高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.1.2分析法

第2課時(shí)分析法1/35分析法在很多領(lǐng)域都有它應(yīng)用2/35利用已知條件和一些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過(guò)一系列推理論證,最終推導(dǎo)出所要證實(shí)結(jié)論成立,這種證實(shí)方法叫做綜正當(dāng).其特點(diǎn)是:“由因?qū)Ч?3/35用P表示已知條件、已經(jīng)有定義、公理、定理等,Q表示所要證實(shí)結(jié)論.則綜正當(dāng)用框圖表示為:…綜正當(dāng)是由一個(gè)個(gè)推理組成綜正當(dāng)是萬(wàn)事開(kāi)頭難，即使萬(wàn)事開(kāi)頭難，但有時(shí)候進(jìn)展更難.會(huì)需要高超技巧，深刻解題指導(dǎo)思想.但開(kāi)頭難怎么辦？怎樣找到開(kāi)頭呢？4/351.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證實(shí)兩種基本方法之一分析法.（重點(diǎn)）2.了解分析法思索過(guò)程、特點(diǎn).（難點(diǎn)）5/35探究點(diǎn)分析法定義引例：證實(shí)不等式：6/35證法1:因?yàn)樗运运猿闪⒆C法1:因?yàn)樗运运猿闪⒅恍枳C只需證只需證因?yàn)槌闪⑺猿闪⒕C正當(dāng)分析法

證法2:要證7/35思索：上述兩種證法有什么異同？都是直接證實(shí)證法1

從已知條件出發(fā)，以已知定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證實(shí)結(jié)論為止.

綜正當(dāng)相同不一樣證法2

從問(wèn)題結(jié)論出發(fā)，追溯造成結(jié)論成立條件，逐步上溯，直到一個(gè)顯著使結(jié)論成立條件.

分析法8/35分析法結(jié)論已知條件綜正當(dāng)已知條件結(jié)論綜正當(dāng)和分析法推證過(guò)程以下：9/35普通地，從要證實(shí)

出發(fā)，逐步尋求使它成立

，直至最終，把要證實(shí)結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)顯著成立條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證實(shí)方法叫做分析法.其特點(diǎn)是：執(zhí)果索因，即要證結(jié)果Q，只需證條件P.分析法（逆推證法或執(zhí)果索因法）結(jié)論充分條件10/35得到一個(gè)顯著成立條件…類(lèi)似于綜正當(dāng)，我們也能夠用框圖來(lái)表示分析法.用Pi表示使所要證實(shí)結(jié)論成立充分條件，Q表示所要證實(shí)結(jié)論,則分析法思途經(jīng)程，特點(diǎn)用框圖表示為:注意：證實(shí)最終面顯著成立條件能夠是：已知條件、定理、定義、公理等.11/35分析法又叫執(zhí)果索因法，若使用分析法證實(shí)：設(shè)a>b>c，且a+b+c=0，求證欲索因應(yīng)是（）A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解題關(guān)鍵】要想找到“因”，就得從“果”入手，在化簡(jiǎn)過(guò)程中將b=-a-c代入得a,c關(guān)系式，再利用b=-a-c代換b，即可.【即時(shí)訓(xùn)練】C12/35分析：從待證不等式不易發(fā)覺(jué)證實(shí)出發(fā)點(diǎn)，所以我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立充分條件.13/3514/35在本例中，假如我們從“21<25”出發(fā)，逐步倒推回去，就能夠用綜正當(dāng)證出結(jié)論.但因?yàn)槲覀儤O難想到從“21<25”入手，所以用綜正當(dāng)比較困難.【提升總結(jié)】15/35【易錯(cuò)點(diǎn)撥】1.判斷：(1)分析法就是從結(jié)論推向已知.()(2)分析法推理過(guò)程要比綜正當(dāng)優(yōu)越.()(3)全部證實(shí)題目均可使用分析法證實(shí).()×××16/35例2如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過(guò)A作SB垂線,垂足為E,過(guò)E作SC垂線,垂足為F,求證AF⊥SC.FESCBA分析：本例所給已知條件中，垂直關(guān)系較多，我們不輕易確定怎樣在證實(shí)中使用它們，因而綜正當(dāng)比較困難.這時(shí)，能夠從結(jié)論出發(fā)，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立充分條件.17/35證實(shí):證法一：要證AF⊥SC只需證SC⊥平面AEF只需證AE⊥SC只需證AE⊥平面SBC只需證AE⊥BC只需證BC⊥平面SAB只需證BC⊥SA由SA⊥平面ABC可知，上式成立.所以AF⊥SC成立還有其它證實(shí)方法嗎？18/35證法二:因?yàn)镾A⊥平面ABC所以AE⊥BC又因?yàn)锳E⊥SB,且BC∩SB=B所以AE⊥平面SBC所以AE⊥SC又因?yàn)镋F⊥SC,且AE∩EF=E所以SC⊥平面AEF所以AF⊥SC所以BC⊥SA所以BC⊥平面SAB又因?yàn)锳B⊥BC,且AB∩SA=A19/35假如，則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足條件是__________.【解析】要使成立，只需只需a3＞b3＞0，即a,b應(yīng)滿足a＞b＞0.【變式練習(xí)】a＞b＞020/35分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)覺(jué)結(jié)論中沒(méi)有出現(xiàn)角

,所以第一步工作能夠從已知條件中消去

.觀察已知條件結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)覺(jué)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系（sin+cos)2-2sincos=1,于是，由(1)2-2×(2)得4sin2α-2sin2β=1.21/35把4sin2α-2sin2β=1與結(jié)論相比較，發(fā)覺(jué)角相同，但函數(shù)名稱(chēng)不一樣，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論；統(tǒng)一函數(shù)名稱(chēng)，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù).把結(jié)論轉(zhuǎn)化為cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β),再與4sin2α-2sin2β=1比較，發(fā)覺(jué)只要把cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β)中角余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能到達(dá)目標(biāo).22/3523/35因?yàn)樯鲜脚c（3）相同，于是問(wèn)題得證.24/35【提升總結(jié)】分析法和綜正當(dāng)是思維方向相反兩種思索方法.在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最終到達(dá)題設(shè)已知條件.綜正當(dāng)則是從數(shù)學(xué)題已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步邏輯推理，最終到達(dá)待證結(jié)論或需求問(wèn)題.對(duì)于解答證實(shí)來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜正當(dāng)表現(xiàn)為由因?qū)Ч?，它們是尋求解題思緒兩種基本思索方法，應(yīng)用十分廣泛.25/35【變式訓(xùn)練】已知a＞0，求證：【證實(shí)】要證只需要證因?yàn)閍＞0，故只需要證即26/35從而只需要證

只需要證

即

，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立.27/351.要證實(shí)可選擇方法有以下幾個(gè)，其中最合理是（）（A）綜正當(dāng)（B）分析法（C）演繹推理（D）歸納法B28/352.命題“對(duì)于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”證實(shí)：“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”,其過(guò)程應(yīng)用了()A.分析法B.綜正當(dāng)C.綜正當(dāng)、分析法綜合使用D.以上都不是B29/353.欲證成立，只需證()C30/354.若(a≥0),則P,Q大小關(guān)系是()A.P>QB.P=QC.P<QD.由a