2024-2025學(xué)年重慶市大一名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶市大一名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若Cn2=CnA.48 B.108 C.114 D.1262.若limΔx→0f(1+Δx)?f(1)3Δx=3，則A.27 B.9 C.3 D.13.函數(shù)f(x)=x?xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(?∞,1) B.(0,1) C.(0,e) D.(1,+∞)4.小明用3D打印機(jī)制作了一個(gè)底面各邊邊長均不相等的四棱錐模型，現(xiàn)將此模型的每一個(gè)面都涂上一種顏色，其中有公共邊的兩個(gè)面異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，則有(????)種不同的涂色方法A.320 B.360 C.420 D.4805.若函數(shù)f(x)=ex?12ax2A.(0,1) B.(0,e] C.[e,+∞) D.(e,+∞)6.某單位在5月1日——5月5日這5天假期期間，實(shí)行每日一人值班制度，以確保各項(xiàng)工作的日常運(yùn)轉(zhuǎn)與應(yīng)急事務(wù)的及時(shí)處理?，F(xiàn)計(jì)劃從4名員工中每天派1名員工值班，則每位員工至少值一天班的概率是(

)A.1564 B.15128 C.241257.《孫子算經(jīng)》是中國南北朝時(shí)期重要的數(shù)學(xué)著作，書中的“中國剩余定理”對同余除法進(jìn)行了深入的研究.設(shè)a，b，m(m>0)均為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)，如8和14被3除得的余數(shù)都是2，則記8≡14(mod3).若a≡b(mod10)，且a=C200+CA.2021 B.2023 C.2025 D.20278.已知函數(shù)f(x)=alnx，不等式f(ax)≤ex在x∈(0,+∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)aA.(0,1] B.(?∞,1] C.(0,e] D.(?∞,e]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知二項(xiàng)式(ax?1x)A.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

B.展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為3

C.若a=2，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為60

D.若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則a=310.若函數(shù)y=?(x)的圖象上至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，使得曲線y=?(x)在這兩點(diǎn)處的切線垂直，則稱函數(shù)y=?(x)為“類正交函數(shù)”.下列函數(shù)中為“類正交函數(shù)”的是(

)A.y=x2 B.y=ex C.11.已知函數(shù)f(x)=2x3?3xA.當(dāng)a=1且x∈(0,π)時(shí)，f(sinx)<f(sin2x)

B.當(dāng)b=0時(shí)，若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是(?12,+∞)

C.若f(x)滿足f(1?x)+f(x)=2，則a2+b2的最小值為4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)函數(shù)f(x)=e3x+a，若f′(0)=3，則a=

．13.已知函數(shù)y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與二次函數(shù)y=ax2+(a+2)x+1相切，則實(shí)數(shù)14.在如圖所示的九宮格中填入數(shù)字和字母，已知三個(gè)字母A，B，C都填到九宮格中且不能在同一行同一列，其他每格只能從數(shù)字1，2，3中選擇一個(gè)填入，有公共邊的兩個(gè)格數(shù)字不相同，則不同的填法種數(shù)為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)某中學(xué)為表彰在過去一學(xué)期在“德智體美勞”等方面表現(xiàn)突出且優(yōu)異的同學(xué)，特設(shè)“為校爭光獎(jiǎng)”，獲得該獎(jiǎng)項(xiàng)的一共七名同學(xué)，其中3名男生與4名女生。為了紀(jì)錄下這榮耀時(shí)刻，攝影師要求獲獎(jiǎng)同學(xué)進(jìn)行排隊(duì)拍照，排隊(duì)按照下列不同的要求進(jìn)行，求不同的方案的方法總數(shù)，按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答．(1)全體站成一排，男生互不相鄰;(2)若排成一排照，甲、乙必須相鄰，且不站兩端;(3)若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面．16.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=(1)求f(x)在x=1處的切線方程;(2)若函數(shù)y=f(x)?a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17.(本小題15分)

禮嘉智慧公園旨在打造智能化體驗(yàn)示范區(qū)，將人工智能、大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)等現(xiàn)代信息技術(shù)與優(yōu)美環(huán)境有機(jī)結(jié)合，從公園設(shè)施到衣食住行，多方面引領(lǐng)智慧新生活，讓百姓切身感受科技的魅力。公園為了再次升級，擬將一塊在半徑為20米的半圓形綠化地?cái)U(kuò)建成一個(gè)新型文化廣場(如圖所示的陰影部分)，同時(shí)為了擁有更好地體驗(yàn)試將該廣場分休閑健身和兒童活動(dòng)兩個(gè)功能區(qū)，圖中矩形ABCD區(qū)域是休閑健身區(qū)，以CD為底邊的等腰三角形PCD區(qū)域是兒童活動(dòng)區(qū)，P，C，D三點(diǎn)在圓弧上，AB中點(diǎn)恰好在圓心O.設(shè)∠COB=θ，新型文化廣場的面積為S．

(1)求出新型文化廣場的面積為S關(guān)于θ的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)角θ取何值時(shí)，新型文化廣場的面積S最大?其最大面積是多少?18.(本小題17分)已知函數(shù)f(n,x)=(2(1)當(dāng)m=2時(shí)，求f(5,x)的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)若f(10,x)=a0+?①求a1+2?②求ai(0≤i≤10,i∈N)19.(本小題17分)定義運(yùn)算：pqst(1)若a=1時(shí)，求f(x)的極值;(2)若a∈(0,1]，函數(shù)g(x)=x?1ln(3)設(shè)n∈N?，證明：e1+參考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.0

13.8

14.5184

15.解：(1)先將女生全排有A44種，

再從5個(gè)空隙中選出3個(gè)將3個(gè)男生插入到3個(gè)空隙中有A53種，

由分步乘法原理共有A44A53=1440種排法；

(2)若排成一排照，甲、乙必須相鄰，且不站兩端，

則采用插空法，將其余的5人排好，5人中間有4個(gè)空，

把甲乙當(dāng)做一個(gè)整體插入，方法有A22?A55?A41=960種；

(3)分四類：

(a)當(dāng)甲排在最右面，同時(shí)乙排在最左面：A55=120種16.解：(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，

所以f′(x)=x?3+2x=x2?3x+2x=(x?1)(x?2)x，

則k=f′(1)=1?3+21=0，

當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=12?3=?52，即切點(diǎn)為(1,?52)

所以切線方程為y=?52；

(2)有題意知，轉(zhuǎn)化為方程f(x)=a有3個(gè)不等的實(shí)根，

即函數(shù)y=f(x)與直線y=a圖像上有3個(gè)不同的交點(diǎn)

令f′(x)>0，得x<1或x>2，令f′(x)<0，得1<x<2，

故函數(shù)f(x)在(0,1)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

即f(x)在x=1時(shí)取得極大值f(1)=?52，f(x)在x=2時(shí)取得極小值f(2)=2ln2?4

當(dāng)x→0+時(shí)，lnx→?∞，12x2?3x→0，即f(x)→?∞，

當(dāng)x=417.解：(1)由已知得BC=20sinθ，OB=20cosθ，

等腰△PCD底邊CD上的高為20?20sinθ，

所以S=2×20cosθ×20sinθ+12×40cosθ(20?20sinθ)

=800sinθcosθ+400(cosθ?cosθsinθ)

=400(2sinθcosθ+cosθ?sinθcosθ)

=400(sinθcosθ+cosθ)，

所以S=400(sinθcosθ+cosθ),(0<θ<π2)；

(2)設(shè)f(θ)=sinθcosθ+cosθ，

則f′(θ)=cos2θ?sin2θ?sinθ

=?2sin2θ?sinθ+1

=?2(sinθ?12)(sinθ+1)，

令f′(θ)>0，由0<θ<π2，可得0<θ<π6，

18.解：(1)當(dāng)m=2時(shí)，f(5,x)=(1+2x)5的展開式共有6項(xiàng)，

二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)或第四項(xiàng)，

所以T3=C52(2x)2=40x2或T4=C53(2x)3=80x3；

(2)?①f(10,x)=(2m+mx)10的通項(xiàng)公式為T②

f(10,x)=(1+2x)10

的通項(xiàng)公式為

Tr+1=C10r設(shè)

ar=2rC10r

為

a即

，即

，

∴(a

19.解：(1)由題意知：當(dāng)a=1時(shí)f(x)=x?1?lnx(x>0)，

∴f′(x)=1?1x=x?1x，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，

即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極小值f(1)=0;f(x)無極大值；

(2)g(x)=(x?1)ex?ealnx?1+a，

要證g(x)≥0，即證x?1ea≥lnx?1+aex，即證(x?1)ex?a?lnx+1?a≥0，

令μ(x)=(x?1)ex?a?lnx+1?a(x>0)，

∴μ′(x)=xex?a?1x，