2024-2025學(xué)年福建省廈門市雙十中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省廈門市雙十中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，則i?z=(

)A.1+2i B.?2+i C.1?2i D.?2?i2.已知向量a=(2,4)，b=(1,m)，若a與a+b共線，則實(shí)數(shù)A.?12 B.?2 C.123.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知A′C′=2，則△ABC的面積為(

)A.42

B.4

C.24.如圖所示，△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，則BE=(

)A.23BA+16BC

B.15.△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosB=2ccosA?bcosA且(AB|AB|+A.有一個(gè)角是π6的等腰三角形 B.等邊三角形

C.三邊均不相等的直角三角形 D.6.已知m，n為空間中不重合的直線，α，β，γ為空間中不重合的平面，下列命題正確的是(

)A.若m//n，n?α，則m//α B.若α//β，m?α，n?β，則m//n

C.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β D.若m//α，n⊥α，則m⊥n7.設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=4，c=3，A=π3，∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D，則線段AD的長度為(

)A.937 B.12378.點(diǎn)M，N分別是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中棱BD，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1BA.[2,5]

B.[32二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知i為虛數(shù)單位，則下列選項(xiàng)中正確的是(

)A.復(fù)數(shù)(m2+3m?4)+(m?1)i是純虛數(shù)，m∈R，則m=1或m=?4

B.若|z|=1，則|z+1+i|的最大值為2+1

C.若|z1|=|z2|，則10.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點(diǎn)，且AE=EB,AD=2DC，BD與CEA.AB?CE=?1

B.OE+OC=0

C.|11.已知三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱和底面垂直，且所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，側(cè)面BCA.若B1C1的中點(diǎn)為E，則AC1//平面A1BE

B.若三棱柱ABC?A1B1C1的體積為43，則A1到平面BCC1B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上靠近C的三等分點(diǎn)，則AE?EF=13.如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時(shí)所用的圓臺(tái)狀模具，它的高為6cm，下底部直徑為12cm，上面開口圓的直徑為20cm，現(xiàn)用此模具烘焙一個(gè)跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會(huì)變?yōu)樵瓉硪簯B(tài)狀態(tài)下體積的2倍(模具不發(fā)生變化)，現(xiàn)用直徑為16cm的圓柱形容器量取液態(tài)原料(不考慮損耗)，則圓柱形容器中需要注入液態(tài)原料的高度為______cm．14.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“刈股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”(1弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成).類比，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形組成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)AD=λAB+μAC，且DF=3AF，則可推出λ+μ=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=51+2i+1+i，i為虛數(shù)單位．

(1)求z?；

(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+mx+n=016.(本小題15分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，BC//AD，AB⊥AD，PA=AB=AD=2BC=2，E為PD中點(diǎn)，

(1)求證：CE//平面PAB；

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．17.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，b=1，在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中，并求解下面的問題．

①(sinA+sinB)(sinA?sinB)=(sinC?sinB)sinC；

②3bcosA+acosB=b+c；

③asinC=3ccosA．

(1)求A；

(2)若D是BC的中點(diǎn)，AD=18.(本小題17分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)．

(1)求證：AE⊥平面PCD；

(2)求PB和平面PAD所成的角的大??；

(3)求二面角A?PD?C的正弦值．19.(本小題17分)

某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，CD⊥AB，∠DCE=2π3，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角∠MEN=π3.已知CD=4m，CE=2m．

(1)當(dāng)M，D重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度MN；

參考答案1.B

2.D

3.A

4.A

5.B

6.D

7.B

8.B

9.BD

10.BD

11.ACD

12.?3

13.491614.202115.解：(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=51+2i+1+i=5(1?2i)(1+2i)(1?2i)+1+i=5(1?2i)1?4i2+1+i=1?2i+1+i=2?i，

所以z?=2+i；

(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，

所以(2?i)16.(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF//AD，EF=12AD=1，

又BC//AD，AD=2BC=2，

所以EF//BC，EF=BC，

所以四邊形BCEF是平行四邊形，

所以CE//BF，

又CE?平面PAB，BF?平面PAB，

所以CE//平面PAB．

(2)解：取PB的中點(diǎn)H，連接AH，

因?yàn)镻A=AB，所以AH⊥PB，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，

因?yàn)锽C//AD，AB⊥AD，所以AB⊥BC，

又PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

所以BC⊥AH，

又PB∩BC=B，PB、BC?平面PBC，

所以AH⊥平面PBC，即點(diǎn)A到平面PBC的距離為AH，

在等腰直角△PAB中，AH=12PB=2，

故點(diǎn)17.解：(1)選①：由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

(sinA+sinB)(sinA?sinB)=(sinC?sinB)sinC，

可得(a+b)(a?b)=(c?b)c(1分)

∴a2=b2+c2?bc∴bc=b2+c2?a2(2分)

由余弦定理的推論cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12(4分)

∵A∈(0,π)，

∴A=π3(6分)

選②∵3bcosA+acosB=b+c，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得：3sinBcosA+sinAcosB=sinB+sinC，(1分)

∴2sinBcosA+sin(A+B)=2sinBcosA+sinC=sinB+sinC(3分)

∴2sinBcosA=sinB(4分)

∵B∈(0,π)，

∴sinB≠0即cosA=12(5分)

∵A∈(0,π)，

∴A=π3(6分)

選③

因?yàn)閍sinC=3ccosA由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

所以csinA=3ccosA(3分)

∵c≠0A∈(0,π)∴cosA≠0(4分)

∴tanA=3(5分)

∴A=π3(6分)

(2)解法1：(向量法)由已知得2AD=AB+AC，(7分)

兩邊平方得(2AD)2=(AB+AC)2，18.解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，

CD?平面ABCD，故CD⊥PA，

因?yàn)镃D⊥AC，PA∩AC=A，

所以CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，

所以AE⊥CD，

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，

可得AC=PA，

因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC，

又PC∩CD=C，

所以AE⊥平面PCD；

(2)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，

所以AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，

從而∠APB為PB和平面PAD所成的角，

在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°，

所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°．

(3)過點(diǎn)E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示，

由(1)知，AE⊥平面PCD，

則AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，

則可證得AM⊥PD，

因此∠AME是二面角A?PD?C的平面角，

由已知可得∠CAD=30°．

設(shè)AC=a，可得PA=a，AD=233a，PD=213a，AE=22a．

在Rt△ADP中，因?yàn)锳M⊥PD，

所以AM?PD=PA?AD