面相同的斜四棱柱，所得幾何體是組合體，

但是滿足兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形.判斷錯誤；

選項D：正四棱柱底面是正方形，側棱與底面垂直，

則正四棱柱一定是長方體.判斷正確.

故選：ABD

題型02棱錐、棱臺的結構特征

【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列描述中，不是棱錐幾何結構特征的是（）

A．三棱錐有4個面是三角形B．棱錐的側面都是三角形

C．棱錐都有兩個互相平行的多邊形面D．棱錐的側棱交于一點.

【答案】C

【詳解】A中，根據(jù)棱錐的幾何結構，可得三棱錐有4個面是三角形，所以A正確；

B中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐的側面都是三角形，所以B正確；

C中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐都沒有兩個互相平行的多邊形面，所以C錯誤；

D中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐的側棱交于一點，所以D正確.

故選：C.

【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中學校聯(lián)考階段練習）下列敘述正確的是（）

A．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺

B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺

D．棱臺的側棱延長后必交于一點

【答案】D

【詳解】對于A，當截面不平行于底面時，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，A錯誤；

對于B，C，如圖的幾何體滿足條件，但側棱延長線不能相交于一點，不是棱臺，B，C錯誤；

對于D，由棱臺結構特征知側棱延長后必交于一點，D正確.

故選：D.

【變式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥市第七中學校考階段練習）下列命題中成立的是（）

A．有兩個相鄰側面是矩形的棱柱是直棱柱

B．各個面都是三角形的多面體一定是棱錐

C．一個棱錐的側面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐

D．各個側面都是矩形的棱柱是長方體

【答案】A

【詳解】對A，以三棱柱為例，如圖，若側面A1ACC1和側面A1ABB1為矩形，則A1AAC,A1AAB.

，

又ACABAAC,AB平面ABC，所以A1A面ABC，

又棱柱側棱互相平行，故其他側棱也與底面垂直.

所以此三棱柱為直三棱柱，故A正確；

對B，如圖所示的八面體滿足每個面都是三角形，但它不是棱錐，故B不正確；

對C，如圖所示的三棱錐中有BABDCACD，BCAD，滿足側面是全等的等腰三角形，

但它不是正三棱錐，故C不正確；

對D，各個側面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是長方體，故D不正確.

故選：A

【變式2】（2023·全國·高一專題練習）棱臺不具備的特點是（）

A．兩底面相似B．側面都是梯形

C．側棱長都相等D．側棱延長后都交于一點

【答案】C

【詳解】根據(jù)棱臺的定義知，棱臺底面相似，側面都是梯形，側棱延長后都交于一點，

但是側棱長不一定相等，

故選：C

題型03棱柱展開圖及最短距離問題

【典例1】（2023上·四川南充·高二儀隴中學?？茧A段練習）在直三棱柱ABC-A1B1C1中

、

ABBC2,BB12,ABC90,E、F分別為AA1C1B1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑

的長度為（）

22327

A．B．C．2D．32

222

【答案】B

【詳解】由題意得直三棱柱底面為等腰直角三角形．

①若把面ABB1A1和面B1C1CB展開在同一個平面內，則線段EF在直角三角形EA1F中，

222

由勾股定理得EFAE2AF212(2)2；

1122

②若把面ACC1A1和面B1C1CB展開在同一個平面內，則線段EF在直角三角形EA1F中，

211

此時EFAE2AF212(2)222.

1122

③若把面ABA1B1和面A1B1C1展開在同一個平面內，設BB1的中點為G，

27

在直角三角形EGF中，由勾股定理得EFEG2GF2(2)2(1)22．

22

④若把面ACC1A1和面A1B1C1展開在同一個面內，

過F作與CC1行的直線，過E作與AC平行的直線，

所作兩直線交于點H，則EF在直角三角形EHF中，

1132

由勾股定理得EFEH2FH2(2)2(1)2．

222

1122732

由于222，

2222

32

可得從E到F兩點的最短路徑的長度為,

2

故選：B

【典例2】（多選）（2023下·新疆·高一兵團第三師第一中學?？茧A段練習）長方體ABCDA1B1C1D1的棱

，，

長AA12AB4AD5，則從A點沿長方體表面到達C1點的距離可以為（）

A．65B．61C．85D．74

【答案】ABC

【詳解】從A點沿長方體表面到達C1有三種展開方式，

若以A1B1為軸展開，

22

則AC1(A1AA1D1)D1C1491665；

以BC為軸展開，

22

則AC1(C1CCD)AD362561，

以B1B為軸展開，

22

AC1(ABBC)(CC1)81485．

故選：ABC．

-

【典例3】（2023·全國·高三對口高考）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC5，AA13，

M為線段BB1上的一動點，則過A,M,C1三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為．

【答案】3214/1432

【詳解】由題意可知過A,M,C1三點的平面截該三棱柱所得截面的周長即AMC1的周長，

因為直三棱柱ABC-A1B1C1，所以各側面均為矩形，

所以22，

AC1ACCC114

直三棱柱ABC-A1B1C1的側面部分展開圖如圖所示，

則在矩形中22，

ACC1A1AMMC1AC1ACCC132

所以過A,M,C1三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為3214，

故答案為：3214

【變式1】（2023上·江西南昌·高二校考期中）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，若ABAD1,AA12，

且面對角線B1D1上存在一點P使得A1PPB最短，則A1PPB的最小值為.

【答案】5

△△

【詳解】把RtD1A1B1沿B1D1翻折，使矩形BDD1B1和RtD1A1B1在一個平面上，連接A1B，

則A1PPB的最小值為A1B，

ππ3π

在△ABB中，可知ABBABDDBB,AB1,BB2，

111111111424111

2

由余弦定理得23π，

A1B12212cos5

4

所以A1PPB的最小值為5.

故答案為：5.

【變式2】（2023上·云南大理·高一大理白族自治州民族中學?？奸_學考試）如圖，在底面為正三角形的直

--

三棱柱ABCA1B1C1中，AB23，AA12，點M為AC的中點，一只小蟲從B1沿三棱柱ABCA1B1C1的

表面爬行到M處，則小蟲爬行的最短路程等于．

【答案】19

【詳解】

-

如圖1，將三棱柱ABCA1B1C1的側面BB1C1C和側面CC1A1A沿CC1展開在同一平面內，連接MB1，

M是AC中點，ABC和△A1B1C1是等邊三角形，

1

CMAC3，BMCMBC33，

2

在中，由勾股定理得：

RtMBB1B1M31.

如圖2，把底面ABC和側面BB1A1A沿AB展開在同一平面內，連接MB1，

過點M作MFA1B1于點F，交AB于點E，則四邊形AEFA1是矩形，MEAB，

在Rt△AME中，MAE60o，

333

MEAMsin60o=3=，AEAMcos60o，

222

733

MFMEEF，BFABAF，

211112

在RtMFB1中，由勾股定理可得，B1M19.

如圖3，連接B1M,交A1C1于點N，則B1MAC，B1NA1C1，

oo

在RtA1NB1中，NA1B160，NB1A1B1sin603，B1MB1NMN5.

19531，

小蟲爬行的最短路程為19.

故答案為：19.

【變式3】（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，在所有棱長均為1的直三棱柱上，有一只螞蟻從點A出

發(fā)，圍著三棱柱的側面爬行一周到達點A1，則爬行的最短路線長為．

【答案】10

【詳解】正三棱柱的側面展開圖如圖所示的矩形，

矩形的長為3，寬為1，則其對角線AA1的長為最短路程．

因此螞蟻爬行的最短路程為321210．

故答案為：10．

題型04判斷正方體中截面問題

【典例1】（2023·高一課時練習）若正方體的一個截面恰好截這個正方體為等體積的兩部分，則該截面()

A．一定通過正方體的中心B．一定通過正方體一個表面的中心

C．一定通過正方體的一個頂點D．一定構成正多邊形

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，恰好截正方體為等體積的兩部分的截面，可能為中截面、對角面、也可能是傾斜的平

面，不管哪種截面都過正方體的中心．

故選：A．

【典例2】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，

過A,D1,E三點的截面把正方體ABCDA1B1C1D1分成兩部分，則該截面的周長為（）

9

A．3225B．2253C．D．22252

2

【答案】A

【詳解】如圖，取BC的中點F，連接EF，AF，BC1,

E、F分別為棱CC1、BC的中點，則EF//BC1，正方體中BC1//AD1，則有EF//AD1，所以平面AFED1為所

求截面，

因為正方體的棱長為，所以，22，，所以四邊

ABCDA1B1C1D12EF2D1EAF215AD122

形AFED1的周長為3225.

故選：A.

【典例3】（多選）（2023下·全國·高一專題練習）用一個平面去截正方體，截面的形狀不．可．能．是（）

A．直角三角形B．等腰梯形C．正五邊形D．正六邊形

【答案】AC

【詳解】截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形，

當截面為五邊形時，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個面內，由于正方體有6個面，

分成兩兩平行的三對，故必然有一對平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質定理，可知這兩條截線

互相平行，但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形；

截面為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；

當截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；

故選：AC．

【變式1】（2024上·河南三門峽·高三校聯(lián)考期末）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為

A1B1、B1C1的中點，過M、N的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（）

3109

A．22B．25C．D．

22

【答案】D

【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形MNCA，

132

其中MN2,AC22,AMCN5，高為h5，

22

1329

故面積為222.

222

故選:D．

【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，

B1C1的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（）

A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形

【答案】D

【詳解】分別取D1C1、D1D、AD的中點H、M、N，連接GH、HM、MN，

在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，B1C1的中點，

HG//EN，HM//EF，F(xiàn)G//MN，

六邊形EFGHMN是過E，F(xiàn)，G這三點的截面圖，

過這三點的截面圖的形狀是六邊形．

故選：D

【變式3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考階段練習）在邊長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中

點，那么過點D1、B、E的截面圖形為（在“三角形、矩形、正方形、菱形”中選擇一個）；截

面圖形的面積為.

【答案】菱形26

【詳解】

如圖，取CC1的中點為F，連接EB,ED1,BF,FD1,

因為ED1//BF,ED1=BF,且ED1=EB5,

所以四邊形EBFD1為菱形，

所以過點D1、B、E的截面圖形為菱形EBFD1；

連接EF,BD1,則EF22,BD123,

1

所以截面圖形的面積為EFBD26，

21

故答案為:菱形；26.

題型05棱錐的展開圖

【典例1】（2023下·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）《九章算術》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為

矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”.在陽馬PABCD中，PA平面ABCD,PA1,ABAD2，點E,F分別

在棱AB,BC上，則空間四邊形PEFD的周長的最小值為（）

A．35B．45C．55D．65

【答案】C

【詳解】

由于PD5為定值，故只需求折線段PEEFFD的最小值，將側面PAB翻折到和底面ABCD重合，得到

的形狀如下，于是轉化成平面問題，折線段的最值可通過作對稱點的方式處理，作D關于BC的對稱點Q，

3

連接PQ和BC交于F，交AB于E，由于PD3，顯然FC為△PQD的中位線，則CF2，由PAE和

2

AEPAAE14

PDQ相似可得AE2，說明這樣的E,F符合題意，故

DQPD433

PEEFFDPQ32425，于是空間四邊形PEFD的周長的最小值為55.

故選：C

【典例2】（2023下·河北保定·高一定州市第二中學校考階段練習）《九章算術》中，將四個面都是直角三

角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑PABC中，PCPBPA，AB2，BC1，PA23，D，E分

別為棱PC，PB上一點，則AEDE的最小值為．

【答案】451317

17

【詳解】由題意可知：PAAB,BCPB，則PBPA2AB24，PCPB2BC217，

17417

所以APB30,sinBPC,cosBPC，

1717

將△PAB,△PBC翻折至一個平面，過點A作AMPC，垂直為點M，

則AEDE的最小值為點A到邊PC的距離AM，

因為

141731741751

sinAPCsinAPBBPCsinAPBcosBPCcosAPBsinBPC

21721734

，

41751451317

所以AMPAsinAPC23，

3417

451317

即AEDE的最小值為.

17

451317

故答案為：.

17

【變式1】（2023下·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐ABCD中，BACCADDAB40，

ABACAD2，一只蝸牛從B點出發(fā)，繞三棱錐三個側面爬行一周后，到棱AB的中點E，則蝸牛爬行

的最短距離是（）．

A．3B．5C．6D．7

【答案】D

【詳解】如圖所示，將三棱錐的側面展開，則線段BE為所求，

由題意得，EAB120,AB2,AE1，

2221

由余弦定理可得BEABAE2ABAEcosBAE412217，

2

則BE7，即蝸牛爬行的最短距離是7.

故選：D.

【變式2】（2023上·四川內江·高二?？计谥校┤鐖D，在三棱錐VABC中，VAVBVC4，

AVBAVCBVC30，過點A作截面△AEF，則△AEF周長的最小值為.

【答案】42

【詳解】如圖，

沿著側棱VA把正三棱錐VABC展開在同一個平面內，原來的點A被分到兩處A,A1，

則線段AA1的長度即為△AEF周長的最小值.

在VAA1中，VAVA14，AVBAVCBVC30，

故，所以2222

AVA133090AA1VAVA14442.

故答案為：42.

題型06棱錐中截面有關問題

【典例1】（2023下·河南·高一長葛市第二高級中學校聯(lián)考階段練習）芻（chú）甍（méng）是中國古代算

數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體．現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面ABCD為矩形，EF//平

面ABCD，VADE和△BCF是全等的正三角形，EF1，AB3，BC23，O為VADE的重心，則過點

A，B，O的平面截該芻甍所得的截面周長為（）

A．11B．1023C．9D．843

【答案】A

【詳解】如圖，延長AO交DE于點G，取CF的中點H，連接BH，GH，易得G為ED的中點，

∴GH//CD，∵AB//CD，∴AB//GH，即過點A，B，O的平面截該芻甍所得的截面為四邊形ABHG，

EFCD3

∵GH2，AGBHBC3，

22

∴過點A，B，O的平面截該芻甍所得的截面周長為ABAGGHBH11．

故選：A

【典例2】（2023·全國·高一專題練習）如圖，空間四邊形ABCD的邊AD，BC成60的角，且ADa，BCb，

平行于AD與BC的截面分別交AB，AC，CD，BD于E,F,G,H，則截面EHGF面積的最大值為.

3

【答案】ab

8

【詳解】∵BC∥平面EHGF，BC平面ABC，平面ABC平面EHGFEF，

∴BC∥EF，同理BC∥HG，∴EF∥HG，同理EH∥FG，

∴四邊形EHGF是平行四邊形.

∵AD與BC所成的角為60，∴HEF60（或120），

EFAE

設x0x1，∵BCb，∴EFbx，

BCAB

EHBE1x

由，ADa，得EH1xa，

ADAB1

2

∴333x1x3，

SEHGFEFEHsinHEFbxa1xabx1xabab

22228

1

當且僅當x1x，即x時等號成立，

2

3

即E為AB的中點時，截面EHGF的面積最大，為ab.

8

3

故答案為：ab.

8

【變式1】（2023下·全國·高一專題練習）一個透明封閉的正四面體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，

任意轉動這個正四面體，則水面在容器中的形狀可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中

正確的個數(shù)有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)已知，任意轉動這個正四面體，則水面在容器中的形狀即為作一截面將正四面體截成體

積相等的兩部分，根據(jù)對稱性和截面性質作圖如下：

觀察可知截面不可能出現(xiàn)直角三角形.

故選：C

【變式2】（2023下·山東泰安·高一新泰市第一中學校考階段練習）在三棱錐PABC中，PB6,AC3，

G為PAC的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為.

【答案】8

【詳解】解：如圖所示，過點G作EF∥AC，分別交PA，PC于點E，F(xiàn)

過點F作FM∥PB交BC于點M，過點E作EN∥PB交AB于點N.

由作圖可知：EN∥FM，

∴四點EFMN共面

可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.

EFMN2

∴

ACAC3

可得EF=MN=2.

同理可得：EN=FM=2.

∴截面的周長為8.

故答案為：8.

題型07棱臺展開圖問題

【典例1】（2023·高一課時練習）一個幾何體的表面展開圖如圖，該幾何體中與“?！弊趾汀澳恪弊窒鄬Φ姆?/p>

別是（）

A．前，程B．你，前C．似，棉D．程，錦

【答案】A

【詳解】因為“?！弊置婧汀扒啊弊置嬷虚g隔著“你”字面，所以“?！弊置婧汀扒啊弊置嫦鄬?，同理“你”字面和“程”

字面中間隔著“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相對，

故選：A.

【典例2】（2022·高一課時練習）下列幾何體的側面展開圖如圖所示，其中是棱錐的為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【詳解】對于A選項，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱柱，故A選項不正確；

對于B選項，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱錐，故B選項正確；

對于C選項，圖形沿著折線翻折起來是一個三棱臺，故C選項不正確；

對于D選項，圖形沿著折線翻折起來是一個四棱柱，故D選項不正確；

故選：B.

【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習）在一張硬卡紙上，將圖中給出的圖形放大，然后按實線剪紙，再按

虛線折痕折起并黏合，說出得到的幾何體的名稱．

【答案】三棱臺

【詳解】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面與下底面平行，側面與底面不垂直，所以

該幾何體為三棱臺.

題型08棱臺中的截面問題

【典例1】（2024·江西·校聯(lián)考模擬預測）光岳樓位于山東聊城古城中央，主體結構建于明洪武七年（1374

年），它是迄今為止全國現(xiàn)存古代建筑中最古老、最雄偉的木構樓閣之一，享有“雖黃鶴、岳陽亦當望拜”

之譽.光岳樓的墩臺為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，該墩臺上底面邊長約為32m，下底面邊長約為34.5m，

高約為9m，則該墩臺的斜高約為（參考數(shù)據(jù)：132136.35）（）

A．9.1mB．10.9mC．11.2mD．12.1m

【答案】A

【詳解】如圖所示，設該正四棱臺為ABCDA1B1C1D1，上下底面中心分別為O1,O，

分別取BC,B1C1的中點E,F，連接OO1,O1F,OE,EF，

在平面OO1FE內，作FHOE交OE于H，

11

則OO9，OEAB17.25，OFAB16，

121211

顯然四邊形OO1FH是矩形，則FHOO19，OHO1F16，

5

所以EHOEOH1.25，

4

2

2225132136.35

在直角FHE中，EFFHEH99.1，

444

即該墩臺的斜高約為9.1m.

故選：A

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，上底面邊長為4，下底面邊

長為8，高為5，點M,N分別在A1B1,D1C1上，且A1MD1N1.過點M,N的平面與此四棱臺的下底面會

相交，則平面與四棱臺的面的交線所圍成圖形的面積的最大值為

A．187B．302C．661D．363

【答案】B

【詳解】當斜面α經(jīng)過點BCNM時與四棱臺的面的交線圍成的圖形的面積最大，此時α為等腰梯形，上底為

MN=4，下底為BC=8

此時作正四棱臺ABCDA1B1C1D1俯視圖如下：

則MN中點在底面的投影到BC的距離為8-2-1=5

22

因為正四棱臺ABCDA1B1C1D1的高為5，所以截面等腰梯形的高為5552

1

所以截面面積的最大值為S4852302

2

所以選B

【變式1】（多選）（2022下·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）用一個平面去截一個幾何體，所得截面的形狀是

正方形，則原來的幾何體可能是（）

A．長方體B．圓臺C．四棱臺D．正四面體

【答案】ACD

【詳解】解：對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正

方形，故A正確；

對于B：圓臺的截面均不可能是正方形，故B錯誤；

對于C：若四棱臺的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故C正

確；

對于D：如圖所示正四面體SABC，將其放到正方體中，

取SB的中點E，SC的中點D，取AB的中點F，AC的中點DG，

依次連接EF、FG、GD、DE，由正方體的性質可知截面DEFG為正方形，故D正確；

故選：ACD

A夯實基礎B能力提升

A夯實基礎

一、單選題

1．（2024·黑龍江伊春·高二伊春二中?？紝W業(yè)考試）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA12，

則BD1=（）

A．6B．7C．10D．11

【答案】A

【詳解】22222222

BD1BDD1DADABD1D4426

故選：A

2．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在三棱臺ABCABC中，沿平面ABC截去三棱錐AABC，

則剩余的部分是（）

A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．組合體

【答案】B

【詳解】三棱臺ABCABC中，沿平面ABC截去三棱錐AABC，

剩余的部分是以A為頂點，四邊形BCCB為底面的四棱錐ABCCB．

故選：B

3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（）

A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱

B．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱

D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺

【答案】C

【詳解】對于A，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺或組合圖形，故

A錯誤；

對于B，有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯誤；

對于C，根據(jù)棱柱的定義，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平

行的幾何體是棱柱，故C正確；

對于D，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺，故D錯誤.

故選：C.

4．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB2，AA12，由頂點B沿棱

柱側面(經(jīng)過棱AA1)到達頂點C1，與AA1的交點記為M，則從點B經(jīng)點M到C1的最短路線長為（）

A．22B．25C．4D．45

【答案】B

【詳解】如圖，沿側棱BB1將正三棱柱的側面展開

由側面展開圖可知，當B，M，C1三點共線時，從點B經(jīng)點M到C1的路線最短．

所以最短路線長為22

BC14225.

故選：B.

5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）所有棱長均為6的正三棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊

長為2的正三棱錐，則所得棱臺的高為（）

46266

A．B．C．6D．

332

【答案】A

【詳解】

如圖，根據(jù)題意可得所得棱臺為正三棱臺，

2

該棱臺的高等于大正三棱錐的高的.

3

22

設大正三棱錐的高為DH，則：BHBI3323

33

2

因為大正三棱錐的高為:DHDB2BH2=622326，

246

所以該棱臺的高為26.

33

故選：A

6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的是（）

A．各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體

B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺

C．多面體至少有5個面

D．六棱柱有6條側棱，6個側面，側面均為平行四邊形

【答案】D

【詳解】A選項：各側面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故A錯；

B選項：有2個面平行，其余各面都是梯形，但若是各側棱的延長線不能交于一點，則該幾何體不是棱臺，

故B錯；

C選項：多面體是指四個或四個以上多邊形所圍成的立體，故C錯；

D選項：根據(jù)棱柱的定義可知六棱柱有6條側棱，6個側面，側面均為平行四邊形，故D正確.

故選：D.

7．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的是（）

A．底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影一定是底面正多邊形的中心

B．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐不可能為六棱錐

C．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐

【答案】B

【詳解】對于A：底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心,比如：有一條

側棱和底面垂直的棱錐.故A錯誤；

對于B：當棱錐的各個側面的頂角之和是360度時,各側面構成平面圖形,構不成棱錐,由此推導出如果一個棱

錐的各個側面都是等邊三角形,那么這個棱錐不可能為六棱錐,故B正確；

對于C：把兩個相同的棱臺底面重合在一起,就不是棱臺,故C錯誤；

對于D：由棱錐的定義，如果一個多面體的一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,才是棱

錐.故D錯誤.

故選：B

8．（2023·上海·上海市七寶中學?？寄M預測）《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉

臑”，在長方體ABCDA1B1C1D1中，鱉臑的個數(shù)為（）

A．48B．36C．24D．12

【答案】C

【詳解】在正方體ABCDEFGH中，當頂點為A時，三棱錐AEHG、AEFG、ADCG、

ADHG、ABCG、ABFG均為鱉臑．

所以8個頂點為8648個．但每個鱉臑都重復一次，

48

所以，鱉臑的個數(shù)為24個.

2

故選：B．

二、多選題

9．（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習）在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是線段DD1上

的動點，若過A,B1,E三點的平面將正方體截為兩個部分，則所得截面的形狀可能為（）

A．等邊三角形B．矩形

C．菱形D．等腰梯形

【答案】ABD

【詳解】當點E與D1重合時，過A,B1,E三點的截面是等邊三角形AB1D1，A正確；

當點E與D重合時，過A,B1,E三點的截面為矩形AB1C1D，B正確；

若截面為菱形，則必有AB1AE，此時點E與D1重合，故C錯誤；

當點E與DD1中點重合時，記C1D1的中點為F，連接EF,FB1，

易知EF//DC1，由正方體性質可知，AD//B1C1且ADB1C1，所以四邊形AB1C1D為平行四邊形，

122

所以DC1//AB1，所以EF/