信號與系統(tǒng)課件 第6講學(xué)習(xí)資料

信號與系統(tǒng)第6講教材位置:第3章周期信號的傅里葉級數(shù)表示

§3.4-§3.5內(nèi)容概要:傅里葉級數(shù)的收斂；

連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講2開講前言－前講回顧復(fù)指數(shù)信號作為基本信號用于信號分解歷史的回顧正弦函數(shù)作為基本信號對信號的分解傅里葉的貢獻復(fù)指數(shù)信號作用于LTI系統(tǒng)的特點復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)其形式還是復(fù)指數(shù)信號特征函數(shù)與特征值連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)表示成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號對信號的表示各次諧波系數(shù)的計算2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講3開講前言－本講導(dǎo)入連續(xù)周期信號用成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號表示：即連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)展開是否所有連續(xù)周期信號都可以用傅里葉級數(shù)展開？計算系數(shù)的積分是不是收斂信號存在不連續(xù)點的時候，情況會怎樣連續(xù)周期信號用傅里葉級數(shù)展開，具備怎樣的性質(zhì)，有什么規(guī)律性的東西？2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講4§3.4傅里葉級數(shù)的收斂連續(xù)周期信號用有限項傅里葉級數(shù)展開的誤差根據(jù)展開表達式，只用前N項表示帶來的誤差一個周期內(nèi)的誤差能量為隨著N的增加，誤差減少，如信號能用級數(shù)展開表示，N趨于無窮大，誤差應(yīng)該為0周期信號能否用傅里葉級數(shù)表示的兩個因素計算系數(shù)的積分是否收斂？即使系數(shù)都存在，帶入到綜合公式里是否收斂于原信號？如何判斷周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示有兩類條件來說明這個問題2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講5§3.4傅里葉級數(shù)的收斂從信號能量分析傅里葉級數(shù)的收斂連續(xù)周期信號都能用傅里葉級數(shù)表示不連續(xù)的周期信號需要特別討論方波脈沖等周期信號在實際中應(yīng)用廣泛，值得討論信號的能量，對分析傅里葉級數(shù)收斂很有用如果周期信號在一個周期內(nèi)能量有限用這些系數(shù)構(gòu)成的有限項傅里葉級數(shù)與原信號的誤差誤差隨N增大而減小，N趨于無窮大，誤差趨近于0表示兩者的能量沒有差別，但不代表在所有t值上相等結(jié)論：周期信號在周期內(nèi)的能量有限就能保證傅里葉級數(shù)的系數(shù)收斂實際系統(tǒng)都是對能量做出響應(yīng)，這一結(jié)論存在實用價值大部分周期信號在周期內(nèi)能量有限，能用傅里葉級數(shù)表示2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講6§3.4傅里葉級數(shù)的收斂狄里赫利條件判斷傅里葉級數(shù)的收斂（1）狄里赫利條件對級數(shù)收斂的保證這組條件保證在信號連續(xù)處等于傅里葉級數(shù)表示，在不連續(xù)點，傅里葉級數(shù)收斂于不連續(xù)兩邊值的平均值（2）狄里赫利條件條件1：在任何周期內(nèi)x(t)必須絕對可積這一條件保證每個傅里葉級數(shù)系數(shù)的收斂不滿足這一條件的函數(shù)舉例條件2：在任意有限的區(qū)間，函數(shù)有有限的起伏變化即只有有限個最大最小值滿足條件1，不滿足條件2的函數(shù)舉例條件3：在任意有限的區(qū)間，只有有限個不連續(xù)點，且其函數(shù)值有限不滿足這一條件的函數(shù)舉例周期為8，后一個階梯的高度和寬度都是前一個的一半2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講7§3.4傅里葉級數(shù)的收斂不滿足狄里赫利條件的信號圖解不絕對可積無限個極值無限個不連續(xù)點2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講8§3.4傅里葉級數(shù)的收斂關(guān)于不連續(xù)點的分析滿足狄里赫利條件，保證級數(shù)收斂于原信號，只在有限的不連續(xù)點上收斂于不連續(xù)點的平均值在不連續(xù)點上，傅里葉級數(shù)的收斂趨勢-吉伯斯現(xiàn)象不連續(xù)點上收斂于不連續(xù)點的平均值不連續(xù)點附近呈現(xiàn)起伏現(xiàn)象，起伏的峰值不隨N增加而降低峰值為不連續(xù)點差值的9%吉伯斯現(xiàn)象的實際意義不連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)截斷近似在接近不連續(xù)點有高頻起伏選擇足夠大的N，可以保證這些起伏的總能量可以忽略2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講9§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)1.線性2.時移性質(zhì)信號時移，其傅里葉級數(shù)系數(shù)的模保持不變§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)頻移性質(zhì)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講11§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)3.時間反轉(zhuǎn)連續(xù)時間信號上的時間反轉(zhuǎn)，其對應(yīng)的傅里葉級數(shù)系數(shù)序列的符號反轉(zhuǎn)對于偶函數(shù)，傅里葉級數(shù)的系數(shù)也為偶對于奇函數(shù)，傅里葉級數(shù)的系數(shù)也為奇令-k=m令m=k2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講12§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)4.時域尺度變換周期信號x(t)在時域的尺度變換，其作用在每一諧波上都相同，所以傅里葉級數(shù)的系數(shù)不變但是原信號的周期變化了，基波頻率變化了2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講13§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)5.時域相乘兩個相同周期信號相乘的傅里葉級數(shù)系數(shù)是原來兩個系數(shù)序列的卷積和§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)時域周期卷積§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)微分積分性質(zhì)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講16§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)6.共軛及共軛對稱性周期信號x(t)的復(fù)數(shù)共軛，其傅里葉級數(shù)系數(shù)是在原系數(shù)基礎(chǔ)上做復(fù)數(shù)共軛并時間倒置對于實函數(shù)，傅里葉級數(shù)系數(shù)是共軛對稱的對于實偶函數(shù)其系數(shù)為偶函數(shù)，因為實函數(shù)的系數(shù)則：傅里葉級數(shù)的系數(shù)不僅為偶函數(shù)，還是實函數(shù)對于實奇函數(shù)系數(shù)為純虛數(shù)，且為奇函數(shù)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講17§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)7.連續(xù)時間周期信號的帕斯瓦爾定理對于周期為T的信號，如果可用傅里葉級數(shù)表示，其平均功率也可用傅里葉級數(shù)的系數(shù)表示證明結(jié)論：一個周期信號的總平均功率就等于它的全部諧波分量的平均功率之和2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講18Example3.6解題參考8.舉例計算舉例1（Example3.5）周期方波的傅里葉級數(shù)展開基波頻率為，任取一個周期計算系數(shù)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講19§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)（2）Example3.6根據(jù)Example3.5的結(jié)果，用性質(zhì)計算傅里葉級數(shù)的系數(shù)分析：原函數(shù)為x(t),本函數(shù)為g(t)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講20§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)（3）Example3.7計算圖示信號的傅里葉級數(shù)系數(shù)分析可知，該信號微分為前題的信號可以在前題基礎(chǔ)上利用傅里葉級數(shù)的微分性質(zhì)求解k=0的直流分量，可以從信號一個周期的積分與周期長度比得到2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講21§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)（4）Example3.8計算周期沖激串的傅里葉級數(shù)系數(shù)根據(jù)性質(zhì)計算周期方波的系數(shù)對照前面例題驗證結(jié)果2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講22§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)（5）Example3.92025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講23§3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)（5）Example3.9結(jié)論：2025/4/30信號與系統(tǒng)－第6講24本講小結(jié)周期信號是否一定能